مكدس قابل للتفاضل

تذكر أن الفئة المُليفة في الزمر الجزئية (وتسمى أيضًا تليف الزمر الجزئية ) تتكون من فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بالإضافة إلى دالة${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} } إلى فئة المشعبات التفاضلية بحيث

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي فئة ليفية ، أي لأي كائن${\displaystyle u}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وأي سهم${\displaystyle V\to U}$ل${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$يوجد سهم${\displaystyle v\to u}$الاستلقاء${\displaystyle V\to U}$;
2. لكل مثلث تبديلي${\displaystyle W\to V\to U}$في${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$وكل الأسهم${\displaystyle w\to u}$زيادة${\displaystyle W\to U}$و${\displaystyle v\to u}$زيادة${\displaystyle V\to U}$يوجد سهم فريد${\displaystyle w\to v}$زيادة${\displaystyle W\to V}$صنع المثلث${\displaystyle w\to v\to u}$التنقل.

تضمن هذه الخصائص أنه بالنسبة لكل كائن${\displaystyle U}$في${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ويمكن تعريف أليافها ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$أو${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$، كفئة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يتكون من جميع الأشياء${\displaystyle {\mathcal {C}}}$الاستلقاء${\displaystyle U}$وجميع التشكلات لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$الاستلقاء${\displaystyle id_{U}}$بحسب التصميم،${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$هو زمرة جزئية ، ومن هنا جاء الاسم. المكدس هو تليف زمرة جزئية يحقق خصائص لصق إضافية، معبر عنها بدلالة التنازل .

أي مشعب${\displaystyle X}$يُحدد فئة الشريحة الخاصة به${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mfd} }(-,X)}$، والتي تكون عناصرها أزواجًا${\displaystyle (U,f)}$من مشعب${\displaystyle U}$وخريطة سلسة${\displaystyle f:U\to X}$؛ ثم${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mfd} ,(U,f)\mapsto U}$هو تليف زمروي وهو في الواقع أيضًا مكدس. تشاكل${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$يُطلق على مجموعة من التليفات الزمردية اسم الغمر القابل للتمثيل إذا

• لكل متعدد${\displaystyle U}$وأي شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$المنتج الليفي${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$قابل للتمثيل، أي أنه متماثل مع${\displaystyle F_{V}}$(لبعض المضاعفة)${\displaystyle V}$) كألياف زمردية؛
• الخريطة الملساء المستحثة${\displaystyle V\to U}$هو غمر .

المكدس القابل للتفاضل هو مكدس${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} } بالإضافة إلى نوع خاص من الغمر القابل للتمثيل${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$(كل غمر)${\displaystyle V\to U}$يُطلب من الوصف المذكور أعلاه أن يكون شاملاً (لبعض المتشعبات)${\displaystyle X}$الخريطة${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$يُطلق عليه اسم أطلس أو عرض أو غلاف المجموعة${\displaystyle X}$[ ^{5 ] [ 6 ]​}

تذكر أن التجميع المسبق (للمجموعات الجزئية) على فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، والمعروف أيضًا باسم حزمة مسبقة ثنائية ، هو دالة ثنائية${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$، أين${\displaystyle \mathrm {Grp} }$هي الفئة الثنائية للمجموعات الجزئية (في نظرية المجموعات) ، وتشكلاتها، والتحويلات الطبيعية بينها. المكدس هو مكدس أولي يحقق خصائص لصق إضافية (بشكل مماثل لخصائص اللصق التي تحققها الحزمة). ولتحديد هذه الخصائص بدقة، يلزم تعريف المكدسات (الأولية) على موقع ، أي فئة مزودة بطوبولوجيا غروتينديك .

أي شيء${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$يُعرّف مكدسًا${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$، والذي يرتبط بكائن آخر${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$المجموعة${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$من التشكلات من${\displaystyle N}$ل${\displaystyle M}$كومة${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$يُطلق عليه اسم هندسي إذا كان هناك جسم${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$وتشكل من المكدسات${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$(يُطلق عليه غالبًا اسم أطلس أو عرض تقديمي أو غلاف المجموعة)${\displaystyle X}$) بحيث

• التشكل${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$يمكن تمثيله، أي لكل كائن${\displaystyle Y}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وأي شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle Y\to X}$المنتج الليفي${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$متماثل مع${\displaystyle {\underline {Z}}}$(لبعض الكائنات)${\displaystyle Z}$) كمجموعات؛
• يحفز التشكل${\displaystyle Z\to Y}$يستوفي خاصية أخرى حسب الفئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(على سبيل المثال، بالنسبة لكلمة "متعددة" يُطلب أن تكون غمرًا ).

المكدس القابل للتفاضل هو مكدس على${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$، فئة المشعبات التفاضلية (التي تُنظر إليها كموقع ذي طوبولوجيا تغطية مفتوحة معتادة)، أي دالة ثنائية${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$وهو هندسي أيضًا، أي أنه يقبل أطلسًا${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$كما هو موضح أعلاه. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

لاحظ أنه عند استبدال${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$باستخدام فئة المخططات الأفينية ، يستعيد المرء المفهوم القياسي للحزمة الجبرية . وبالمثل، باستبدال${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$باستخدام فئة الفضاءات الطوبولوجية ، يمكن الحصول على تعريف المكدس الطوبولوجي.

تذكر أن زمرة لي تتكون من مشعبين قابلين للتفاضل${\displaystyle G}$و${\displaystyle M}$بالإضافة إلى غمرتين شاملتين${\displaystyle s,t:G\to M}$بالإضافة إلى خريطة ضرب جزئية${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$خريطة الوحدة${\displaystyle u:M\to G}$وخريطة عكسية${\displaystyle i:G\to G}$، بما يحقق التوافقات الشبيهة بالمجموعات.

مجموعتان من الكذب${\displaystyle G\rightrightarrows M}$و${\displaystyle H\rightrightarrows N}$تكون متكافئة موريتا إذا كانت هناك حزمة ثنائية رئيسية${\displaystyle P}$بينهما، أي حق رئيسي${\displaystyle H}$-باقة${\displaystyle P\to M}$، مدير يساري${\displaystyle G}$-باقة${\displaystyle P\to N}$بحيث يكون الإجراءان على${\displaystyle P}$التبادل. تكافؤ موريتا هو علاقة تكافؤ بين زمر لي، أضعف من التشاكل ولكنه قوي بما يكفي للحفاظ على العديد من الخصائص الهندسية.

مكدس قابل للتفاضل ، يُشار إليه بـ${\displaystyle [M/G]}$، هي فئة تكافؤ موريتا لبعض زمر لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$[ ^{5 ] [ 9 ]​}

أي فئة من فئات الألياف${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$يُعرّف الحزمة الثنائية${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$. على العكس من ذلك، أي مكدس مسبق${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$يؤدي إلى ظهور فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، والتي تكون عناصرها أزواجًا${\displaystyle (U,x)}$من مشعب${\displaystyle U}$وشيء${\displaystyle x\in X(U)}$، والتي تكون تشاكلاتها عبارة عن خرائط${\displaystyle \phi$ :(U,x)\to (V,y)} بحيث${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$. هذه${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تصبح فئة ليفية مع الدالة${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$.

إن خصائص اللصق التي تحدد الرزمة في التعريف الأول وفي التعريف الثاني متكافئة؛ وبالمثل، فإن الأطلس بمعنى التعريف 1 يستحث أطلسًا بمعنى التعريف 2 والعكس صحيح. ^{[ 5 ]}

مجموعة كل كذبة${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يؤدي ذلك إلى ظهور المكدس القابل للتفاضل${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$، والذي يرسل أي مشعب${\displaystyle N}$إلى فئة${\displaystyle G}$- تورسورس​${\displaystyle N}$(أي${\displaystyle G}$- الحزم الرئيسية ). أي زمرة لي أخرى في فئة موريتا من${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يؤدي إلى تكوين حزمة متماثلة.

وعلى العكس من ذلك، فإن أي مكدس قابل للتفاضل${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$وهو على شكل${\displaystyle BG}$أي أنه يمكن تمثيله بواسطة زمرة لي. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$هو أطلس للمكدس${\displaystyle X}$ثم يتم تعريف زمرة لي${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$ويتأكد من ذلك${\displaystyle BG_{X}}$متماثل مع${\displaystyle X}$.

تنص نظرية دوريت برونك على تكافؤ الفئات الثنائية بين الحزم القابلة للتفاضل وفقًا للتعريف الأول ومجموعات لي حتى تكافؤ موريتا. ^{[ 10 ]}

بالنظر إلى عمل جماعي قائم على الكذب${\displaystyle a:M\times G\to M}$على${\displaystyle M}$تُعدّ حزمة القسمة (القابلة للتفاضل) الخاصة بها النظير التفاضلي لحزمة القسمة (الجبرية) في الهندسة الجبرية. وهي تُعرَّف بأنها الحزمة${\displaystyle [M/G]}$الارتباط بأي متعدد${\displaystyle X}$فئة المدير${\displaystyle G}$-حزم${\displaystyle P\to X}$و${\displaystyle G}$الخرائط المتغيرة${\displaystyle \phi :P\to M}$إنها مجموعة قابلة للتفاضل ممثلة بتشاكل المجموعة${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$معرفة لأي متعدد الشعب${\displaystyle X}$مثل

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

أين${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$هو${\displaystyle G}$خريطة متكافئة${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$[ ^{7 ]​}

المكدس${\displaystyle [M/G]}$يتوافق مع فئة تكافؤ موريتا لمجموعة الفعل الجزئية${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$وبناءً على ذلك، يمكن استعادة الحالات الخاصة التالية:

• لو${\displaystyle M}$هي نقطة، مكدس قابل للتفاضل${\displaystyle [M/G]}$يتزامن مع${\displaystyle BG}$
• إذا كان الفعل حراً ومناسباً (وبالتالي يكون الناتج${\displaystyle M/G}$(متعدد الشعب)، المكدس التفاضلي${\displaystyle [M/G]}$يتزامن مع${\displaystyle {\underline {M/G}}}$
• إذا كان الفعل مناسباً (وبالتالي يكون الناتج${\displaystyle M/G}$(هو فضاء مداري)، حزمة قابلة للتفاضل${\displaystyle [M/G]}$يتطابق مع المكدس المحدد بواسطة المدار