فئة مغلقة ديكارتية

في نظرية الفئات ، تُعتبر الفئة مغلقة ديكارتيًا إذا كان بالإمكان، بشكل عام، تحديد أي تشاكل مُعرَّف على حاصل ضرب عنصرين بشكل طبيعي مع تشاكل مُعرَّف على أحد العاملين. تكتسب هذه الفئات أهمية خاصة في المنطق الرياضي ونظرية البرمجة، نظرًا لأن لغتها الداخلية هي حساب لامدا البسيط . ويتم تعميمها بواسطة الفئات الأحادية المغلقة ، التي تُعد لغتها الداخلية، أنظمة الأنواع الخطية ، مناسبة لكل من الحوسبة الكمومية والكلاسيكية. ^{[ 1 ]}

سميت على اسم رينيه ديكارت (1596-1650)، الفيلسوف والرياضي والعالم الفرنسي، الذي أدى صياغته للهندسة التحليلية إلى ظهور مفهوم الضرب الديكارتي ، والذي تم تعميمه لاحقًا إلى مفهوم الضرب الفئوي .

تُسمى الفئة C مغلقة ديكارتية ^{[ 2 ]} إذا كانت تحقق الخصائص الثلاث التالية:

• يحتوي على كائن طرفي .
• أي عنصرين X و Y من C لهما حاصل ضرب X × Y في C.
• أي كائنين Y و Z من C لهما دالة أسية Z ^Y في C.

يمكن دمج الشرطين الأولين في شرط واحد هو أن أي عائلة محدودة (ربما فارغة) من كائنات C تقبل منتجًا في C ، وذلك بسبب التجميع الطبيعي للمنتج الفئوي ولأن المنتج الفارغ في فئة ما هو الكائن النهائي لتلك الفئة.

الشرط الثالث مكافئ لاشتراط أن يكون للمؤثر –× Y (أي المؤثر من C إلى C الذي يربط الكائنات X بـ X × Y والتشاكلات φ بـ φ × id _Y ) مرافق أيمن ، يُرمز إليه عادةً بـ – ^Y ، لجميع الكائنات Y في C. بالنسبة للفئات الصغيرة محليًا ، يمكن التعبير عن ذلك بوجود تقابل بين مجموعات التماثل.$${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})}$$ وهو ^أمر طبيعي في X و Y و Z. ^{[ 3} ]

انتبه إلى أن الفئة المغلقة الديكارتية لا يشترط أن يكون لها حدود نهائية ؛ فقط المنتجات النهائية مضمونة.

إذا كانت فئة ما تتمتع بخاصية أن جميع فئاتها الفرعية مغلقة ديكارتيًا، فإنها تُسمى مغلقة ديكارتيًا محليًا . ^{[ 4 ]} لاحظ أنه إذا كانت الفئة C مغلقة ديكارتيًا محليًا، فليس بالضرورة أن تكون مغلقة ديكارتيًا فعليًا؛ يحدث ذلك فقط إذا كان للفئة C عنصر نهائي.

تتضمن أمثلة الفئات المغلقة الديكارتية ما يلي:

• تُعدّ فئة مجموعة جميع المجموعات ، التي تُمثّل الدوال فيها تشاكلات، فئةً مغلقةً ديكارتيًا. ويُعرّف حاصل الضرب X × Y بأنه حاصل الضرب الديكارتي لـ X و Y ، بينما ^تُعرّف ZY بأنها مجموعة جميع الدوال من Y إلى Z. ويُعبّر عن خاصية الترافق بالواقعة التالية: الدالة f : X × Y → Z تُطابق بشكل طبيعي الدالة المُجزأة g : X → ZY المُعرّفة بالعلاقة g ( ^x ) ( y ) = f ( x , y ) لجميع x في X و y في Y.  
• إن الفئة الفرعية للمجموعات المنتهية ، مع الدوال كتشاكلات، هي أيضًا مغلقة ديكارتية لنفس السبب.
• إذا كانت G زمرة ، فإن فئة جميع المجموعات G مغلقة ديكارتيًا. إذا كانت Y و Z مجموعتين G ، فإن ZY هي مجموعة جميع الدوال من Y إلى Z التي يكون ^{تأثيرها} على G معرفًا بالعلاقة ( g.F ) ( y ) = g.F ( g⁻¹.y ) لكل g في G ، ^و F : Y → Z ، و y في Y.
• كما أن الفئة الفرعية للمجموعات G المنتهية مغلقة ديكارتية.
• إن فئة Cat لجميع الفئات الصغيرة (مع الدوال كتشاكلات) مغلقة ديكارتية؛ يتم إعطاء الفئة الأسية C ^D بواسطة فئة الدوال التي تتكون من جميع الدوال من D إلى C ، مع التحويلات الطبيعية كتشاكلات.
• إذا كانت C فئة صغيرة ، فإن فئة الدوال Set ^C، التي تتألف من جميع الدوال المتغيرة من C إلى فئة المجموعات، مع التحويلات الطبيعية كتشاكلات، تكون مغلقة ديكارتيًا. إذا كان F و G دالتين من C إلى Set ، فإن الدالة الأسية F ^G هي الدالة التي تُعطى قيمتها على الكائن X من C بواسطة مجموعة جميع التحويلات الطبيعية من ( X , −   ) × G إلى F.
  • يمكن اعتبار المثال السابق لمجموعات G حالة خاصة من فئات الدوال: يمكن اعتبار كل مجموعة فئة ذات عنصر واحد، ومجموعات G ليست سوى دوال من هذه الفئة إلى المجموعة.
  • فئة جميع الرسوم البيانية الموجهة مغلقة ديكارتية؛ هذه فئة دالة كما هو موضح تحت فئة الدالة.
  • على وجه الخصوص، فإن فئة المجموعات التبسيطية (وهي الدوال X  : Δ ^op → Set ) مغلقة ديكارتية.
• وبشكل أعم، فإن كل فضاء طوبول أولي مغلق ديكارتياً.
• في الطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ الفئات المغلقة الديكارتية سهلة التعامل بشكل خاص. ففئة الفضاءات الطوبولوجية ذات التطبيقات المتصلة ، وفئة المشعبات الملساء ذات التطبيقات الملساء، ليستا مغلقتين ديكارتياً. ولذلك، تمّ النظر في فئات بديلة: فئة فضاءات هاوسدورف المولدة بشكل مضغوط هي فئة مغلقة ديكارتياً، وكذلك فئة فضاءات فروليشر .
• في نظرية الترتيب ، تتمتع الترتيبات الجزئية الكاملة ( cpos ) بطوبولوجيا طبيعية ، وهي طوبولوجيا سكوت ، التي تشكل تطبيقاتها المتصلة فئة مغلقة ديكارتية (أي أن الكائنات هي الترتيبات الجزئية الكاملة، والتشاكلات هي تطبيقات سكوت المتصلة ). كل من التقسيم الجزئي والتطبيق دالتان متصلتان في طوبولوجيا سكوت، ويُشكل التقسيم الجزئي، مع التطبيق، الدالة المرافقة. ^{[ 5 ]}
• جبر هايتينغ هو شبكة ديكارتية مغلقة (محدودة) . ومن الأمثلة المهمة على ذلك الفضاءات الطوبولوجية. إذا كان X فضاءً طوبولوجيًا، فإن المجموعات المفتوحة في X تُشكّل عناصر فئة O( X ) التي يوجد لها تشاكل وحيد من U إلى V إذا كانت U مجموعة جزئية من V ، ولا يوجد تشاكل فيما عدا ذلك. هذه المجموعة المرتبة جزئيًا هي فئة ديكارتية مغلقة: "حاصل ضرب" U و V هو تقاطع U و V ، والدالة الأسية U ∪ ^V هي باطن U ∪( X \ V ) .
• تكون الفئة التي تحتوي على عنصر صفري مغلقة ديكارتية إذا وفقط إذا كانت مكافئة لفئة تحتوي على عنصر واحد فقط وتشاكل محايد واحد. في الواقع، إذا كان 0 عنصرًا ابتدائيًا و1 عنصرًا نهائيًا، ولدينا${\displaystyle 0\cong 1}$، ثم${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y)\cong \mathrm {Hom} (1,Y^{X})\cong \mathrm {Hom} (0,Y^{X})\cong 1}$والذي يحتوي على عنصر واحد فقط. ^{[ 6 ]}
  • على وجه الخصوص، أي فئة غير تافهة تحتوي على عنصر صفري، مثل الفئة الأبيلية ، ليست مغلقة ديكارتيًا. لذا فإن فئة الوحدات فوق حلقة ليست مغلقة ديكارتيًا. ومع ذلك، فإن حاصل ضرب الموتر للدالة${\displaystyle -\otimes M}$للوحدة الثابتة مرافق أيمن . الضرب الموتري ليس ضربًا فئويًا، لذا لا يتعارض هذا مع ما سبق. بدلًا من ذلك، نستنتج أن فئة الوحدات مغلقة أحادية .

تتضمن أمثلة الفئات المغلقة ديكارتية المحلية ما يلي:

• كل فضاء طوبولوجي أولي مغلق محليًا في الإحداثيات الديكارتية. يشمل هذا المثال المجموعة Set ، والمجموعة FinSet ، والمجموعات G لمجموعة G ، بالإضافة إلى المجموعة ^C للفئات الصغيرة C.
• تُعتبر الفئة LH التي تكون عناصرها فضاءات طوبولوجية وتكون مورفاتها تماثلات موضعية مغلقة محليًا في الفضاء الديكارتي، لأن LH / X مكافئة لفئة الحزم .${\displaystyle Sh(X)}$ومع ذلك ، فإن LH ليس له كائن نهائي، وبالتالي فهو ليس مغلقًا ديكارتيًا.
• إذا كان C يحتوي على عمليات سحب للخلف ولكل سهم p  : X → Y ، فإن الدالة p ^*  : C/Y → C/X المعطاة عن طريق أخذ عمليات السحب للخلف لها مرافق أيمن ، فإن C مغلق محليًا في المجال الديكارتي.
• إذا كانت C مغلقة محليًا في نظام الإحداثيات الديكارتية، فإن جميع فئات شرائحها C / X تكون أيضًا مغلقة محليًا في نظام الإحداثيات الديكارتية.

تشمل الأمثلة غير المصنفة ضمن الفئات المغلقة ديكارتية المحلية ما يلي:

• القط ليس مغلقًا محليًا وفقًا للإحداثيات الديكارتية.

في الفئات المغلقة الديكارتية، يمكن دائمًا تمثيل "دالة لمتغيرين" (التشاكل f  : X × Y → Z ) كـ"دالة لمتغير واحد" (التشاكل λ f  : X → Z ^Y ). في تطبيقات علوم الحاسوب ، يُعرف هذا باسم "التقسيم الجزئي "؛ وقد أدى إلى إدراك إمكانية تفسير حساب لامدا ذي النوع البسيط في أي فئة مغلقة ديكارتية.

توفر مطابقة كاري -هوارد-لامبيك تماثلاً عميقاً بين المنطق الحدسي ، وحساب لامدا ذي النوع البسيط، والفئات المغلقة الديكارتية.

تم اقتراح بعض الفئات المغلقة الديكارتية، وهي التوبوي ، كإطار عام للرياضيات، بدلاً من نظرية المجموعات التقليدية .

دعا عالم الحاسوب جون باكوس إلى استخدام تدوين خالٍ من المتغيرات، أو ما يُعرف ببرمجة مستوى الدوال ، والتي تُظهر، عند النظر إليها بأثر رجعي، بعض التشابه مع اللغة الداخلية للفئات المغلقة الديكارتية. ^{[ 7 ]} وقد تم تصميم لغة CAML بشكل أكثر وعيًا على غرار الفئات المغلقة الديكارتية.

لتكن C فئة مغلقة ديكارتية محلية. عندئذٍ، تحتوي C على جميع عمليات السحب العكسي، لأن السحب العكسي لسهمين مع المجال المقابل Z يُعطى بواسطة حاصل الضرب في C / Z.

لكل سهم p  : X → Y ، ليكن P هو الكائن المقابل لـ C/Y . يؤدي سحب السهم للخلف على طول p إلى دالة p ^*  : C / Y → C / X التي لها مرافق أيسر ومرافق أيمن.

المرافق الأيسر${\displaystyle \Sigma _{p}:C/X\to C/Y}$يُطلق عليه اسم المجموع التابع ويُعطى بواسطة التركيب${\displaystyle p\circ (-)}$.

المرافق الأيمن${\displaystyle \Pi _{p}:C/X\to C/Y}$يُطلق عليه اسم المنتج التابع .

يمكن التعبير عن الدالة الأسية P في C / Y بدلالة حاصل الضرب التابع بالصيغة التالية:${\displaystyle Q^{P}\cong \Pi _{p}(p^{*}(Q))}$.

سبب هذه التسميات هو أنه عند تفسير P كنوع تابع${\displaystyle y:Y\vdash P(y):\mathrm {النوع} }$، الدوال${\displaystyle \Sigma _{p}}$و${\displaystyle \Pi _{p}}$تتوافق مع التكوينات النموذجية${\displaystyle \Sigma _{x:P(y)}}$و${\displaystyle \Pi _{x:P(y)}}$على التوالى.

في كل فئة مغلقة ديكارتية (باستخدام الترميز الأسي)، يكون ( X ^Y ) ^Z و( X ^Z ) ^Y متماثلين لجميع الكائنات X و Y و Z. نكتب هذا على شكل "المعادلة".

$${\displaystyle (x^{y})^{z}=(x^{z})^{y}.}$$

قد يتساءل المرء عن المعادلات الأخرى المماثلة الصالحة في جميع الفئات المغلقة الديكارتية. ويتضح أن جميعها تتبع منطقيًا من البديهيات التالية (حيث${\displaystyle 1}$يشير إلى الكائن النهائي لـ${\displaystyle C}$[ ^{8 ]​}

• المنتج ترابطي:${\displaystyle x\times (y\times z)=(x\times y)\times z}$
• المنتج تبادلي:${\displaystyle x\times y=y\times x}$
• الكائن النهائي هو هوية المنتج:${\displaystyle x\times 1=x}$
• الكائن النهائي هو الصفر الأيسر (الجبري) لعملية الأس:${\displaystyle 1^{x}=1}$
• الكائن النهائي هو الهوية الصحيحة للأس:${\displaystyle x^{1}=x}$
• تتوزع عملية الأسس على اليمين فوق المنتجات:${\displaystyle (x\times y)^{z}=x^{z}\times y^{z}}$
• الكاري:${\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{y\times z}}$

• الفئة المغلقة الديكارتية في مختبر n
• بايز، جون (2006). "المعادلات المتسلسلة المترافقة وحساب لامدا" . مقهى الفئات المتعددة: مدونة جماعية حول الرياضيات والفيزياء والفلسفة . جامعة تكساس.