مجموعة متفرقة

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 36 صور
الموسوعة الحرة

في التصنيف الرياضي للمجموعات البسيطة المنتهية ، يوجد عدد من المجموعات التي لا تنتمي إلى أي عائلة لانهائية. تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات البسيطة المتفرقة ، أو المجموعات المنتهية المتفرقة ، أو ببساطة المجموعات المتفرقة .

الزمرة البسيطة هي زمرة G لا تحتوي على أي زمر جزئية طبيعية باستثناء الزمرة التافهة و G نفسها. تنص نظرية التصنيف المذكورة على أن قائمة الزمر البسيطة المنتهية تتكون من 18 عائلة قابلة للعد اللانهائي [ a ] بالإضافة إلى 26 استثناءً لا تتبع هذا النمط المنتظم. هذه الاستثناءات الـ 26 هي الزمر المتفرقة. تُعتبر زمرة تيتس أحيانًا زمرة متفرقة لأنها ليست زمرة من نوع لي بالمعنى الدقيق للكلمة ، [ 1 ] وفي هذه الحالة سيكون هناك 27 زمرة متفرقة.

تُعدّ مجموعة الوحوش ، أو العمالقة الودودين ، أكبر المجموعات المتفرقة، وجميع المجموعات المتفرقة الأخرى باستثناء ست منها هي أجزاء فرعية منها. [ 2 ]

الأسماء

اكتشف إميل ماثيو خمسًا من المجموعات المتفرقة في ستينيات القرن التاسع عشر، بينما عُثر على المجموعات الإحدى والعشرين المتبقية بين عامي 1965 ( J1 ) و1975 ( J4 ) . وقد تنبأ البعض بوجود العديد من هذه المجموعات قبل اكتشافها. سُميت معظم المجموعات نسبةً إلى عالم الرياضيات الذي تنبأ بوجودها. القائمة الكاملة هي: [ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]

يوضح الرسم البياني علاقات القسمة الفرعية بين المجموعات المتفرقة الـ 26. يشير الخط الواصل إلى أن المجموعة الأدنى هي قسمة فرعية من المجموعة الأعلى، ولا توجد قسمة فرعية متفرقة بينهما. أجيال روبرت غريس: الأول، الثاني، الثالث، المنبوذ

جُمعت لأول مرة العديد من الصيغ لهذه المجموعات في كونواي وآخرون (1985) ، بما في ذلك جداول الخصائص ، وفئات الاقتران الفردية، وقوائم المجموعات الفرعية القصوى ، بالإضافة إلى مُضاعِفات شور ورتب التشاكلات الخارجية الخاصة بها . كما نُشرت هذه الصيغ على الإنترنت في ويلسون وآخرون (1999) ، مع تحديثها بعروض المجموعات وعروضها شبه الكاملة. وحُسبت أيضًا درجات التمثيل الأمين الأدنى أو خصائص براور على حقول ذات خاصية p ≥ 0 لجميع المجموعات المتفرقة، ولبعض مجموعات التغطية الخاصة بها. وقد وردت تفاصيل ذلك في جانسن (2005) .

يُعدّ زمرة تيتس (T) استثناءً آخر في تصنيف الزمر البسيطة المنتهية ، إذ تُصنّف أحيانًا ضمن زمر لي [ 5 ] أو الزمر المتفرقة - فهي تكاد تكون زمرة لي، ولكنها ليست كذلك تمامًا [ 6 ] - ولهذا السبب يُذكر في بعض المصادر أن عدد الزمر المتفرقة هو 27 بدلًا من 26. [ 7 ] [ 8 ] وفي مصادر أخرى ، تُعتبر زمرة تيتس ليست متفرقة ولا من نوع لي، أو كليهما. [ 9 ] زمرة تيتس هي العضو ( n = 0) من عائلة زمر التبديل اللانهائية 2F₄ ( 2 ) ′ ؛ وبالتالي فهي ، بالمعنى الدقيق، ليست متفرقة ولا من نوع لي. بالنسبة لـ n > 0 ، تتطابق هذه الزمر البسيطة المنتهية مع زمر لي من النوع 2F₄ ( 2 ) ′ ، والمعروفة أيضًا باسم زمر ري من النوع 2F₄ .

قد يكون أول استخدام لمصطلح المجموعة المتفرقة هو بيرنسايد (1911 ، ص 504) حيث يعلق على مجموعات ماثيو قائلاً: "من المحتمل أن تستحق هذه المجموعات البسيطة المتفرقة ظاهريًا دراسة أكثر دقة مما حظيت به حتى الآن." (في ذلك الوقت، لم تكن المجموعات المتفرقة الأخرى قد اكتُشفت بعد). 

يستند الرسم البياني الموجود على اليمين أعلاه إلى رونان (2006 ، ص 247) . وهو لا يُظهر العديد من النواتج الفرعية البسيطة غير المتفرقة للمجموعات المتفرقة. 

منظمة

عائلة سعيدة

من بين المجموعات المتفرقة الـ 26، يمكن اعتبار 20 منها داخل المجموعة الرئيسية كمجموعات فرعية أو أقسام فرعية . وقد أطلق روبرت غريس على هذه المجموعات العشرين اسم " العائلة السعيدة" ، ويمكن تنظيمها في ثلاثة أجيال. [ 10 ] [ ب ]

الجيل الأول (5 مجموعات): مجموعات ماثيو

M <sub>n </sub>، حيث n = 11، 12، 22، 23، و24، هي زمر تبديل متعددة التعدي على n نقطة. وهي جميعها زمر جزئية من M <sub>24</sub> ، وهي زمرة تبديل على 24 نقطة. [ 11 ]

الجيل الثاني (7 مجموعات): شبكة العلق

جميع الأجزاء الفرعية لمجموعة التشاكل الذاتي لشبكة في 24 بُعدًا تسمى شبكة ليتش : [ 12 ]

  • Co 1 هو خارج قسمة مجموعة التشاكل الذاتي على مركزها {±1}
  • Co 2 هو المثبت لمتجه من النوع 2 (أي طوله 2)
  • Co 3 هو المثبت لمتجه من النوع 3 (أي طوله √ 6 )
  • Suz هي مجموعة من التشاكلات الذاتية التي تحافظ على بنية معقدة (بتردد مركزها).
  • McL هو المثبت لمثلث من النوع 2-2-3
  • HS هو المثبت لمثلث من النوع 2-3-3
  • J 2 هي مجموعة التشاكلات الذاتية التي تحافظ على بنية رباعية (modulo its center).

الجيل الثالث (8 مجموعات): مجموعات فرعية أخرى من الوحش

يتكون من مجموعات فرعية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة الوحوش M : [ 13 ]

  • B أو F 2 لها غطاء مزدوج وهو مركز عنصر من الرتبة 2 في M
  • يحتوي Fi 24 ′ على غطاء ثلاثي وهو مركز عنصر من الرتبة 3 في M (في فئة الاقتران "3A").
  • Fi 23 هي مجموعة فرعية من Fi 24 ′
  • يحتوي Fi 22 على غلاف مزدوج وهو مجموعة فرعية من Fi 23
  • إن حاصل ضرب Th = F 3 ومجموعة من الرتبة 3 هو مركز عنصر من الرتبة 3 في M (في فئة الترافق "3C").
  • حاصل ضرب HN = F 5 ومجموعة من الرتبة 5 هو مركز عنصر من الرتبة 5 في M
  • إن حاصل ضرب He = F 7 ومجموعة من الرتبة 7 هو مركز عنصر من الرتبة 7 في M.
  • وأخيراً، تُعتبر مجموعة الوحوش نفسها من هذا الجيل.

(تستمر هذه السلسلة: حاصل ضرب M 12 ومجموعة من الرتبة 11 هو مركز عنصر من الرتبة 11 في M. )

إذا اعتُبرت مجموعة تيتس مجموعةً متفرقة، فإنها تنتمي إلى هذا الجيل: فهناك مجموعة فرعية S 4 × 2 F 4 (2) ′ تُعَيِّر مجموعة فرعية 2C 2 من B ، مما يُؤدي إلى مجموعة فرعية 2·S 4 × 2 F 4 (2)′ تُعَيِّر مجموعة فرعية Q 8 معينة من الوحش. 2 F 4 (2)′ هي أيضًا مجموعة جزئية من مجموعة فيشر Fi 22 ، وبالتالي من Fi 23 و Fi 24 ′، ومن الوحش الصغير B. 2 F 4 (2)′ هي أيضًا مجموعة جزئية من مجموعة رودفاليس (المنبوذة) Ru ، وليس لها أي علاقة بالمجموعات البسيطة المتفرقة باستثناء تلك المذكورة سابقًا .

المنبوذون

الاستثناءات الستة هي J 1 و J 3 و J 4 و O'N و Ru و Ly ، والمعروفة أحيانًا باسم المنبوذين . [ 14 ] [ 15 ]

جدول ترتيبات المجموعات المتفرقة (مع مجموعة القرقف)

مجموعةمكتشف[ 16 ] السنةجيل[ 1 ] [ 4 ] [ 17 ] ترتيب[ 18 ] درجة الحد الأدنى من خصائص براور الأمينة[ 19 ] [ 20 ](أ،ب،أب){\displaystyle (a,b,ab)}مولدات كهربائية[ 20 ] [ ج ]⟨⟨أ،ب|o(z)⟩⟩{\displaystyle \langle \langle a,b\mid o(z)\rangle \rangle }عرض تقديمي جزئي
ذكر أو أنثى 1فيشر ، غريس1973 الثالث808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 = 2 46 ·3 20 ·5 9 ·7 6 ·11 2 · 13 3 ·17·19·23·29·31 · 41·47·59·71 ≈ 8 × 10  531968832أ، 3ب، 29o((أب)4(أب2)2)=50{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{4}(ab^{2})^{2}{\bigr )}=50}
ب أو ف 2فيشر1973 الثالث4,154,781,481,226,426,191,177,580,544,000,000 =  2 41 ·3 13 ·5 6 ·7 2 ·11·13·17·19·23·31·47 ≈  4 × 103343712C، 3A، 55o((أب)2(أبأب2)2أب2)=23{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=23}
Fi 24 أو F 3+فيشر1971 الثالث1,255,205,709,190,661,721,292,800 =  2 21 ·3 16 ·5 2 ·7 3 ·11·13·17·23·29 ≈  1 × 102486712أ، 3هـ، 29o((أب)3ب)=33{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=33}
Fi 23فيشر1971 الثالث4,089,470,473,293,004,800 =  2 18 ·3 13 ·5 2 ·7·11·13·17·23 ≈  4 × 10187822ب، 3د، 28o(أبب(أب)14)=5{\displaystyle o{\bigl (}a^{bb}(ab)^{14}{\bigr )}=5}
Fi 22فيشر1971 الثالث64,561,751,654,400 =  2 × 17 × 3 × 9 × 5 × 2 × 7 × 11 × 13 ≈  6 × 1013782أ، 13، 11o((أب)2(أبأب2)2أب2)=12{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=12}
الخميس أو الجمعة 3تومسون1976 الثالث90,745,943,887,872,000 =  2 × 15 × 3 × 10 × 5 × 3 × 7 × 2 × 13 × 19 × 31 ≈  9 × 10162482، 3أ، 19o((أب)3ب)=21{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{3}b{\bigr )}=21}
ليليونز1972 منبوذ51,765,179,004,000,000 =  2 8 ·3 7 ·5 6 ·7·11·31·37·67 ≈  5 × 101624802، 5أ، 14o(أبأبأب2)=67{\displaystyle o{\bigl (}اباباب^{2}{\bigr )}=67}
HN أو F 5هارادا ، نورتون1976 الثالث273,030,912,000,000 =  2 × 14 × 3 × 6 × 5 × 6 × 7 × 11 × 19 ≈  3 × 10141332أ، 3ب، 22o([أ،ب])=5{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=5}
Co 1كونواي1969 الثاني4,157,776,806,543,360,000 =  2 21 ·3 9 ·5 4 ·7 2 ·11·13·23 ≈  4 × 10182762ب، 3ج، 40o(أب(أبأب2)2)=42{\displaystyle o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}{\bigr )}=42}
ثاني أكسيد الكربونكونواي1969 الثاني42,305,421,312,000 =  2 × 18 × 3 × 6 × 5 × 3 × 7 × 11 × 23 ≈  4 × 1013232أ، 5أ، 28o([أ،ب])=4{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=4}
Co 3كونواي1969 الثاني495,766,656,000 =  2 × 10³⁷ × 5³ × 7 × 11 × 2³ ≈  5 × 10⁶11232أ، 7ج، 17o((uvv)3(uv)6)=5{\displaystyle o{\bigl (}(uvv)^{3}(uv)^{6}{\bigr )}=5}[ د ]
تشغيل أو تشغيلأونان1976 منبوذ460,815,505,920 =  2 × 9 × 3 × 4 × 5 × 7 × 3 × 11 × 19 × 31 ≈  5 × 1011109442أ، 4أ، 11o(أبأب(ب2(ب2)أبأب)5)=5{\displaystyle o{\bigl (}abab(b^{2}(b^{2})^{abab})^{5}{\bigr )}=5}
سوزسوزوكي1969 الثاني448,345,497,600 =  2 × 13 × 3 × 7 × 5 × 2 × 7 × 11 × 13 ≈  4 × 10111432ب، 3ب، 13o([أ،ب])=15{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=15}
رورودفاليس1972 منبوذ145,926,144,000 =  2 14 ·3 3 ·5 3 ·7·13·29 ≈  1 × 10113782ب، 4أ، 13o(أبأب2)=29{\displaystyle o(abab^{2})=29}
هو أو أنثى 7محتجز1969 الثالث4,030,387,200 =  2 × 10³ 3 × 5 2 × 7 3 × 17 ≈  4 × 109512أ، 7ج، 17o(أب2أبأب2أب2)=10{\displaystyle o{\bigl (}ab^{2}abab^{2}ab^{2}{\bigr )}=10}
McLماكلولين1969 الثاني٨٩٨١٢٨٠٠٠ =  ٢ ٧ × ٣ ٦ × ٥ ٣ × ٧ × ١١ ≈  ٩ × ١٠8222أ، 5أ، 11o((أب)2(أبأب2)2أب2)=7{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=7}
HSهيغمان ، سيمز1967 الثاني44,352,000 =  2 × 9 × 3 × 2 × 5 × 3 × 7 × 11 ≈  4 × 107222أ، 5أ، 11o(أبأب2)=15{\displaystyle o(abab^{2})=15}
J 4جانكو1976 منبوذ86,775,571,046,077,562,880 =  2 21 ·3 3 ·5·7·11 3 ·23·29·31·37·43 ≈  9 × 101913332أ، 4أ، 37o(أبأب2)=10{\displaystyle o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=10}
J 3 أو HJMجانكو1968 منبوذ٥٠,٢٣٢,٩٦٠ =  ٢ ٧ ·٣ ٥ ·٥·١٧·١٩ ≈  ٥ × ١٠7852أ، 3أ، 19o([أ،ب])=9{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=9}
J 2 أو HJجانكو1968 الثاني604,800 =  2 × 7 × 3 × 3 × 5 × 2 × 7 ≈  6 × 105142ب، 3ب، 7o([أ،ب])=12{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=12}
J 1جانكو1965 منبوذ175,560 =  2 3 ·3·5·7·11·19 ≈  2 × 105562، 3، 7o(أبأب2)=19{\displaystyle o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=19}
م 24ماثيو1861 الأول244,823,040 =  2 × 10³³ ...​​​​ 8232ب، 3أ، 23o(أب(أبأب2)2أب2)=4{\displaystyle o{\bigl (}ab(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4}
م 23ماثيو1861 الأول10,200,960 =  2 7 ·3 2 ·5·7·11·23 ≈  1 × 107222، 4، 23o((أب)2(أبأب2)2أب2)=8{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=8}
م 22ماثيو1861 الأول443,520 =  2 7 ·3 2 ·5·7·11 ≈  4 × 105212أ، 4أ، 11o(أبأب2)=11{\displaystyle o{\bigl (}abab^{2}{\bigr )}=11}
م 12ماثيو1861 الأول95,040 =  2 6 ·3 3 ·5·11 ≈  1 × 105112ب، 3ب، 11o([أ،ب])=o(أبأبأب2)=6{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=o{\bigl (}ababab^{2}{\bigr )}=6}
م 11ماثيو1861 الأول7920 =  2 × 4 × 3 × 2 × 5 × 11 ≈  8 × 103102، 4، 11o((أب)2(أبأب2)2أب2)=4{\displaystyle o{\bigl (}(ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2}{\bigr )}=4}
T أو 2 F 4 (2)′أثداء1964 الثالث17,971,200 =  2 × 11 × 3 × 3 × 5 × 2 × 13 ≈  2 × 107104 [ 21 ]2أ، 3، 13o([أ،ب])=5{\displaystyle o{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=5}

ملحوظات

  1. ↑ مجموعات الرتبة الأولية، والمجموعات المتناوبة من الدرجة 5 على الأقل، والعائلة اللانهائية من مجموعات التبديل 2 F 4 (2 2 n +1 )′ من مجموعات من نوع Lie (تحتوي على مجموعة Tits)، و15 عائلة من مجموعات من نوع Lie.
  2. ↑ قام كونواي وآخرون (1985 ، ص. 8) بتنظيم المجموعات المتفرقة الـ 26 على النحو التالي:
    "يمكن تصنيف المجموعات البسيطة المتفرقة تقريبًا على أنها مجموعات ماثيو، ومجموعات شبكة ليتش، ومجموعات فيشر ذات النقل الثلاثي، ومجموعات مونستر المركزية الإضافية، والست مجموعات المتبقية."
  3. ↑ فيما يلي بعض العروض التقديمية الجزئية من المولدات القياسية لكل مجموعة متفرقة. تحتوي معظم المجموعات المتفرقة على عروض تقديمية وعروض تقديمية جزئية متعددة؛ وقد تم إدراج الأمثلة الأكثر بروزًا.
  4. ↑ أينu=(ب2(ب2)أبب)3{\displaystyle u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}}وv=ت(ب2(ب2)ت)2{\displaystyle v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}}معت=أبأب3أ2{\displaystyle t=abab^{3}a^{2}}.

مراجع

  1. 1 2 3 كونواي وآخرون. (1985 ، ص. الثامن)
  2. ↑ غريس الابن (1998 ، ص 146) 
  3. ↑ غورنشتاين، ليونز وسولومون (1998 ، ص 262-302) 
  4. 1 2 رونان (2006 ، ص 244-246) 
  5. ↑ هاوليت، ريلاندز وتايلور (2001 ، ص 429)
    "هذا يكمل تحديد مولدات المصفوفة لجميع مجموعات نوع لي، بما في ذلك المجموعات الملتوية لستاينبرغ وسوزوكي وري (ومجموعة تيتس)."
  6. ↑ غورنشتاين (1979 ، ص 111)
  7. ^ كونواي وآخرون. (1985 ، ص.8)
  8. ↑ هارتلي وهولبكي (2010 ، ص 106)
    "المجموعات البسيطة المنتهية هي اللبنات الأساسية لنظرية المجموعات المنتهية. تندرج معظمها ضمن عدد قليل من العائلات اللانهائية من المجموعات، ولكن هناك 26 مجموعة (أو 27 إذا تم احتساب مجموعة تيتس 2 F 4 (2) ′ أيضًا) لا تشملها هذه العائلات اللانهائية."
  9. ↑ ويلسون وآخرون (1999 ، المجموعات المتفرقة والمجموعات الاستثنائية من نوع لاي)
  10. ↑ غريس الابن (1982 ، ص 91) 
  11. ^ جريس الابن (1998 ، ص 54-79) 
  12. ^ جريس الابن (1998 ، ص 104-145) 
  13. ^ جريس الابن (1998 ، ص 146−150) 
  14. ^ جريس الابن (1982 ، ص 91−96) 
  15. ^ جريس الابن (1998 ، ص 146، 150−152) 
  16. ↑ هيس (2003 ، ص 172)
    Tabelle 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (الجدول 2. اكتشاف المجموعات المتفرقة)
  17. ↑ سلون (1996)
  18. ^ يانسن (2005 ، ص 122 – 123) 
  19. ↑ نيكرسون وويلسون (2011 ، ص 365)
  20. 1 2 ويلسون وآخرون (1999)
  21. ↑ لوبيك (2001 ، ص 2151) 

المراجع