دالة الفئة

في الرياضيات ، وخاصة في مجالي نظرية الزمر ونظرية تمثيل الزمر ، تُعرَّف دالة الفئة بأنها دالة على زمرة G تكون ثابتة على فئات الترافق لـ G. بعبارة أخرى، هي دالة ثابتة تحت تطبيق الترافق على G. وتلعب هذه الدوال دورًا أساسيًا في نظرية التمثيل . 

إنّ خاصية التمثيل الخطي للمجموعة G على حقل K هي دائمًا دالة فئة ذات قيم في K. وتشكل دوال الفئة مركز حلقة المجموعة K [ G ] . هنا، تُعرَّف دالة الفئة f بالعنصر${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g}$.

تشكل مجموعة دوال الفئة لمجموعة G ذات القيم في حقل K فضاءً متجهيًا K. إذا كانت G منتهية، وكانت خاصية الحقل لا تقسم رتبة G ، فإنه يوجد جداء داخلي معرف على هذا الفضاء، ويُعرَّف بـ${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g){\overline {\psi (g)}},}$حيث يرمز | G | إلى رتبة G ، ويرمز الخط العلوي إلى المرافق في الحقل K. تشكل مجموعة الخصائص غير القابلة للاختزال لـ G أساسًا متعامدًا . علاوة على ذلك، إذا كان K حقلًا فاصلًا لـ G - على سبيل المثال، إذا كان K مغلقًا جبريًا - فإن الخصائص غير القابلة للاختزال تشكل أساسًا متعامدًا معياريًا .

عندما تكون G مجموعة متراصة و K  = C  هو حقل الأعداد المركبة ، يمكن تطبيق مقياس هار لاستبدال المجموع المحدود أعلاه بتكامل:${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int _{G}\phi (t){\overline {\psi (t)}}\,dt.}$في هذا السياق، تشكل الخصائص غير القابلة للاختزال أساس هيلبرت لفضاء هيلبرت لوظائف الفئة القابلة للتكامل التربيعي، وفقًا لنظرية بيتر-ويل .

عندما تكون K هي الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة، فإن الضرب الداخلي يكون شكلاً ثنائي الخطية هيرميتي غير منحل .

• نظرية براور حول الخصائص المستحثة

• جان بيير سير ، التمثيلات الخطية للمجموعات المنتهية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 42 ، سبرينغر-فيرلاغ، برلين، 1977.