التحول الطبيعي

عبارات مثل

"كل مجموعة متماثلة بطبيعتها مع المجموعة المقابلة لها "

تكثر هذه الأمثلة في الرياضيات الحديثة. سنقدم الآن المعنى الدقيق لهذه العبارة بالإضافة إلى برهانها. لننظر إلى الفئة ${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$من بين جميع المجموعات التي تحتوي على تماثلات المجموعات كتشاكلات. إذا${\displaystyle (G,*)}$إذا كانت مجموعة، فإننا نحدد المجموعة المقابلة لها${\displaystyle (G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})}$على النحو التالي:${\displaystyle G^{\text{op}}}$هي نفس المجموعة مثل${\displaystyle G}$والعملية${\displaystyle *^{\text{op}}}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle a*^{\text{op}}b=b*a}$جميع عمليات الضرب في${\displaystyle G^{\text{op}}}$وهكذا يتم "قلبها". ويصبح تشكيل المجموعة المقابلة دالة (متغايرة) من${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$ل${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$إذا عرّفنا${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$لأي تشاكل زمرة${\displaystyle f:G\to H}$. لاحظ أن ${\displaystyle f^{\text{op}}}$هو بالفعل تشاكل زمر من${\displaystyle G^{\text{op}}}$ل${\displaystyle H^{\text{op}}}$:

${\displaystyle f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).}$

محتوى البيان أعلاه هو:

"دالة الهوية${\displaystyle {\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$متماثل طبيعياً مع الدالة المعاكسة${\displaystyle {\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$"

ولإثبات ذلك، نحتاج إلى تقديم التشاكلات${\displaystyle \eta _{G}:G\to G^{\text{op}}}$لكل مجموعة${\displaystyle G}$بحيث يكون المخطط أعلاه تبادليًا.${\displaystyle \eta _{G}(a)=a^{-1}}$الصيغ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}}$و${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$ أظهر ذلك${\displaystyle \eta _{G}}$هو تماثل زمر مع معكوس${\displaystyle \eta _{G^{\text{op}}}}$لإثبات الطبيعة، نبدأ بتشاكل الزمر. ${\displaystyle f:G\to H}$وأظهر${\displaystyle \eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}}$، أي ${\displaystyle (f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})}$للجميع${\displaystyle a}$في${\displaystyle G}$وهذا صحيح لأن ${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$وكل تشاكل زمرة له الخاصية${\displaystyle (f(a))^{-1}=f(a^{-1})}$.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle G}$يمكننا تعريف عملية التبديل الخاصة بها${\displaystyle G^{\text{ab}}=G/[G,G]}$، أين${\displaystyle [G,G]}$يشير إلى مجموعة التبديل الفرعية لـ${\displaystyle G}$. يترك${\displaystyle \pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}}$لنرمز إلى خريطة الإسقاط على المجموعات المشاركة لـ${\displaystyle [G,G]}$هذا التشاكل "طبيعي في ${\displaystyle G}$أي أنها تُعرّف تحويلاً طبيعياً، وهو ما سنتحقق منه الآن.${\displaystyle H}$ليكن زمرة. لأي تشاكل${\displaystyle f:G\to H}$لدينا ذلك ${\displaystyle [G,G]}$يحتوي على نواة${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$لأن أي تشاكل إلى زمرة أبيلية يقضي على الزمرة الجزئية التبادلية. ${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$العوامل من خلال${\displaystyle G^{\text{ab}}}$مثل${\displaystyle f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f}$لتشاكل فريد ${\displaystyle f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}}$وهذا يجعل${\displaystyle {\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$دالة و ${\displaystyle \pi }$تحويل طبيعي، ولكن ليس تماثلاً طبيعياً، من دالة الهوية إلى${\displaystyle {\text{ab}}}$.

تزخر الطوبولوجيا الجبرية بالدوال والتحويلات الطبيعية ، وتُعدّ تشاكلات هوريفيتش أمثلة على ذلك. بالنسبة لأي فضاء طوبولوجي مُوجّه${\displaystyle (X,x)}$وعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$يوجد تماثل زمر

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)}$

من${\displaystyle n}$مجموعة التماثل من الرتبة n${\displaystyle (X,x)}$إلى${\displaystyle n}$مجموعة التماثل رقم -th من${\displaystyle X}$. كلاهما${\displaystyle \pi _{n}}$و${\displaystyle H_{n}}$هي دوال من فئة Top ^* للفضاءات الطوبولوجية المدببة إلى فئة Grp للمجموعات، و${\displaystyle h_{n}}$هو تحول طبيعي من ${\displaystyle \pi _{n}}$ل${\displaystyle H_{n}}$.

بالنظر إلى الحلقات التبديلية${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$مع تماثل حلقي${\displaystyle f:R\to S}$، المجموعات المعنية من القابل للانعكاس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$و${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(S)}$يرث تماثلًا نرمز إليه بـ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(f)}$، تم الحصول عليها بتطبيق${\displaystyle f}$ لكل عنصر من عناصر المصفوفة. وبالمثل،${\displaystyle f}$يقتصر على تماثل المجموعة${\displaystyle f^{*}:R^{*}\to S^{*}}$، أين${\displaystyle R^{*}}$يشير إلى مجموعة الوحدات من${\displaystyle R}$. في الحقيقة،${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$و${\displaystyle *}$الدوال من فئة الحلقات التبديلية${\displaystyle {\textbf {CRing}}}$ل${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$المحدد على المجموعة${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle {\text{det}}_{R}}$، هو تماثل زمر

${\displaystyle {\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}}$

وهو أمر طبيعي في${\displaystyle R}$لأن المحدد يُعرَّف بنفس الصيغة لكل حلقة،${\displaystyle f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)}$يثبت ذلك. وهذا يجعل المحدد تحولاً طبيعياً من${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ل${\displaystyle *}$.

لو${\displaystyle K}$إذا كان حقلاً ، فإنه لكل فضاء متجهي${\displaystyle V}$زيادة${\displaystyle K}$لدينا خريطة خطية حقنية "طبيعية"${\displaystyle V\to V^{**}}$من الفضاء المتجهي إلى فضاءه الثنائي المزدوج . هذه التطبيقات "طبيعية" بالمعنى التالي: عملية الثنائية المزدوجة هي دالة، والتطبيقات هي مكونات تحويل طبيعي من دالة الهوية إلى دالة الثنائية المزدوجة.

لكل مجموعة أبيلية${\displaystyle G}$المجموعة${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))}$من الدوال من الأعداد الصحيحة إلى المجموعة الأساسية لـ${\displaystyle G}$ يشكل مجموعة أبيلية${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$في عملية الجمع النقطي. (هنا)${\displaystyle U}$هو الدالة النسيانية القياسية${\displaystyle U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}}$.) بالنظر إلى${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$التشكل${\displaystyle \varphi :G\to G'}$الخريطة${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')}$يتم الحصول عليها من خلال التأليف من اليسار${\displaystyle \varphi }$إن العناصر الموجودة في المجموعة السابقة هي نفسها تشاكل للمجموعات الأبيلية؛ وبهذه الطريقة نحصل على دالة${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$. مُعامل الفروق المحدودة${\displaystyle \Delta _{G}}$أخذ كل دالة ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to U(G)}$ل${\displaystyle \Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)}$هذه خريطة من${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$لنفسها، والمجموعة${\displaystyle \Delta }$إن استخدام هذه الخرائط يؤدي إلى تحول طبيعي${\displaystyle \Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }}$.

يترك${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow M^{\prime }}$كن${\displaystyle R}$تماثل الوحدات النمطية اليمنى. لكل وحدة نمطية يسرى${\displaystyle N}$توجد خريطة طبيعية${\displaystyle \varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N}$تشكل تحولاً طبيعياً${\displaystyle \eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-}$لكل وحدة صحيحة${\displaystyle N}$توجد خريطة طبيعية${\displaystyle \eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)}$محدد بواسطة${\displaystyle \eta _{N}(f)=f\varphi }$تشكل تحولاً طبيعياً${\displaystyle \eta$ :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)} .

ضع في اعتبارك الفئة${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$عن الزمر الأبيلية وتشاكلات الزمر. لجميع الزمر الأبيلية${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$لدينا تماثل المجموعة

${\displaystyle {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))}$.

تُعتبر هذه التشاكلات "طبيعية" بمعنى أنها تُعرّف تحويلاً طبيعياً بين الدالتين المعنيتين.${\displaystyle {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$(هنا "op" هي الفئة المقابلة لـ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$، لا ينبغي الخلط بينه وبين دالة المجموعة المعاكسة التافهة على${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ !)

يُعرف هذا رسميًا باسم اقتران الموتر-التماثل ، وهو مثال نموذجي لزوج من الدوال المرافقة . غالبًا ما تظهر التحويلات الطبيعية بالتزامن مع الدوال المرافقة، وفي الواقع، تُعرَّف الدوال المرافقة بتماثل طبيعي معين. بالإضافة إلى ذلك، يأتي كل زوج من الدوال المرافقة مزودًا بتحويلين طبيعيين (ليسا متماثلين عمومًا) يُطلق عليهما الوحدة والوحدة المرافقة .

كل فضاء متجهي ذي أبعاد منتهية متماثل مع فضائه الثنائي، ولكن قد توجد العديد من التشاكلات المختلفة بين الفضائين. وبشكل عام، لا يوجد تماثل طبيعي بين فضاء متجهي ذي أبعاد منتهية وفضائه الثنائي. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فإن الفئات ذات الصلة (مع بنية إضافية وقيود على التطبيقات) لها تماثل طبيعي، كما هو موضح أدناه.

الفضاء الثنائي لفضاء متجهي محدود الأبعاد هو بدوره فضاء متجهي محدود الأبعاد من نفس البُعد، وبالتالي فهما متماثلان، لأن البُعد هو الثابت الوحيد للفضاءات المتجهة محدودة الأبعاد على حقل مُعطى. مع ذلك، في غياب قيود إضافية (مثل اشتراط أن تحافظ التطبيقات على الأساس المُختار)، فإن التطبيق من فضاء إلى فضاءه الثنائي ليس فريدًا، وبالتالي يتطلب هذا التماثل اختيارًا، وهو "غير طبيعي". في فئة الفضاءات المتجهة محدودة الأبعاد والتطبيقات الخطية، يُمكن تعريف تماثل تحت طبيعي من الفضاءات المتجهة إلى فضاءاتها الثنائية باختيار تماثل لكل فضاء (مثلاً، باختيار أساس لكل فضاء متجهي وأخذ التماثل المُناسب له)، لكن هذا لن يُعرّف تحويلاً طبيعيًا. بديهيًا، يعود ذلك إلى أنه يتطلب اختيارًا، وبشكل أدق، لأن أي اختيار من هذا القبيل للتماثلات لن يتبادل مع، على سبيل المثال، التطبيق الصفري. انظر ( Mac Lane & Birkhoff 1999 ، §VI.4) لمناقشة مفصلة.

انطلاقًا من فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة (ككائنات) ودوال التطابق والدوال الثنائية، يمكن تعريف التشاكل الطبيعي، لكن هذا يتطلب أولًا إضافة بنية إضافية، ثم حصر التطبيقات من "جميع التطبيقات الخطية" إلى "التطبيقات الخطية التي تحترم هذه البنية". وبعبارة أخرى، لكل فضاء متجه، يجب أن يتضمن بيانات التشاكل مع فضاءه الثنائي.${\displaystyle \eta _{V}\colon V\to V^{*}}$بمعنى آخر، خذ ككائنات فضاءات متجهة ذات شكل ثنائي خطي غير منحل${\displaystyle b_{V}\colon V\times V\to K}$يُعرّف هذا تماثلًا داخليًا (تماثلًا لكل كائن). ثم يتم حصر التطبيقات على تلك التطبيقات فقط.${\displaystyle T\colon V\to U}$التي تتبادل مع التشاكلات:${\displaystyle T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)}$أو بعبارة أخرى، الحفاظ على الشكل الثنائي الخطي:${\displaystyle b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)}$(تُعرّف هذه الخرائط المُحوِّل الطبيعي للتشاكلات). الفئة الناتجة، التي تتكون من فضاءات متجهة محدودة الأبعاد ذات شكل ثنائي الخطية غير مُنحط، وخرائط تحويلات خطية تحافظ على الشكل الثنائي الخطية، تمتلك، بحكم بنائها، تشاكلاً طبيعياً من الفضاء المحايد إلى الفضاء الثنائي (لكل فضاء تشاكل مع فضاءه الثنائي، ويجب أن تكون الخرائط في الفئة تبادلية). من هذا المنطلق، يُعد هذا البناء (إضافة تحويلات لكل كائن، وتقييد تبادل الخرائط معها) عاماً تماماً، ولا يعتمد على أي خصائص مُحددة للفضاءات المتجهة.

في هذه الفئة (الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة ذات الشكل الثنائي الخطي غير المنحط، والتحويلات الخطية التي تحافظ على الشكل الثنائي الخطي)، يمكن تعريف ثنائي التحويل بين الفضاءات المتجهة على أنه منقول . غالبًا ما يتم تخصيص هذه الفئة إلى فئة فرعية لأسباب هندسية، وذلك باشتراط أن تتمتع الأشكال الثنائية الخطية غير المنحطة بخصائص إضافية، مثل التناظر ( المصفوفات المتعامدة )، والتناظر والإيجابية المحددة ( فضاء الضرب الداخلي )، والتناظر الخطي النصفي ( الفضاءات الهرميتية )، والتناظر المعكوس والتجانس التام ( الفضاء المتجهي التبسيطي )، وما إلى ذلك. في جميع هذه الفئات، يُعرَّف الفضاء المتجه بشكل طبيعي بثنائيه، من خلال الشكل الثنائي الخطي غير المنحط.

لو${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$و${\displaystyle \epsilon :G\Rightarrow H}$هي تحولات طبيعية بين الدوال${\displaystyle F,G,H:C\to D}$ثم يمكننا تركيبها للحصول على تحول طبيعي${\displaystyle \epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H}$يتم ذلك على مستوى المكونات:

${\displaystyle (\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}}$.

هذا التركيب الرأسي للتحولات الطبيعية ترابطي وله هوية، ويسمح للمرء بالنظر في مجموعة جميع الدوال.${\displaystyle C\to D}$نفسها كفئة (انظر أدناه تحت فئات الدوال ). التحويل الطبيعي للهوية${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$على الدالة${\displaystyle F}$يحتوي على مكونات${\displaystyle (\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}}$[ ^{2 ]​}

ل${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$،${\displaystyle \mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}}$.

لو${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$هو تحول طبيعي بين الدوال${\displaystyle F,G:C\to D}$و${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$هو تحول طبيعي بين الدوال${\displaystyle J,K:D\to E}$ثم يسمح تركيب الدوال بتركيب التحولات الطبيعية.${\displaystyle \epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G}$مع المكونات

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}}$.

باستخدام تقنية التظليل (انظر أدناه)، يمكننا كتابة

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}}$،

لذلك

${\displaystyle \epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F}$.

هذا التركيب الأفقي للتحويلات الطبيعية يرتبط أيضًا بالهوية. هذه الهوية هي التحويل الطبيعي للهوية على دالة الهوية ، أي التحويل الطبيعي الذي يربط كل كائن بتشاكل هويته : بالنسبة للكائن${\displaystyle X}$في الفئة${\displaystyle C}$،${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}}$.

ل${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$مع${\displaystyle F,G:C\to D}$،${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}}$.

كدوال هوية${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$و${\displaystyle \mathrm {id} _{D}}$إذا كانت الدوال هي دوال، فإن متطابقة التركيب الأفقي هي أيضاً متطابقة التركيب الرأسي، ولكن ليس العكس. ^{[ 3 ]}

عملية التموضع هي عملية ثنائية خارجية بين دالة وتحويل طبيعي. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

لو${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$هو تحول طبيعي بين الدوال${\displaystyle F,G:C\to D}$، و${\displaystyle H:D\to E}$إذا كان دالة أخرى، فيمكننا حينها تشكيل التحويل الطبيعي${\displaystyle H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G}$من خلال التعريف

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H(\eta _{X})}$.

أما من ناحية أخرى${\displaystyle K:B\to C}$هو دالة، التحويل الطبيعي${\displaystyle \eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$.

وهو أيضاً تركيب أفقي حيث يكون أحد التحولات الطبيعية هو التحول الطبيعي للهوية:

${\displaystyle H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta }$و${\displaystyle \eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}}$.

لاحظ أن${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$(على التوالي)${\displaystyle \mathrm {id} _{K}}$) لا يمثل عمومًا الهوية اليسرى (أو اليمنى) للتكوين الأفقي${\displaystyle *}$(${\displaystyle H\eta \neq \eta }$و${\displaystyle \eta K\neq \eta }$(بشكل عام)، إلا إذا${\displaystyle H}$(على التوالي)${\displaystyle K}$) هو دالة الهوية للفئة${\displaystyle D}$(على التوالي)${\displaystyle C}$).

ترتبط العمليتان بهوية تبدل التركيب الرأسي بالتركيب الأفقي: إذا كان لدينا أربعة تحويلات طبيعية${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '}$كما هو موضح في الصورة على اليمين، فإن المتطابقة التالية صحيحة:

${\displaystyle (\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )}$.

ترتبط التراكيب الرأسية والأفقية أيضًا من خلال التحولات الطبيعية للهوية:

ل${\displaystyle F:C\to D}$و${\displaystyle G:D\to E}$،${\displaystyle \mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}}$[ ^{6 ]​}

بما أن التفرع هو تركيب أفقي ذو هوية، فإن قانون التبادل يعطي مباشرة الصيغ المختصرة للتركيب الأفقي لـ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$و${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$دون الحاجة إلى تحليل المكونات والمخطط التبادلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}}$.

كل نهاية ونهاية مشتركة تُقدّم مثالاً على تحويل طبيعي بسيط، فالمخروط يُعادل تحويلاً طبيعياً يكون فيه المؤثر القطري هو المجال. في الواقع، إذا عُرّفت النهايات والنهايات المشتركة مباشرةً بدلالة خاصيتها الشاملة ، فإنها تُشكّل تشاكلات شاملة في فئة المؤثر.