مجموعة الوحوش

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

في مجال الجبر المجرد المعروف بنظرية الزمر ، تُعتبر زمرة الوحش M (المعروفة أيضًا باسم وحش فيشر-غريس ، أو العملاق الودود ، أو ببساطة الوحش ) أكبر زمرة بسيطة متفرقة ؛ ولها رتبة

808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

= 2 46 · 3 20 · 5 9 · 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71               = 32! · 10! · ( 4! ) 2 · 2 · 7 · 13 · 41 · 47 · 59 · 71         

≈ 8.0802 × 1053 .

تم تصنيف الزمر البسيطة المنتهية تصنيفًا كاملًا . تنتمي كل زمرة من هذه الزمر إلى إحدى العائلات الثماني عشرة غير المحدودة القابلة للعد، أو إلى إحدى الزمر الست والعشرين المتفرقة التي لا تتبع نمطًا منتظمًا. تحتوي الزمرة الوحشية على عشرين زمرة متفرقة (بما فيها الزمرة الوحشية نفسها) كزمر جزئية . أطلق روبرت غريس ، الذي أثبت وجود الزمرة الوحشية عام ١٩٨٢، على هذه الزمر العشرين اسم " العائلة السعيدة" ، وعلى الزمر الست المتبقية اسم "المنبوذة" .    

يصعب تقديم تعريف بنّاء جيد للوحش نظرًا لتعقيده. وقد كتب مارتن غاردنر عرضًا مبسطًا لمجموعة الوحوش في عموده "الألعاب الرياضية" المنشور في مجلة " ساينتفك أمريكان" في يونيو 1980. [ 1 ]

تاريخ

تنبأ بيرند فيشر (بحث غير منشور، حوالي عام 1973) وروبرت غريس [ 2 ] بوجود هذا الوحش ، باعتباره مجموعة بسيطة تحتوي على غطاء مزدوج لمجموعة فيشر الوحشية الوليدة، كمركز لعملية انقلاب . في غضون بضعة أشهر، اكتشف غريس رتبة M باستخدام صيغة رتبة طومسون ، واكتشف فيشر وكونواي ونورتون وطومسون مجموعات أخرى كمجموعات جزئية، بما في ذلك العديد من المجموعات المتفرقة المعروفة، ومجموعتين جديدتين: مجموعة طومسون ومجموعة هارادا-نورتون . حُسب جدول خصائص الوحش، وهو مصفوفة 194 × 194 ، في عام 1979 بواسطة فيشر ودونالد ليفينغستون باستخدام برامج حاسوبية كتبها مايكل ثورن. لم يكن واضحًا في سبعينيات القرن العشرين ما إذا كان الوحش موجودًا بالفعل. قام غريس [ 3 ] بإنشاء M كمجموعة التشاكلات الذاتية لجبر غريس ، وهو جبر تبادلي غير ترابطي ذو 196883 بُعدًا على الأعداد الحقيقية؛ وقد أعلن عن إنشائه لأول مرة في آن أربور في 14 يناير 1980. في ورقته البحثية عام 1982، أشار إلى هذا العملاق باسم "العملاق الودود"، لكن هذا الاسم لم يُعتمد على نطاق واسع. قام جون كونواي [ 4 ] وجاك تيتس [ 5 ] [ 6 ] لاحقًا بتبسيط هذا الإنشاء. 

أثبت بناء غريس وجود الوحش. وبيّن طومسون [ 7 ] أن تفرده (كمجموعة بسيطة تُحقق شروطًا معينة مستمدة من تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية) يترتب على وجود تمثيل أمين ذي 196883 بُعدًا . وقد أعلن نورتون [ 8 ] عن برهان على وجود هذا التمثيل، مع أنه لم ينشر تفاصيله. وقدّم غريس ومايرفرانكنفيلد وسيغيف أول برهان كامل منشور على تفرد الوحش (وبشكل أدق، أثبتوا أن المجموعة التي لها نفس مركزيات الالتفافات للوحش متماثلة معه). [ 9 ]

كان الوحش تتويجًا لتطور المجموعات البسيطة المتفرقة ويمكن بناؤه من أي اثنين من ثلاثة أقسام فرعية: مجموعة فيشر Fi 24 ، والوحش الصغير ، ومجموعة كونواي Co 1 .

إن مضاعف شور ومجموعة التماثل الخارجي للوحش كلاهما تافه .

التمثيلات

الحد الأدنى لدرجة التمثيل العقدي الأمين هو 47 × 59 × 71 = 196883 ، وهو حاصل ضرب أكبر ثلاثة قواسم أولية من رتبة M. أما أصغر تمثيل خطي أمين على أي حقل، فله بُعد 196882 على الحقل الذي يحتوي على عنصرين، وهو أقل بواحد فقط من بُعد أصغر تمثيل عقدي أمين.

أصغر تمثيل تبديلي أمين للوحش موجود في

   97 239 461 142 009 186 000
= 2 4 · 3 7 · 5 3 · 7 4 · 11 · 13 2 · 29 · 41 · 59 · 71 ≈ 10         20

نقاط.

يمكن تمثيل الوحش كمجموعة غالوا على الأعداد النسبية ، [ 10 ] وكمجموعة هورويتز . [ 11 ]

يُعدّ الوحش حالةً فريدةً بين الزمر البسيطة، إذ لا توجد طريقة سهلة معروفة لتمثيل عناصره. ولا يعود ذلك إلى حجمه بقدر ما يعود إلى غياب تمثيلات "صغيرة". فعلى سبيل المثال، الزمرتان البسيطتان A 100 وSL 20 (2) أكبر بكثير، لكن يسهل التعامل معهما حسابيًا نظرًا لصغر تمثيلاتهما التبديلية أو الخطية. أما الزمر المتناوبة ، مثل A 100 ، فلها تمثيلات تبديلية "صغيرة" مقارنةً بحجم الزمرة، وجميع الزمر البسيطة المنتهية من نوع لي ، مثل SL 20 (2)، لها تمثيلات خطية "صغيرة" مقارنةً بحجم الزمرة. كما أن جميع الزمر المتفرقة، باستثناء الوحش ، لها تمثيلات خطية صغيرة بما يكفي لتسهيل التعامل معها على الحاسوب (أصعب حالة تالية بعد الوحش هي الوحش الصغير ، بتمثيل ذي بُعد 4370 ).

بناء الحاسوب

قام مارتن سيسن (2022) بتطوير حزمة بايثون سريعة تُدعى mmgroup ، والتي تدّعي أنها أول تطبيق لمجموعة الوحش حيث يمكن إجراء عمليات حسابية عشوائية بكفاءة. تشير الوثائق إلى أن ضرب عناصر المجموعة يستغرق أقل من 40 مللي ثانية على جهاز كمبيوتر حديث نموذجي، وهو أسرع بخمسة مراتب من التقدير الذي وضعه روبرت أ. ويلسون في عام 2013. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] وقد استُخدمت حزمة برامج mmgroup لإيجاد مجموعتين فرعيتين عظميتين جديدتين لمجموعة الوحش. [ 16 ]

في السابق، اكتشف آر. إيه. ويلسون صراحةً (بمساعدة الحاسوب) مصفوفتين قابلتين للعكس بأبعاد 196882 × 196882 (بعناصر من حقل من الرتبة 2 ) تُولِّدان معًا المجموعة العملاقة بضرب المصفوفات؛ وهذا أقل بُعدًا واحدًا من التمثيل ذي الأبعاد 196883 في الخاصية 0. كان إجراء العمليات الحسابية على هاتين المصفوفتين ممكنًا، ولكنه مُكلف للغاية من حيث الوقت ومساحة التخزين، إذ تشغل كل مصفوفة منهما أكثر من أربعة ونصف جيجابايت. [ 17 ]

يؤكد ويلسون أن أفضل وصف للوحش هو أن نقول:

"إنها مجموعة التشاكل الذاتي لجبر الرؤوس الوحشية " .

لكن هذا لا يفيد كثيراً، لأنه لم يجد أحد "بناءً بسيطاً وطبيعياً حقاً لجبر الرؤوس الوحشي ". [ 18 ]

وجد ويلسون، بالتعاون مع آخرين، طريقةً لإجراء العمليات الحسابية على "الوحش" أسرع بكثير، وإن كانت قد استُبدلت الآن بعمل سيسن المذكور آنفًا. ليكن V فضاءً متجهيًا ذا 196,882 بُعدًا على الحقل، ويحتوي على 2  عنصرًا. تُختار زمرة جزئية كبيرة H (ويُفضّل أن تكون زمرة جزئية عظمى) من "الوحش" ليسهل إجراء العمليات الحسابية فيها. الزمرة الجزئية المختارة H هي 3 1+12 .2.Suz.2، حيث Suz هي زمرة سوزوكي . تُخزّن عناصر "الوحش" ككلمات في عناصر H ومولد إضافي T. من السهل نسبيًا حساب تأثير إحدى هذه الكلمات على متجه في V. باستخدام هذا التأثير، يُمكن إجراء عمليات حسابية (مثل رتبة عنصر من عناصر "الوحش"). وقد عرض ويلسون متجهين u و v يكون مُثبّتهما المشترك هو الزمرة التافهة. وهكذا (على سبيل المثال) يمكن حساب رتبة عنصر g من مجموعة الوحش بإيجاد أصغر قيمة k > 0 بحيث يكون g k u = u و g k v = v . وقد استُخدمت هذه الطريقة، وغيرها من الطرق المشابهة ( بخصائص مختلفة )، لإيجاد بعض الزمر الجزئية القصوى غير المحلية لمجموعة الوحش.

النواتج الفرعية

رسم تخطيطي للمجموعات البسيطة المتفرقة الـ 26  ، يوضح علاقات القسمة الفرعية.

يحتوي هذا الشكل على 20 مجموعة  من أصل 26 مجموعة متفرقة كأجزاء فرعية. يوضح هذا الرسم التخطيطي، المستند إلى رسم في كتاب "التناظر والوحش" لمارك رونان ، كيفية ترابط هذه المجموعات. [ 19 ] تشير الخطوط إلى احتواء المجموعة السفلى، كجزء فرعي، من قِبل المجموعة العليا. أما الرموز المحاطة بدوائر فتدل على مجموعات غير متضمنة في مجموعات متفرقة أكبر. ولتوضيح الرسم، لم يتم عرض العناصر المكررة. 

المجموعات الفرعية القصوى

يحتوي هذا الوحش على 46  فئة اقتران من الزمر الجزئية القصوى . [ 16 ] توجد الزمر البسيطة غير التبديلية، التي تضم حوالي 60 نوعًا من التشاكل، كزمر جزئية أو كحاصل قسمة زمر جزئية. أكبر زمرة متناوبة ممثلة هي A12 . 

 يُبيّن الجدول التالي فئات الزمر الجزئية القصوى الـ 46 للوحش. وقد زعمت دراسة سابقة غير منشورة لـ ويلسون وآخرون استبعاد أي زمر جزئية شبه بسيطة ذات قواعد بسيطة غير تبديلية من الشكل U³ ( 4) وL² ( 8) وL² ( 16). [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] إلا أن ديتريش وآخرون عارضوا هذا الزعم، إذ وجدوا زمرة جزئية قصوى جديدة من الشكل U³ ( 4). وكان المؤلفون أنفسهم قد وجدوا سابقًا زمرة جزئية قصوى جديدة من الشكل L² ( 13)، وأكدوا عدم وجود زمر جزئية قصوى ذات قاعدة L² ( 8) أو L² ( 16)، وبذلك اكتمل التصنيف في الأدبيات. [ 16 ]

المجموعات الفرعية القصوى للوحش
رقمبناءطلبتعليقات
12 · ب8,309,562,962,452,852,382,355,161,088 × 1,000,000 = 2 ...​​​​​مركزية انقلاب من الفئة  2A؛ تحتوي على مُعَيِّر (47:23) × 2  لمجموعة فرعية من سيلو 47
22 1+24 + · Co 1139,511,839,126,336,328,171,520,000 = 2 46 ·3 9 ·5 4 ·7 2 ·11·13·23مركزية انقلاب من الفئة  2ب
33 · Fi 247,531,234,255,143,970,327,756,800 = 2 22 ·3 17 ·5 2 ·7 3 ·11·13·17·23·29مُعَيِّر زمرة فرعية من الرتبة 3 (الفئة 3A)؛ يحتوي على مُعَيِّر ((29:14) × 3).2  لزمرة فرعية من نوع سيلو 29
42 2 · 2 E 6 (2):S 31,836,779,512,410,596,494,540,800 = 2 39 ·3 10 ·5 2 ·7 2 ·11·13·17·19معيار مجموعة كلاين 4  من النوع  2A 2
52 10+16 · O + 10 (2)1,577,011,055,923,770,163,200 = 2 46 ·3 5 ·5 2 ·7·17·31
62 2+11+22 .(S 3 × M 24 )٥٠,٤٧٢,٣٣٣,٦٠٥,١٥٠,٣٩٢,٣٢٠ = ٢ ٤٦ ·٣ ٤ ·٥·٧·١١·٢٣مُعَيِّرٌ لمجموعة كلاين 4؛ يحتوي على المُعَيِّر (23:11) × S 4 لمجموعة سيلو 23  الفرعية
73 1+12 + .2 Suz .22,859,230,155,080,499,200 = 2 15 ·3 20 ·5 2 ·7·11·13مُعَيِّر مجموعة فرعية من الرتبة  3 (الفئة  3B)
82 5+10+20 .(S 3 × L 5 (2))2,061,452,360,684,666,880 = 2 46 ·3 3 ·5·7·31
9S 3 × Th544,475,663,327,232,000 = 2 16 ·3 11 ·5 3 ·7 2 ·13·19·31مُعَيِّر زمرة فرعية من الرتبة  3 (الفئة  3C)؛ يحتوي على المُعَيِّر (31:15) × S 3  لزمرة فرعية من نوع سيلو 31
102 3+6+12+18 .(طول 3 (2) × 3س 6 )199,495,389,743,677,440 = 2 46 ·3 4 ·5·7
113 8 · O − 8 (3) · 2 3133,214,132,225,341,440 = 2 11 ·3 20 ·5·7·13·41
12(D 10 × HN ).25,460,618,240,000,000 = 2 16 ·3 6 ·5 7 ·7·11·19مُعَيِّر لمجموعة فرعية من الرتبة  5 (الفئة  5A)
13(3 2 :2 × O + 8 (3) ).S 42,139,341,679,820,800 = 2 16 ·3 15 ·5 2 ·7·13
143 2+5+10 .( M 11 × 2S 4 )49,093,924,366,080 = 2 8 ·3 20 ·5·11
153 3+2+6+6 :( ل 3 (3) × SD 16 )11,604,018,486,528 = 2 8 ·3 20 ·13
165 1+6 + :2 J 2 :4378,000,000,000 = 2 × 10³ 3 × 5 9 × 7مُعَيِّر مجموعة فرعية من الرتبة  5 (الفئة  5B)
17(7:3 × هو ):2169,276,262,400 = 2 11 ·3 4 ·5 2 ·7 4 ·17مُعَيِّر لمجموعة فرعية من الرتبة  7 (الفئة  7A)
18(A 5 × A 12 ):228,740,096,000 = 2 12 ·3 6 ·5 3 ·7·11
195 3+3 .(2 × L 3 (5))11,625,000,000 = 2 6 ·3·5 9 ·31
20(A 6 × A 6 × A 6 )(2 × S 4 )2,239,488,000 = 2 13 ·3 7 ·5 3
21(A 5 × U 3 (8):3 1 ):21,985,679,360 = 2 12 ·3 6 ·5·7·19يحتوي على المُعَيِّر ((19:9) × A 5 ):2  لمجموعة فرعية من Sylow 19
225 2+2+4 :(S 3 × GL 2 (5))1,125,000,000 = 2 6 ·3 2 ·5 9
23(L 3 (2) × S 4 (4):2).2658,022,400 = 2 13 ·3 3 ·5 2 ·7·17يحتوي على المُعَيِّر ((17:8) × L 3 (2)).2  لمجموعة فرعية من Sylow 17
247 1+4 + :(3 × 2S 7 )508,243,680 = 2 5 ·3 3 ·5·7 6مُعَيِّر لمجموعة فرعية من الرتبة  7 (الفئة  7B)
25(5 2 :4.2 2 × U 3 (5)).S 3302,400,000 = 2 9 ·3 3 ·5 5 ·7
26(L 2 (11) × M 12 ):2125,452,800 = 2 9 ·3 4 ·5 2 ·11 2يحتوي على المُعَيِّر (11:5 × M 12 ):2 لمجموعة فرعية من الرتبة  11
27(A 7 × (A 5 × A 5 ):2 2 ):272,576,000 = 2 × 10 × 3 × 4 × 5 × 3 × 7
285 4 :(3 × 2L 2 (25)):2 2٥٨,٥٠٠,٠٠٠ = ٢ ٥ × ٣ ٢ × ٥ ٦ × ١٣
297 2+1+2 :GL 2 (7)33,882,912 = 2 5 ·3 2 ·7 6
30M 11 × A 6 .2 211,404,800 = 2 9 ·3 4 ·5 2 ·11
31(S 5 × S 5 × S 5 ):S 310,368,000 = 2 × 10 × 3 × 4 × 5 × 3
32(L 2 (11) × L 2 (11)):41,742,400 = 2 6 ·3 2 ·5 2 ·11 2
3313 2 :2L 2 (13).41,476,384 = 2 5 ·3·7·13 3
34(7 2 :(3 × 2 أ 4 ) × ل 2 (7)):21,185,408 = 2 7 ·3 3 ·7 3
35(13:6 × L 3 (3)).2876,096 = 2 6 ·3 4 ·13 2مُعَيِّر لمجموعة فرعية من الرتبة  13 (الفئة  13A)
3613 1+2 + :(3 × 4S 4 )632,736 = 2 5 ·3 2 ·13 3مُعَيِّر لمجموعة فرعية من الرتبة  13 (الفئة  13ب)؛ مُعَيِّر  لمجموعة فرعية من نوع سيلو 13
37U 3 (4):4249,600 = 2 8 ·3·5 2 ·13[ 16 ]
38L 2 (71)178,920 = 2 3 ·3 2 ·5·7·71يحتوي على المعيار 71:35  لمجموعة فرعية من Sylow 71 [ 23 ]
3911 2 :(5 × 2A 5 )72,600 = 2 3 ·3·5 2 ·11 2مُعَيِّر  لمجموعة فرعية من نوع سيلو 11.
40L 2 (41)34,440 = 2 3 ·3·5·7·41وجد نورتون وويلسون مجموعة فرعية قصوى من هذا الشكل؛ وبسبب خطأ دقيق أشار إليه زافارنيتسين، ادعت بعض القوائم والأوراق السابقة أنه لا توجد مجموعة فرعية قصوى كهذه [ 21 ].
41L 2 (29):224360 = 2 3 ·3·5·7·29[ 24 ]
427 2 :SL 2 (7)16464 = 2 4 ·3·7 3تم حذف هذا عن طريق الخطأ من بعض القوائم السابقة التي تضم 7  مجموعات فرعية محلية.
43L 2 (19):26840 = 2 3 ·3 2 ·5·19[ 23 ]
44L 2 (13):22184 = 2 3 ·3·7·13[ 16 ]
4559:291711 = 29.59معيار مجموعة فرعية من Sylow 59  ؛ كان يُعتقد سابقًا أنها L 2 (59) [ 16 ]
4641:401640 = 2 3 ·5·41 معيار مجموعة فرعية من سيلو 41

لاحظ أن جداول المجموعات الفرعية القصوى غالباً ما تحتوي على أخطاء دقيقة، وعلى وجه الخصوص تم حذف مجموعتين فرعيتين على الأقل من هذا الجدول بشكل غير صحيح من بعض القوائم السابقة.

ملاحظة مكاي E 8

توجد أيضًا روابط بين الوحش ومخططات دينكين الموسعة هـ~8 {\displaystyle \ {\tilde {E}}_{8}\ }وبالتحديد بين عُقد المخطط وفئات اقتران مُعينة في النموذج، والمعروفة باسم مُلاحظة مكاي E 8. [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] ثم يتم توسيع هذا ليشمل علاقة بين المخططات المُمتدة . هـ~6،هـ~7،هـ~8 {\displaystyle \ {\tilde {E}} _ {6}، {\tilde {E}} _ {7}، {\tilde {E}} _ {8}\ }والمجموعات 3.Fi 24 ′ و2.B وM، حيث تمثل هذه المجموعات امتدادات مركزية (3/2/1) لمجموعة فيشر ، ومجموعة الوحش الصغير ، والوحش. وهي مجموعات متفرقة مرتبطة بمركزات عناصر من النوع  1A و2A و3A في الوحش، ويتوافق ترتيب الامتداد مع تناظرات الرسم التخطيطي. انظر تصنيف ADE: الثالوثات لمزيد من الروابط (من نوع تناظر مكاي )، بما في ذلك (بالنسبة للوحش) مع المجموعة البسيطة الصغيرة PSL (2,11) ومع المستويات المماسية الثلاثية الـ 120 لمنحنى سداسي قانوني من النوع 4 يُعرف باسم منحنى برينغ .

لغو

تعتبر مجموعة الوحش واحدة من اثنين من المكونات الرئيسية في تخمين ضوء القمر الوحشي لكونواي ونورتون، [ 28 ] والذي يربط بين الرياضيات المنفصلة وغير المنفصلة وتم إثباته أخيرًا بواسطة ريتشارد بورشيردز في عام 1992.

في هذا السياق، تكون مجموعة الوحش مرئية كمجموعة التشاكل الذاتي لوحدة الوحش ، وهي جبر عامل الرأس ، وجبر لا نهائي الأبعاد يحتوي على جبر غريس، ويعمل على جبر لي الوحش ، وهو جبر كاك-مودي المعمم .

رأى العديد من علماء الرياضيات، بمن فيهم كونواي، في هذا الكائن المسمى "الوحش" ظاهرةً جميلةً وغامضةً في آنٍ واحد. [ 29 ] قال كونواي عن هذه المجموعة: "لم يُقدَّم أي تفسير لوجودها، ومن الواضح أنها ليست مجرد صدفة. فهي تتمتع بخصائص مثيرة للاهتمام أكثر من أن يكون وجودها مجرد حادث عابر." [ 30 ] ونُقل عن سيمون ب. نورتون ، الخبير في خصائص هذه المجموعة، قوله: "أستطيع أن أشرح ماهية "ضوء القمر الوحشي" في جملة واحدة، إنه صوت الله." [ 31 ]

انظر أيضاً

الاقتباسات

  1. ↑ غاردنر 1980 ، ص 20-33.
  2. ^ جريس 1975 ، ص 113 – 118.
  3. ^ جريس 1982 ، ص 1-102.
  4. ↑ كونواي 1985 ، ص 513-540.
  5. ↑ تيتس 1983 ، ص 105-122.
  6. ↑ تيتس 1984 ، ص 491-499.
  7. ↑ طومسون 1979 ، ص 340-346.
  8. ↑ نورتون 1982 ، ص 271-285.
  9. ^ جريس ومايرفرانكنفيلد وسيجيف 1989 ، ص 567-602.
  10. ↑ طومسون 1984 ، ص 443.
  11. ↑ ويلسون 2001 ، ص 367-374.
  12. ↑ سيسن، مارتن. "مرجع واجهة برمجة تطبيقات mmgroup" . تم الاسترجاع في 31 يوليو 2022 – عبر mmgroup.readthedocs.io.
  13. ↑ سيسن، مارتن (8 مارس 2022). "تنفيذ سريع لمجموعة الوحش". arXiv : 2203.04223 [ math.GR ].
  14. ↑ سيسن، مارتن (13 مايو 2020). "بناء سهل الاستخدام للحاسوب للوحش". arXiv : 2002.10921 [ math.GR ].
  15. ↑ ويلسون، روبرت أ. (18 أكتوبر 2013). "الوحش ومجموعات الصندوق الأسود". arXiv : 1310.5016 [ math.GR ].
  16. 1 2 3 4 5 6 ديتريش ولي وبوبيل 2025 .
  17. ↑ بورشيردز 2002 ، ص 1076.
  18. ↑ بورشيردز 2002 ، ص 1077.
  19. ↑ رونان 2006 .
  20. ↑ ويلسون 2010 ، ص 393-403.
  21. 1 2 نورتون وويلسون 2013 ، ص 943-962.
  22. ↑ ويلسون 2016 ، ص 355-364.
  23. 1 2 هولمز وويلسون 2008 ، ص 2653-2667.
  24. ↑ هولمز وويلسون 2002 ، ص 435-447.
  25. ↑ دنكان 2008 .
  26. ↑ le Bruyn 2009 .
  27. ↑ هي وماكاي 2015 .
  28. ↑ كونواي ونورتون 1979 ، ص 308-339.
  29. ↑ روبرتس 2013 .
  30. ↑ هاران 2014 ، 7:57 .
  31. ↑ ماجستير 2019

مصادر

للمزيد من القراءة