مجموعة قابلة للحل الفائق

في الرياضيات ، تُسمى المجموعة فائقة الحل (أو فائقة الحلّ ) إذا كانت تمتلك متسلسلة طبيعية ثابتة تكون جميع عواملها مجموعات دورية . وتُعدّ قابلية الحل الفائقة أقوى من مفهوم قابلية الحل .

ليكن G زمرة . G قابلة للحل الفائق إذا وُجدت متسلسلة طبيعية

${\displaystyle \{1\}=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{s-1}\triangleleft H_{s}=G}$

بحيث تكون كل مجموعة خارج القسمة${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}\;}$دورية وكل${\displaystyle H_{i}}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$.

على النقيض من ذلك، يتطلب تعريف المجموعة القابلة للحل أن يكون كل خارج قسمة تبديليًا . من جهة أخرى، يجب أن تحتوي المجموعة متعددة الحلقات على متسلسلة فرعية طبيعية يكون كل خارج قسمة دوريًا فيها، ولكن ليس هناك شرط بأن يكون كل${\displaystyle H_{i}}$كن طبيعياً في${\displaystyle G}$بما أن كل زمرة قابلة للحل منتهية هي زمرة متعددة الحلقات، يمكن اعتبار هذا أحد الفروق الرئيسية بين التعريفات. على سبيل المثال، الزمرة المتناوبة على أربع نقاط،${\displaystyle A_{4}}$، قابلة للحل ولكنها ليست فائقة الحل.

بعض الحقائق حول المجموعات فائقة الحل:

• المجموعات فائقة الحل تكون دائماً متعددة الحلقات ، وبالتالي قابلة للحل .
• كل مجموعة نيلبوتنت مولدة بشكل نهائي قابلة للحل الفائق.
• كل مجموعة ميتاسيكلية قابلة للحل الفائق.
• المجموعة الفرعية التبادلية لمجموعة قابلة للحل الفائق هي مجموعة عديمة القوة.
• المجموعات الفرعية ومجموعات القسمة للمجموعات فائقة الحل هي مجموعات فائقة الحل.
• تحتوي المجموعة الفائقة الحل المحدودة على سلسلة طبيعية ثابتة مع كل عامل دوري من الرتبة الأولية.
• في الواقع، يمكن اختيار الأعداد الأولية بترتيب مناسب: لكل عدد أولي p، ولكل π مجموعة الأعداد الأولية الأكبر من p، فإن أي مجموعة فائقة الحل محدودة تمتلك مجموعة فرعية فريدة من نوعها من نوع Hall π . تُسمى هذه المجموعات أحيانًا بمجموعات أبراج سيلو المرتبة.
• كل مجموعة ذات ترتيب خالٍ من المربعات ، وكل مجموعة ذات مجموعات فرعية دورية من نوع سيلو ( مجموعة Z )، قابلة للحل الفائق.
• كل تمثيل معقد غير قابل للاختزال لمجموعة فائقة الحل منتهية هو تمثيل أحادي الحد، أي أنه مُستنتج من خاصية خطية لمجموعة جزئية. بعبارة أخرى، كل مجموعة فائقة الحل منتهية هي مجموعة أحادية الحد .
• كل مجموعة فرعية قصوى في مجموعة قابلة للحل الفائق لها دليل أولي .
• تكون المجموعة المنتهية قابلة للحل الفائق إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة فرعية قصوى دليل أولي.
• تكون المجموعة المنتهية قابلة للحل الفائق إذا وفقط إذا كانت كل سلسلة قصوى من المجموعات الفرعية لها نفس الطول. هذا مهم لمن يهتمون بشبكة المجموعات الفرعية لمجموعة ما، ويُطلق عليه أحيانًا شرط سلسلة جوردان-ديديكيند .
• علاوة على ذلك، فإن المجموعة المنتهية تكون قابلة للحل الفائق إذا وفقط إذا كانت شبكة مجموعاتها الفرعية شبكة قابلة للحل الفائق ، وهو تعزيز كبير لشرط سلسلة جوردان-ديديكيند.
• بحسب نظرية باوم ، فإن كل مجموعة محدودة قابلة للحل الفائق لها خوارزمية DFT تعمل في وقت O ( n log n ).