فئة الدالة

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، فئة الدوال${\displaystyle D^{C}}$هي فئة تكون فيها الكائنات هي الدوال${\displaystyle F:C\to D}$والتشاكلات هي تحولات طبيعية${\displaystyle \eta :F\to G}$بين الدوال (هنا،${\displaystyle G:C\to D}$(وهو عنصر آخر في الفئة). تحظى فئات الدوال باهتمام لسببين رئيسيين:

• العديد من الفئات الشائعة هي فئات وظيفية (مقنعة)، لذا فإن أي عبارة مثبتة للفئات الوظيفية العامة قابلة للتطبيق على نطاق واسع؛
• يتم تضمين كل فئة في فئة وظيفية (عبر تضمين يونيدا )؛ غالبًا ما تتمتع الفئة الوظيفية بخصائص أفضل من الفئة الأصلية، مما يسمح بعمليات معينة لم تكن متاحة في الإعداد الأصلي.

يفترض${\displaystyle C}$هي فئة صغيرة (أي أن الكائنات والتشكلات تشكل مجموعة بدلاً من فئة حقيقية ) و${\displaystyle D}$هي فئة اعتباطية. فئة الدوال من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D}$، مكتوبة على أنها مرح (${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$), Funct(${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$)${\displaystyle [C,D]}$، أو${\displaystyle D^{C}}$، تحتوي على الدوال المتغيرة من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D}$، وكتحويلات طبيعية بين هذه الدوال. لاحظ أنه يمكن تركيب التحويلات الطبيعية: إذا${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$هو تحول طبيعي من الدالة${\displaystyle F:C\to D}$إلى الدالة${\displaystyle G:C\to D}$، و ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$هو تحول طبيعي من الدالة${\displaystyle G}$إلى الدالة${\displaystyle H}$ثم التركيب${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$يُعرّف التحول الطبيعي من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle H}$. مع هذا التركيب من التحولات الطبيعية (المعروف بالتركيب الرأسي، انظر التحول الطبيعي )، ${\displaystyle D^{C}}$يفي ببديهيات فئة معينة.

وبطريقة مماثلة تمامًا، يمكن للمرء أيضًا أن ينظر في فئة جميع الدوال المتغايرة من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D}$نكتب هذا على النحو التالي: Funct(${\displaystyle C^{\text{op}},D}$).

لو${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$إذا كانت كلتاهما فئتين ما قبل الجمع (أي أن مجموعات التشكل الخاصة بهما هي مجموعات أبيلية وتركيب التشكلات ثنائي الخطية )، فيمكننا اعتبار فئة جميع الدوال الجمعية من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D}$، ويرمز لها بـ Add(${\displaystyle C}$،${\displaystyle D}$).

• لو${\displaystyle I}$إذا كانت فئة منفصلة صغيرة (أي أن التشكلات الوحيدة فيها هي تشكلات الهوية)، فإن الدالة من${\displaystyle I}$ل${\displaystyle C}$يتألف أساسًا من مجموعة من الأشياء${\displaystyle C}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle I}$فئة الدوال${\displaystyle C^{I}}$يمكن تحديدها من خلال فئة المنتج المقابلة: عناصرها عبارة عن عائلات من الأشياء في${\displaystyle C}$وتُعدّ مورفيزاتها عائلات من المورفيزات في${\displaystyle C}$.

• فئة الأسهم${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$(التي تكون كائناتها عبارة عن تشاكلات لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، والتي تكون تشاكلاتها مربعات تبادلية في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) هو فقط${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$، حيث 2 هي الفئة التي تحتوي على كائنين وتشاكلاتهما المتطابقة بالإضافة إلى سهم من كائن إلى آخر (ولكن ليس سهمًا آخر في الاتجاه المعاكس).
• يتكون الرسم البياني الموجه من مجموعة من الأسهم ومجموعة من الرؤوس، ودالتين من مجموعة الأسهم إلى مجموعة الرؤوس، تحددان رأس البداية ورأس النهاية لكل سهم. وبالتالي، فإن فئة جميع الرسوم البيانية الموجهة ليست سوى فئة الدوال.${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$، أين${\displaystyle C}$هي الفئة التي تحتوي على عنصرين متصلين بتشاكلين متوازيين (المصدر والهدف)، و Set تشير إلى فئة المجموعات . عند النظر إليها من هذا المنظور، تُسمى هذه الرسوم البيانية الموجهة غالبًا بالرسوم البيانية الموجهة .
• أي مجموعة${\displaystyle G}$يمكن اعتبارها فئة ذات عنصر واحد حيث يكون كل تشاكل قابلاً للعكس. فئة جميع${\displaystyle G}$-المجموعات هي نفسها فئة الدوال Set^{${\displaystyle G}$}التحولات الطبيعية هي${\displaystyle G}$-maps .
• على غرار المثال السابق، فئة التمثيلات الخطية من الرتبة K للمجموعة${\displaystyle G}$هو نفسه فئة الدالة Vect _K^{${\displaystyle G}$}(حيث يشير Vect _K إلى فئة جميع الفضاءات المتجهة على الحقل K ).
• أي خاتم${\displaystyle R}$يمكن اعتبارها فئة ما قبل الجمع ذات عنصر واحد؛ فئة الوحدات المتبقية${\displaystyle R}$هو نفسه فئة الدالة الجمعية Add(${\displaystyle R}$،${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) (أين${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$يشير إلى فئة المجموعات الأبيلية )، وفئة اليمين${\displaystyle R}$الوحدات النمطية هي Add(${\displaystyle R^{\text{op}}}$،${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). وبسبب هذا المثال، بالنسبة لأي فئة ما قبل الجمع${\displaystyle C}$، الفئة إضافة (${\displaystyle C}$،${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$يُطلق عليه أحيانًا اسم "فئة الوحدات المتبقية"${\displaystyle C}$"و أضف(${\displaystyle C^{\text{op}}}$،${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) هي "فئة الوحدات النمطية الصحيحة على${\displaystyle C}$".
• فئة الحزم المسبقة على فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$هي فئة دالة: نحول الفضاء الطوبولوجي إلى فئة${\displaystyle C}$وجود المجموعات المفتوحة في${\displaystyle X}$ككائنات وتشكل واحد من${\displaystyle U}$ل${\displaystyle V}$إذا وفقط إذا${\displaystyle U}$يحتوي على${\displaystyle V}$. فئة الحزم المسبقة للمجموعات (المجموعات الأبيلية، الحلقات) على${\displaystyle X}$إذن، يكون هذا هو نفسه فئة الدوال المتغيرة عكسيًا من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle {\textbf {Set}}}$(أو${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$أو${\displaystyle {\textbf {الحلقة}}}$). وبسبب هذا المثال، فإن الفئة Funct(${\displaystyle C^{\text{op}}}$،${\displaystyle {\textbf {Set}}}$يُطلق عليه أحيانًا اسم " فئة الحزم المسبقة للمجموعات على${\displaystyle C}$"حتى بالنسبة للفئات العامة"${\displaystyle C}$لا تنشأ من فضاء طوبولوجي. لتعريف الحزم على فئة عامة${\displaystyle C}$يحتاج المرء إلى مزيد من البنية: طوبولوجيا غروتينديك على${\displaystyle C}$(يشير بعض المؤلفين إلى فئات مكافئة لـ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$كفئات ما قبل الحزمة . ^{[ 1 ]} )

معظم الإنشاءات التي يمكن تنفيذها في${\displaystyle D}$ويمكن تنفيذ ذلك أيضاً في${\displaystyle D^{C}}$من خلال تنفيذها "بشكل مكون"، بشكل منفصل لكل كائن في${\displaystyle C}$على سبيل المثال، إذا كان أي جسمين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$في${\displaystyle D}$ have a product${\displaystyle X\times Y}$, then any two functors ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle D^{C}}$ have a product ${\displaystyle F\times G}$, defined by ${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ for every object ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle C}$. Similarly, if ${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$ is a natural transformation and each ${\displaystyle \eta _{c}}$ has a kernel ${\displaystyle K_{c}}$ in the category ${\displaystyle D}$, then the kernel of ${\displaystyle \eta }$ in the functor category ${\displaystyle D^{C}}$ is the functor ${\displaystyle K}$ with ${\displaystyle K(c)=K_{c}}$ for every object ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle C}$.

As a consequence we have the general rule of thumb that the functor category ${\displaystyle D^{C}}$ shares most of the "nice" properties of ${\displaystyle D}$:

• if ${\displaystyle D}$ is complete (or cocomplete), then so is ${\displaystyle D^{C}}$;
• if ${\displaystyle D}$ is an abelian category, then so is ${\displaystyle D^{C}}$;

We also have:

• if ${\displaystyle C}$ is any small category, then the category ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$ of presheaves is a topos.

So from the above examples, we can conclude right away that the categories of directed graphs, ${\displaystyle G}$-sets and presheaves on a topological space are all complete and cocomplete topoi, and that the categories of representations of ${\displaystyle G}$, modules over the ring ${\displaystyle R}$, and presheaves of abelian groups on a topological space ${\displaystyle X}$ are all abelian, complete and cocomplete.

The embedding of the category ${\displaystyle C}$ in a functor category that was mentioned earlier uses the Yoneda lemma as its main tool. For every object ${\displaystyle X}$ of ${\displaystyle C}$, let ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$ be the contravariant representable functor from ${\displaystyle C}$ to ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$. The Yoneda lemma states that the assignment

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

is a full embedding of the category ${\displaystyle C}$ into the category Funct(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Set}}}$). So ${\displaystyle C}$ naturally sits inside a topos.

The same can be carried out for any preadditive category ${\displaystyle C}$: Yoneda then yields a full embedding of ${\displaystyle C}$ into the functor category Add(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). So ${\displaystyle C}$ naturally sits inside an abelian category.

The intuition mentioned above (that constructions that can be carried out in ${\displaystyle D}$ can be "lifted" to ${\displaystyle D^{C}}$) can be made precise in several ways; the most succinct formulation uses the language of adjoint functors. Every functor ${\displaystyle F:D\to E}$ induces a functor ${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$ (by composition with ${\displaystyle F}$). If ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle G}$ is a pair of adjoint functors, then ${\displaystyle F^{C}}$ and ${\displaystyle G^{C}}$ is also a pair of adjoint functors.

The functor category ${\displaystyle D^{C}}$ has all the formal properties of an exponential object; in particular the functors from ${\displaystyle E\times C\to D}$ stand in a natural one-to-one correspondence with the functors from ${\displaystyle E}$ to ${\displaystyle D^{C}}$. The category ${\displaystyle {\textbf {قطة}}}$ of all small categories with functors as morphisms is therefore a cartesian closed category.

• Diagram (category theory)