فئة الألياف

لو${\displaystyle \phi :F\to E}$هو دالة بين فئتين و${\displaystyle S}$هو موضوع${\displaystyle E}$ثم الفئة الفرعية لـ${\displaystyle F}$يتكون من تلك الأشياء${\displaystyle x}$والتي${\displaystyle \phi (x)=S}$وتلك التشكلات${\displaystyle m}$مُرضٍ${\displaystyle \phi (m)={\text{id}}_{S}}$يُطلق عليها فئة الألياف (أو الألياف ) على${\displaystyle S}$، ويُشار إليه بـ${\displaystyle F_{S}}$. التشكلات لـ${\displaystyle F_{S}}$تم الاتصال بـ${\displaystyle S}$-المورفيزمات ، و لـ${\displaystyle x,y}$أشياء${\displaystyle F_{S}}$، مجموعة${\displaystyle S}$يُرمز إلى التشكلات بـ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(x,y)}$الصورة من تصميم${\displaystyle \phi }$من كائن أو شكل هندسي في${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم إسقاطه (بواسطة${\displaystyle \phi }$). لو${\displaystyle f}$هو تشاكل لـ${\displaystyle E}$ثم تلك التشكلات من${\displaystyle F}$ذلك المشروع لـ${\displaystyle f}$تم الاتصال بـ${\displaystyle f}$-المورفيزمات ، ومجموعة${\displaystyle f}$-التشكلات بين الكائنات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle F}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle {\text{Hom}}_{f}(x,y)}$.

التشكل${\displaystyle m:x\to y}$في${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \phi }$-كارتي (أو ببساطة كارتيزي ) إذا استوفى الشرط التالي:

لو${\displaystyle f:T\to S}$هو إسقاط${\displaystyle m}$وإذا${\displaystyle n:z\to y}$هو${\displaystyle f}$إذا كان هناك تشاكل من النوع -، فإنه يوجد واحد فقط${\displaystyle T}$-مورفيزم${\displaystyle a:z\to x}$بحيث${\displaystyle m\circ a=n}$.

التشكل الديكارتي${\displaystyle m:x\to y}$يُطلق عليه اسم الصورة المعكوسة لإسقاطه.${\displaystyle f=\phi (m)}$الكائن${\displaystyle x}$يُطلق عليه اسم الصورة المعكوسة لـ${\displaystyle y}$بواسطة${\displaystyle f}$.

التشكلات الديكارتية لفئة الألياف${\displaystyle F_{S}}$هي تحديداً التشاكلات لـ${\displaystyle F_{S}}$يمكن عمومًا أن يكون هناك أكثر من شكل ديكارتي واحد يسقط على شكل معين${\displaystyle f:T\to S}$وربما يكون لها مصادر مختلفة؛ وبالتالي يمكن أن يكون هناك أكثر من صورة معكوسة لكائن معين${\displaystyle y}$في${\displaystyle F_{S}}$بواسطة${\displaystyle f}$ومع ذلك، فإن من النتائج المباشرة لهذا التعريف أن صورتين معكوستين من هذا القبيل متماثلتان في${\displaystyle F_{T}}$.

دالة${\displaystyle \phi :F\to E}$ويطلق عليه أيضًا اسم${\displaystyle E}$- فئة ، أو يقال أنها تصنع${\displaystyle F}$إلى${\displaystyle E}$- فئة أو فئة فوق${\displaystyle E}$. أن${\displaystyle E}$- دالة من${\displaystyle E}$-فئة${\displaystyle \phi :F\to E}$إلى${\displaystyle E}$-فئة${\displaystyle \psi :G\to E}$دالة${\displaystyle \alpha :F\to G}$بحيث${\displaystyle \psi \circ \alpha =\phi }$.${\displaystyle E}$تشكل الفئات بطريقة طبيعية فئة ثنائية ، حيث تكون التشكلات الأحادية${\displaystyle E}$الدوال، والتشكلات الثنائية هي تحويلات طبيعية بين${\displaystyle E}$- الدوال التي تقع مكوناتها في بعض الألياف.

أن${\displaystyle E}$- دالة بين اثنين${\displaystyle E}$يُطلق على الفئة اسم دالة ديكارتية إذا كانت تأخذ التشكلات الديكارتية إلى تشكلات ديكارتية أخرى. الدوال الديكارتية بين اثنين${\displaystyle E}$-فئات${\displaystyle F,G}$تشكيل فئة${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$، مع التحويلات الطبيعية كتشاكلات. وتُقدم حالة خاصة من خلال النظر في${\displaystyle E}$كـ${\displaystyle E}$-الفئة عبر دالة الهوية: ثم دالة ديكارتية من${\displaystyle E}$إلى${\displaystyle E}$-فئة${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم المقطع الديكارتي . وبالتالي، يتكون المقطع الديكارتي من اختيار عنصر واحد.${\displaystyle x_{S}}$في${\displaystyle F_{S}}$لكل عنصر${\displaystyle S}$في${\displaystyle E}$، ولكل تشاكل${\displaystyle f:T\to S}$اختيار صورة معكوسة${\displaystyle m_{f}:x_{T}\to x_{S}}$وبالتالي، فإن المقطع الديكارتي هو نظام (متوافق تمامًا) من الصور العكسية على كائنات${\displaystyle E}$. فئة المقاطع الديكارتية لـ${\displaystyle F}$يُرمز إليه بـ

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).}$

في الحالة المهمة حيث${\displaystyle E}$يحتوي على كائن طرفي${\displaystyle e}$(وبالتالي على وجه الخصوص عندما${\displaystyle E}$هو نوع من أنواع الطوبولوجيا أو الفئة${\displaystyle E_{/S}}$أسهم ذات هدف${\displaystyle S}$في${\displaystyle E}$) الدالة

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

هو أمين تمامًا (الفرضية 5.7 من جيرو (1964)).

يعتمد التعريف الأكثر مرونة واقتصادية من الناحية التقنية للفئات الليفية على مفهوم التشكلات الديكارتية. وهو مكافئ لتعريف يعتمد على الانقسامات ، وهذا التعريف الأخير هو في الواقع التعريف الأصلي الذي قدمه غروتينديك (1959)؛ أما التعريف الذي يعتمد على التشكلات الديكارتية فقد تم تقديمه في غروتينديك (1971) في الفترة 1960-1961.

أن${\displaystyle E}$فئة${\displaystyle \phi :F\to E}$هي فئة من الألياف (أو ألياف${\displaystyle E}$- فئة ، أو فئة متداخلة${\displaystyle E}$) إذا كان كل تشاكل${\displaystyle f}$ل${\displaystyle E}$الذي يقع نطاقه المقابل في مدى الإسقاط، يحتوي على صورة معكوسة واحدة على الأقل، بالإضافة إلى التركيب${\displaystyle m\circ n}$من أي اثنين من التشكلات الديكارتية${\displaystyle m,n}$في${\displaystyle F}$هي دائماً إحداثيات ديكارتية. بعبارة أخرى،${\displaystyle E}$تُعتبر الفئة - فئة ليفية إذا كانت الصور العكسية موجودة دائمًا (للمورفيزمات التي تكون مجالاتها المشتركة في نطاق الإسقاط) وتكون متعدية .

لو${\displaystyle E}$يحتوي على كائن طرفي${\displaystyle e}$وإذا${\displaystyle F}$مغطى بالألياف${\displaystyle E}$ثم الدالة${\displaystyle \epsilon }$من المقاطع الديكارتية إلى${\displaystyle F_{e}}$إن التعريف الوارد في نهاية القسم السابق هو تكافؤ الفئات ، بالإضافة إلى كونه شاملاً على الأشياء.

لو${\displaystyle F}$هو ألياف${\displaystyle E}$في الفئة -، يكون ذلك ممكناً دائماً، لكل تشاكل${\displaystyle f:T\to S}$في${\displaystyle E}$وكل كائن${\displaystyle y}$في${\displaystyle F_{S}}$، لاختيار (باستخدام بديهية الاختيار ) صورة معكوسة واحدة فقط${\displaystyle m:x\to y}$تُسمى فئة التشكلات المختارة بهذه الطريقة انقسامًا ، وتُسمى التشكلات المختارة تشكلات النقل (للانقسام). تُسمى الفئة الليفية مع الانقسام فئة منقسمة . يُسمى الانقسام معياريًا إذا كانت تشكلات النقل تتضمن جميع العناصر المحايدّة فيه.${\displaystyle F}$وهذا يعني أن الصور العكسية لتشاكلات التطابق تُختار لتكون تشاكلات تطابق. من الواضح أنه إذا وُجد انقسام، فيمكن اختياره ليكون مُعَيَّرًا؛ وسنقتصر فيما يلي على دراسة الانقسامات المُعَيَّرة فقط.

اختيار انقسام (معياري) للألياف${\displaystyle E}$-فئة${\displaystyle F}$يحدد، لكل شكل هندسي${\displaystyle f:T\to S}$في${\displaystyle E}$، دالة${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$؛ على الكائنات${\displaystyle f^{*}}$هي ببساطة الصورة المعكوسة بواسطة التشكل النقل المقابل، وعلى التشكلات تُعرَّف بطريقة طبيعية من خلال الخاصية العامة المميزة للتشكلات الديكارتية. العملية التي تربط كائنًا${\displaystyle S}$ل${\displaystyle E}$فئة الألياف${\displaystyle F_{S}}$وإلى شكل هندسي${\displaystyle f}$دالة الصورة العكسية${\displaystyle f^{*}}$هو تقريبًا دالة متغايرة من${\displaystyle E}$إلى فئة الفئات. ومع ذلك، فإنه بشكل عام لا يتبادل بشكل صارم مع تركيب التشكلات. بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle f:T\to S}$و${\displaystyle g:U\to T}$هي التشكلات في${\displaystyle E}$إذن، يوجد تماثل بين الدوال.

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

تحقق هذه التشاكلات التوافقين التاليين:

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. لثلاثة تحويلات متتالية${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$وشيء${\displaystyle x\in F_{S}}$ينطبق ما يلي:${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

يمكن إثبات (انظر غروتينديك (1971) القسم 8) أنه، على العكس من ذلك، أي مجموعة من الدوال${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$بالإضافة إلى التماثلات${\displaystyle c_{f,g}}$يُعرّف استيفاء التوافقات المذكورة أعلاه فئةً منقسمة. توفر هذه المجموعات من دوال الصورة العكسية رؤيةً أكثر سهولةً للفئات الليفية؛ وفي الواقع، تم تقديم الفئات الليفية في غروتينديك (1959) من خلال دوال الصورة العكسية المتوافقة هذه.

تُجري الورقة البحثية التي كتبها غراي والمشار إليها أدناه مقارنات بين هذه الأفكار ومفهوم تليف الفضاءات.

تتبسط هذه الأفكار في حالة المجموعات الجزئية ، كما هو موضح في ورقة براون المشار إليها أدناه، والتي تحصل على عائلة مفيدة من المتتاليات الدقيقة من تليف المجموعات الجزئية.

يُطلق على الانقسام (المُعَيَّر) الذي يكون فيه تركيب تشاكلين نقل دائمًا تشاكل نقل اسم الانقسام ، وتُسمى الفئة الليفية التي تحتوي على انقسام فئة منقسمة (ليفية) . من حيث دوال الصورة العكسية، فإن شرط كون الشيء انقسامًا يعني أن تركيب دوال الصورة العكسية المقابلة للتشاكلات القابلة للتركيب${\displaystyle f,g}$في${\displaystyle E}$يساوي دالة الصورة العكسية المقابلة لـ${\displaystyle f\circ g}$بمعنى آخر، تماثلات التوافق${\displaystyle c_{f,g}}$جميع العناصر المذكورة في القسم السابق تمثل هويات لفئة منقسمة. وبالتالي، فإن التقسيم${\displaystyle E}$- الفئات تتوافق تمامًا مع الدوال الحقيقية من${\displaystyle E}$إلى فئة الفئات.

بخلاف الانقسامات، لا تسمح جميع الفئات الليفية بالانقسامات. للاطلاع على مثال، انظر أدناه .

يمكن عكس اتجاه الأسهم في التعريفات أعلاه للوصول إلى مفاهيم مماثلة للتشاكلات الكارتيزية المشتركة، والفئات الليفية المشتركة، والفئات الليفية المشتركة المنقسمة (أو الفئات المنقسمة المشتركة). بتعبير أدق، إذا${\displaystyle \phi :F\to E}$إذا كان دالة، فهو تشاكل${\displaystyle m:x\to y}$في${\displaystyle F}$يُطلق عليه اسم الدالة المشتركة الديكارتية إذا كانت ديكارتية بالنسبة للدالة المعاكسة.${\displaystyle \phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}}$. ثم${\displaystyle m}$ويُطلق عليه أيضاً اسم الصورة المباشرة و${\displaystyle y}$صورة مباشرة لـ${\displaystyle x}$ل${\displaystyle f=\phi (m)}$. ألياف مشتركة${\displaystyle E}$-الفئة هي${\displaystyle E}$- فئة بحيث توجد صورة مباشرة لكل تشاكل في${\displaystyle E}$وأن تركيب الصور المباشرة هو صورة مباشرة. ويُعرَّف الانقسام المشترك والتقسيم المشترك بشكل مماثل، حيث يتوافقان مع دوال الصورة المباشرة بدلاً من دوال الصورة العكسية.

تتداخل الفئات ضمن فئة ثابتة${\displaystyle E}$تشكيل فئتين${\displaystyle \mathbf {Fib} (E)}$، حيث فئة التشكلات بين فئتين ليفيتين${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$يُعرَّف بأنه الفئة${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$من الدوال الديكارتية من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle G}$.

وبالمثل، تم تقسيم الفئات على${\displaystyle E}$تشكيل فئتين${\displaystyle \mathbf {Scin} (E)}$(من الفرنسية catégorie scindée )، حيث فئة التشكلات بين فئتين منفصلتين${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$هي الفئة الفرعية الكاملة${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)}$ل${\displaystyle E}$- الدوال من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle G}$وتتألف من تلك الدوال التي تحول كل شكل من أشكال النقل لـ${\displaystyle F}$إلى شكل نقل من${\displaystyle G}$كل تشاكل من هذا القبيل من الانقسام${\displaystyle E}$-categories هو أيضًا تشاكل لـ${\displaystyle E}$- الفئات الليفية، أي${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$.

هناك عامل نسيان طبيعي ثنائي الوظيفة${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$هذا ببساطة يتجاهل عملية التقسيم.

مع أن ليس كل الفئات الليفية تقبل الانقسام، إلا أن كل فئة ليفية في الواقع تعادل فئة منقسمة. في الحقيقة، هناك طريقتان أساسيتان لإنشاء فئة منقسمة مكافئة لفئة ليفية معينة.${\displaystyle F}$زيادة${\displaystyle E}$وبشكل أدق، الدالة الثنائية النسيانية${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$يقبل مصفوفة ثنائية المرافقة يمينية${\displaystyle S}$ومرافق يساري من الدرجة الثانية${\displaystyle L}$(النظريتان 2.4.2 و2.4.4 من جيرو 1971)، و${\displaystyle S(F)}$و${\displaystyle L(F)}$هما الفئتان المنفصلتان المرتبطتان. دوال الاقتران${\displaystyle S(F)\to F}$و ${\displaystyle F\to L(F)}$كلاهما ديكارتي ومكافئات ( المرجع نفسه ). ومع ذلك، على الرغم من تركيبهما${\displaystyle S(F)\to L(F)}$على الرغم من كونها تكافؤًا (بين الفئات، وبالتحديد بين الفئات الليفية)، إلا أنها ليست تشاكلًا بين الفئات المنقسمة بشكل عام. وبالتالي، يختلف البناءان عمومًا. يُستخدم البناءان السابقان للفئات المنقسمة بشكل حاسم في بناء المكدس المرتبط بفئة ليفية (وخاصة المكدس المرتبط بمكدس أولي ).

1. الدالة${\displaystyle {\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}}$إن إرسال فئة إلى مجموعة كائناتها هو تليف. بالنسبة لمجموعة${\displaystyle S}$، تتكون الألياف من فئات${\displaystyle C}$مع${\displaystyle {\text{Ob}}(C)=S}$الأسهم الديكارتية هي الدوال الأمينة تمامًا.
2. فئات الأسهم : لأي فئة${\displaystyle E}$فئة الأسهم${\displaystyle A(E)}$في${\displaystyle E}$يحتوي على التشكلات ككائنات في${\displaystyle E}$، وكتشاكلات، المربعات التبادلية في${\displaystyle E}$(بشكل أدق، تشاكل من${\displaystyle f:X\to T}$ل${\displaystyle g:Y\to S}$يتكون من التشكلات${\displaystyle a:X\to Y}$و${\displaystyle b:T\to S}$بحيث${\displaystyle bf=ga}$الدالة التي تنقل السهم إلى هدفه تجعل${\displaystyle A(E)}$إلى${\displaystyle E}$-category؛ لكائن${\displaystyle S}$ل${\displaystyle E}$الألياف${\displaystyle E_{S}}$هي الفئة${\displaystyle E_{/S}}$ل${\displaystyle S}$-الكائنات في${\displaystyle E}$أي، الأسهم في${\displaystyle E}$مع الهدف${\displaystyle S}$. التشكلات الديكارتية في${\displaystyle A(E)}$هي بالضبط المربعات الديكارتية في${\displaystyle E}$وبالتالي${\displaystyle A(E)}$مغطى بالألياف${\displaystyle E}$تحديداً عندما توجد منتجات الألياف في${\displaystyle E}$.
3. تليفات الرسوم البيانية : كل رسم بياني موجه${\displaystyle G}$يُنشئ فئةً مجاناً${\displaystyle G^{*}}$التي تحتوي على عقد من${\displaystyle G}$ككائنات ومسارات​${\displaystyle G}$كأسهم (التركيب هو تسلسل، والمسارات الفارغة التي تشير إلى كل عقدة هي المتطابقات). تماثل الرسم البياني${\displaystyle \varphi \colon G\to B}$يكون الرسم البياني تليفًا إذا وفقط إذا كان المؤثر${\displaystyle \varphi ^{*}\colon G^{*}\to B^{*}}$ربط المسارات بالمسارات باستخدام${\displaystyle \varphi }$هو تليف.
4. حزم الألياف : توجد منتجات الألياف ضمن هذه الفئة${\displaystyle {\text{Top}}}$من الفضاءات الطوبولوجية ، وبالتالي من خلال المثال السابق${\displaystyle A({\text{Top}})}$مغطى بالألياف${\displaystyle {\text{Top}}}$. لو${\displaystyle {\text{Fib}}}$هي الفئة الفرعية الكاملة لـ${\displaystyle A({\text{Top}})}$تتكون من أسهم تمثل خرائط إسقاط لحزم الألياف ، ثم${\displaystyle {\text{Fib}}_{S}}$هي فئة حزم الألياف على${\displaystyle S}$ و${\displaystyle {\text{Fib}}}$ مغطى بالألياف${\displaystyle {\text{Top}}}$إن اختيار الانقسام يرقى إلى اختيار الدوال العكسية العادية (أو دوال السحب للخلف ) لحزم الألياف.
5. حزم المتجهات : بطريقة مشابهة للأمثلة السابقة، الإسقاطات${\displaystyle p:V\to S}$تشكل حزم المتجهات الحقيقية (المركبة) إلى فضاءاتها الأساسية فئة${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {R} }}$(${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {C} }}$) زيادة${\displaystyle {\text{Top}}}$(تشاكلات حزم المتجهات التي تحترم بنية فضاء المتجهات للألياف). هذا${\displaystyle {\text{Top}}}$تُعتبر الفئة - أيضًا فئة ليفية، ودوال الصورة العكسية هي دوال السحب العكسي العادية لحزم المتجهات. هذه الفئات الليفية هي فئات فرعية (غير كاملة) من${\displaystyle {\text{Fib}}}$.
6. الحزم على الفضاءات الطوبولوجية : تُشكّل دوال الصورة العكسية للحزم الفئات${\displaystyle {\text{Sh}}(S)}$حزم على الفضاءات الطوبولوجية${\displaystyle S}$إلى فئة الألياف (المقطوعة)${\displaystyle {\text{Sh}}}$زيادة${\displaystyle {\text{Top}}}$يمكن وصف هذه الفئة الليفية بأنها الفئة الفرعية الكاملة لـ${\displaystyle A({\text{Top}})}$تتألف من فضاءات إيتاليه من الحزم. وكما هو الحال مع حزم المتجهات، فإن حزم المجموعات والحلقات تشكل أيضًا فئات ليفية من${\displaystyle {\text{Top}}}$.
7. الحزم على التوبوي : إذا${\displaystyle E}$هو طبوغرافي و${\displaystyle S}$هو كائن في${\displaystyle E}$، الفئة${\displaystyle E_{S}}$ل${\displaystyle S}$-objects هو أيضًا موضوع، يُفسر على أنه فئة الحزم على${\displaystyle S}$. لو${\displaystyle f:T\to S}$هو تشاكل في${\displaystyle E}$، دالة الصورة العكسية${\displaystyle f^{*}}$يمكن وصفها على النحو التالي: بالنسبة لحزمة${\displaystyle F}$على${\displaystyle E_{S}}$وشيء${\displaystyle p:U\to T}$في${\displaystyle E_{T}}$يمتلك المرء${\displaystyle f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)}$يساوي${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)}$تُشكّل هذه الصورة المعكوسة الفئات${\displaystyle E_{S}}$إلى فئة الألياف المنقسمة${\displaystyle E}$ويمكن تطبيق ذلك بشكل خاص على التضاريس "الكبيرة".${\displaystyle TOP}$من الفضاءات الطوبولوجية.
8. الحزم شبه المتماسكة على المخططات : تشكل الحزم شبه المتماسكة فئة ليفية فوق فئة المخططات . وهذا أحد الأمثلة المحفزة لتعريف الفئات الليفية.
9. فئة ليفية لا تقبل الانقسام : مجموعة${\displaystyle G}$يمكن اعتبارها فئة ذات عنصر واحد وعناصر من${\displaystyle G}$باعتبارها التشكلات، فإن تركيب التشكلات يُعطى بقانون المجموعة. تماثل المجموعة${\displaystyle f:G\to H}$ويمكن اعتبارها بعد ذلك دالة، مما يجعل${\displaystyle G}$إلى${\displaystyle H}$-الفئة. يمكن التحقق من أنه في هذا الإعداد جميع التشكلات في${\displaystyle G}$هي إحداثيات ديكارتية؛ ومن ثم${\displaystyle G}$مغطى بالألياف${\displaystyle H}$متى بالضبط${\displaystyle f}$هي شاملة. التقسيم في هذا الإطار هو قسم (نظري للمجموعات) من${\displaystyle f}$والتي تتوافق تمامًا مع التأليف، أو بعبارة أخرى قسم من${\displaystyle f}$وهو أيضاً تشاكل. ولكن كما هو معروف في نظرية الزمر ، فإن هذا ليس ممكناً دائماً (يمكن للمرء أن يأخذ الإسقاط في امتداد زمرة غير منقسمة ).
10. فئة الحزم المترافقة : يُحوّل المؤثر المباشر للصورة للحزم فئات الحزم على الفضاءات الطوبولوجية إلى فئة مترافقة. وتُظهر خاصية التعدي للمؤثر المباشر أن هذه الفئة قابلة للانقسام بشكل طبيعي.

يأتي أحد الأمثلة الرئيسية للفئات المتشابكة في المجموعات الجزئية من كائنات المجموعة الجزئية الداخلية للفئة.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. لذا، بالنظر إلى كائن المجموعة

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

يوجد كائن مجموعة مرتبط

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

في فئة الدوال المتغيرة عكسيًا${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$من تضمين يونيدا . بما أن هذا الرسم التخطيطي ينطبق على كائن${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$يُعطي مجموعة جزئية داخلية للمجموعات

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

توجد مجموعة صغيرة مرتبطة بها${\displaystyle {\mathcal {G}}}$وهذا يعطي دالة ثنائية متغايرة${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$وباستخدام بناء غروتينديك ، ينتج عن ذلك فئة مُليفة في زمر جزئية فوق${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لاحظ أن فئة الألياف فوق كائن ما هي مجرد المجموعة الفرعية المرتبطة من المجموعة الفرعية الأصلية في المجموعات.