مجموعة قابلة للحل

أصغر امتداد لحقل غالوا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$يحتوي على العنصر

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

يُعطي مجموعة قابلة للحل. امتدادات الحقول المرتبطة بها

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

أعطِ مجموعة قابلة للحل من امتدادات غالوا تحتوي على عوامل التركيب التالية (حيث${\displaystyle 1}$(هو التبديل المحايد).

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$بالعمل الجماعي${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$، ومتعدد الحدود الأدنى${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$بالعمل الجماعي${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$، ومتعدد الحدود الأدنى${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$بالعمل الجماعي${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2^{n}im\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$، ومتعدد الحدود الأدنى${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$يحتوي على الجذور الخامسة للوحدة باستثناء${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$بالعمل الجماعي${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$، ومتعدد الحدود الأدنى${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

كل من الإجراءات الجماعية المحددة (على سبيل المثال،${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$يُغيّر هذا الإجراء امتدادًا واحدًا مع الحفاظ على ثبات جميع الامتدادات الأخرى. وتُشكّل إجراءات المجموعة الثمانون المجموعة${\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}$.

هذه المجموعة ليست تبديلية . على سبيل المثال،${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$بينما${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$وفي الواقع،${\displaystyle jh=hj^{3}}$.

وهو متماثل مع${\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$، أين${\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$، مُعرَّفة باستخدام الناتج شبه المباشر والناتج المباشر للمجموعات الحلقية . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ليست مجموعة فرعية طبيعية.

المثال الأساسي للمجموعات القابلة للحل هو المجموعات الأبيلية. وهي قابلة للحل بشكل بديهي لأن متسلسلة شبه طبيعية تتكون من المجموعة نفسها والمجموعة التافهة فقط. أما المجموعات غير الأبيلية فقد تكون قابلة للحل أو لا.

بشكل عام، جميع الزمر العديمة القوة قابلة للحل. وعلى وجه الخصوص، فإن الزمر المنتهية من الرتبة p قابلة للحل، لأن جميع الزمر المنتهية من الرتبة p عديمة القوة.

تُشكّل امتدادات المجموعات أمثلة نموذجية للمجموعات القابلة للحل. أي، إذا${\displaystyle G}$و${\displaystyle G'}$إذا كانت المجموعات قابلة للحل، فإن أي امتداد

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

يُعرّف مجموعة قابلة للحل${\displaystyle G''}$في الواقع، يمكن تشكيل جميع المجموعات القابلة للحل من هذه الامتدادات للمجموعات.

من الأمثلة الصغيرة على الزمر غير الصفرية القابلة للحل الزمرة المتناظرة S3 _. في الواقع، بما أن أصغر زمرة بسيطة غير تبديلية هي A5 ( الزمرة المتناوبة من الدرجة 5)، فإنه يترتب على ذلك أن _كل زمرة ذات رتبة أقل من 60 قابلة للحل.

تنص نظرية فيت -تومسون على أن كل زمرة منتهية ذات رتبة فردية قابلة للحل. وهذا يعني تحديدًا أنه إذا كانت الزمرة المنتهية بسيطة، فهي إما زمرة دورية أولية أو زمرة ذات رتبة زوجية.

المجموعة S₅ غير قابلة للحل ، _إذ تحتوي على متسلسلة تركيب {E, A₅ , S₅ } ( وتنص نظرية جوردان-هولدر _{على أن كل متسلسلة تركيب} أخرى مكافئة لها)، مما يُعطي مجموعات عوامل متماثلة مع A₅ و C₂ ؛ و _A₅ ليست تبديلية. بتعميم هذه الحجة، بالإضافة إلى حقيقة أن Aₙ زمرة _{جزئية بسيطة طبيعية، قصوى ،} وغير تبديلية من _Sₙ عندما n > _{4، نرى أن Sₙ غير} قابلة للحل عندما n > 4. هذه خطوة أساسية في إثبات أنه لكل n > 4 توجد كثيرات حدود من الدرجة n غير قابلة للحل بالجذور ( نظرية أبيل-روفيني ). تُستخدم هذه الخاصية أيضًا في نظرية التعقيد في إثبات نظرية بارينغتون .

ضع في اعتبارك المجموعات الفرعية

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ل${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

لبعض المجالات${\displaystyle \mathbb {F} }$ثم، حاصل قسمة المجموعة${\displaystyle B/U}$يمكن إيجادها عن طريق أخذ عناصر عشوائية في${\displaystyle B,U}$بضربها معًا، ثم تحديد البنية الناتجة.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

لاحظ شرط المحدد على${\displaystyle GL_{2}}$يشير إلى${\displaystyle ac\neq 0}$، لذلك${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$هي مجموعة فرعية (وهي المصفوفات التي${\displaystyle b=0}$). للثابت${\displaystyle a,b}$المعادلة الخطية${\displaystyle ad+b=0}$يشير إلى${\displaystyle d=-b/a}$، وهو عنصر عشوائي في${\displaystyle \mathbb {F} }$منذ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$بما أنه يمكننا أخذ أي مصفوفة في${\displaystyle B}$واضربها في المصفوفة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

مع${\displaystyle d=-b/a}$، يمكننا الحصول على مصفوفة قطرية في${\displaystyle B}$هذا يوضح مجموعة القسمة${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$.

بالنسبة لمجموعة جبرية خطية${\displaystyle G}$تُعرَّف المجموعة الفرعية بوريل بأنها مجموعة فرعية مغلقة ومتصلة وقابلة للحل في${\displaystyle G}$وهي زمرة جزئية قصوى ممكنة بهذه الخصائص (لاحظ أن أول خاصيتين هما خاصيتان طوبولوجيتان). على سبيل المثال، في${\displaystyle GL_{n}}$و${\displaystyle SL_{n}}$تُعدّ مجموعات المصفوفات المثلثية العلوية أو المثلثية السفلية اثنتين من مجموعات بوريل الفرعية. في المثال المذكور أعلاه، المجموعة الفرعية${\displaystyle B}$في${\displaystyle GL_{2}}$، هي مجموعة فرعية من بوريل.

أي زمرة منتهية تكون زمرها الجزئية من نوع p -Sylow دورية هي ناتج شبه مباشر لزمرتين دوريتين، وهي قابلة للحل على وجه الخصوص. وتسمى هذه الزمر زمر Z.

لتعزيز قابلية الحل، تُسمى المجموعة G قابلة للحل الفائق (أو فائقة الحل ) إذا كانت لها متسلسلة طبيعية ثابتة جميع عواملها دورية. ولأن المتسلسلة الطبيعية لها طول محدود بحكم تعريفها، فإن _{المجموعات} غير المعدودة ليست قابلة للحل الفائق. في الواقع، جميع المجموعات القابلة للحل الفائق مولدة توليدًا منتهيًا ، وتكون المجموعة الأبيلية قابلة للحل الفائق إذا وفقط إذا كانت مولدة توليدًا منتهيًا. المجموعة المتناوبة A⁴ مثال على مجموعة قابلة للحل منتهية ولكنها ليست قابلة للحل الفائق.

إذا اقتصرنا على المجموعات المولدة نهائياً، فيمكننا النظر في الترتيب التالي لفئات المجموعات:

دورية < تبديلية < عديمة القوة < فائقة الحل < متعددة الحلقات < قابلة للحل < مجموعة مولدة نهائياً .

تُسمى المجموعة G قابلة للحل افتراضياً إذا كان لها مجموعة فرعية قابلة للحل ذات دليل منتهٍ. وهذا مشابه للمجموعات الأبيلية افتراضياً . من الواضح أن جميع المجموعات القابلة للحل هي قابلة للحل افتراضياً، إذ يمكن ببساطة اختيار المجموعة نفسها، التي لها دليل 1. تُعد المجموعات القابلة للحل افتراضياً أحد البديلين في بديل تيتس للمجموعات الخطية المولدة نهائياً .

الزمرة القابلة للحل هي زمرة تصل سلسلتها المشتقة إلى الزمرة الجزئية التافهة في مرحلة محدودة . بالنسبة للزمرة اللانهائية، قد لا تستقر السلسلة المشتقة المحدودة، لكن السلسلة المشتقة المتسامية تستقر دائمًا. تُسمى الزمرة التي تصل سلسلتها المشتقة المتسامية إلى الزمرة التافهة زمرة شبه تبديلية ، وكل زمرة قابلة للحل هي زمرة شبه تبديلية. يُسمى أول عدد ترتيبي α بحيث يكون G ^{( α )} = G ^{( α +1)} طول المشتقة (المتسامية) للزمرة G ، وقد ثبت أن كل عدد ترتيبي هو طول مشتقة لزمرة ما ( مالسيف، 1949 ) .

تكون المجموعة المنتهية قابلة للحل من الرتبة p لعدد أولي p إذا كان كل عامل في سلسلة التركيب عبارة عن مجموعة من الرتبة p أو رتبته أولية بالنسبة إلى p. وتكون المجموعة المنتهية قابلة للحل إذا وفقط إذا كانت قابلة للحل من الرتبة p لكل p. ^{[ 4 ]}