توليد مساحة مضغوطة

يترك${\displaystyle (X,T)}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا ، حيث${\displaystyle T}$هي الطوبولوجيا ، أي مجموعة جميع المجموعات المفتوحة في${\displaystyle X.}$

توجد في الأدبيات تعريفات متعددة (غير متكافئة) للفضاء المتولد بشكل مضغوط أو فضاء k . تشترك هذه التعريفات في بنية مشتركة، تبدأ بعائلة محددة بشكل مناسب.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من الخرائط المتصلة من بعض المساحات المدمجة إلى${\displaystyle X.}$ تختلف التعريفات المختلفة في اختيارها للعائلة${\displaystyle {\mathcal {F}},}$كما هو موضح أدناه.

الطوبولوجيا النهائية${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$على${\displaystyle X}$فيما يتعلق بالأسرة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يُطلق عليه اسم "تحويل إلى صيغة k".${\displaystyle T.}$ بما أن جميع الوظائف في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$كانت متصلة في${\displaystyle (X,T),}$تحويل إلى صيغة k${\displaystyle T}$أدق من (أو يساوي) الطوبولوجيا الأصلية${\displaystyle T}$تُسمى المجموعات المفتوحة في عملية k-ification بـمجموعات k-open في${\displaystyle X;}$إنها المجموعات${\displaystyle U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle f^{-1}(U)}$مفتوح في${\displaystyle K}$لكل${\displaystyle f:K\to X}$في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ وبالمثل، فإنالمجموعات المغلقة من النوع k في${\displaystyle X}$هي المجموعات المغلقة في تحويلها إلى k، مع توصيف مطابق. في الفضاء${\displaystyle X,}$كل مجموعة مفتوحة هي مجموعة مفتوحة من النوع k، وكل مجموعة مغلقة هي مجموعة مغلقة من النوع k. الفضاء${\displaystyle X}$بالإضافة إلى الطوبولوجيا الجديدة${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle kX.}$^{[ 1 ]}

المساحة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الفضاء المتولد بشكل مضغوط أو فضاء k (بالنسبة للعائلة)${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) إذا تم تحديد بنيتها الطوبولوجية بواسطة جميع الخرائط في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$، بمعنى أن الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$يساوي تحويله إلى k؛ أو بصورة مكافئة، إذا كانت كل مجموعة مفتوحة من النوع k مفتوحة في${\displaystyle X,}$أو إذا كانت كل مجموعة مغلقة من النوع k مغلقة في${\displaystyle X;}$أو باختصار، إذا${\displaystyle kX=X.}$

أما بالنسبة للخيارات المختلفة المتاحة للعائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمكن للمرء أن يأخذ جميع خرائط التضمين من فضاءات فرعية معينة من${\displaystyle X,}$على سبيل المثال، جميع الفضاءات الجزئية المدمجة، أو جميع فضاءات هاوسدورف الجزئية المدمجة. وهذا يتوافق مع اختيار مجموعة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$من الفضاءات الفرعية لـ${\displaystyle X.}$ المساحة${\displaystyle X}$ثم يتم توليدها بشكل مضغوط بالضبط عندما تكون طوبولوجيتها متسقة مع تلك العائلة من الفضاءات الفرعية؛ أي مجموعة${\displaystyle A\subseteq X}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle X}$بالضبط عند التقاطع${\displaystyle A\cap K}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle K}$لكل${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$ ثمة خيار آخر يتمثل في أخذ عائلة جميع الخرائط المتصلة من فضاءات عشوائية من نوع معين إلى${\displaystyle X,}$على سبيل المثال، جميع هذه الخرائط من الفضاءات المدمجة العشوائية، أو من فضاءات هاوسدورف المدمجة العشوائية.

هذه الخيارات المختلفة لعائلة الخرائط المتصلة إلى${\displaystyle X}$يؤدي ذلك إلى تعريفات مختلفة للفضاء المُوَلَّد بشكل مضغوط . بالإضافة إلى ذلك، يشترط بعض المؤلفين${\displaystyle X}$يجب أن تستوفي بعض التعريفات بديهية الفصل (مثل هاوسدورف أو هاوسدورف الضعيف ) كجزء من التعريف، بينما لا تستوفيها تعريفات أخرى. ولن تتضمن التعريفات الواردة في هذه المقالة أي بديهية فصل من هذا القبيل.

كملاحظة عامة إضافية، هناك شرط كافٍ يمكن أن يكون مفيدًا لإثبات أن الفضاء${\displaystyle X}$يتم توليدها بشكل مضغوط (بالنسبة إلى${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) هو إيجاد عائلة فرعية${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$بحيث${\displaystyle X}$يتم توليدها بشكل مضغوط بالنسبة إلى${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ بالنسبة للفضاءات المتماسكة، يتوافق ذلك مع إثبات أن الفضاء متماسك مع مجموعة فرعية من مجموعة الفضاءات الفرعية. على سبيل المثال، يوفر هذا إحدى طرق إثبات أن الفضاءات المدمجة محليًا يتم توليدها بشكل مضغوط.

فيما يلي بعض التعريفات الأكثر استخدامًا بمزيد من التفصيل، مرتبة حسب درجة التحديد المتزايدة.

بالنسبة لفضاءات هاوسدورف، فإن التعريفات الثلاثة جميعها متكافئة. لذا فإن المصطلحاتالفضاء المتولد بشكل مضغوط هو فضاء لا لبس فيه ويشير إلى فضاء متولد بشكل مضغوط (في أي من التعريفات) وهو أيضًافضاء هاوسدورف.

بصورة غير رسمية، فضاء يتم تحديد طوبولوجيته بواسطة فضاءاته الفرعية المدمجة، أو بشكل مكافئ في هذه الحالة، بواسطة جميع الخرائط المستمرة من الفضاءات المدمجة العشوائية.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم فضاء مُولّد بشكل مضغوط أو فضاء k إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

(1) الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$متسق مع عائلة فضاءاته الفرعية المدمجة؛ أي أنه يحقق الخاصية التالية:

مجموعة${\displaystyle A\subseteq X}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle X}$بالضبط عند التقاطع${\displaystyle A\cap K}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle K}$لكل فضاء جزئي مضغوط${\displaystyle K\subseteq X.}$

(2) الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$يتطابق مع الطوبولوجيا النهائية فيما يتعلق بمجموعة جميع الخرائط المتصلة${\displaystyle f:K\to X}$من جميع المساحات الصغيرة${\displaystyle K.}$

(3)${\displaystyle X}$هو فضاء خارج القسمة لمجموع طوبولوجي للفضاءات المدمجة.

(4)${\displaystyle X}$هو فضاء خارج القسمة لفضاء مضغوط محليًا بشكل ضعيف .

كما هو موضح في مقال الطوبولوجيا الأخير ، فإن الشرط (2) محدد جيدًا، على الرغم من أن عائلة الخرائط المستمرة من الفضاءات المدمجة التعسفية ليست مجموعة بل فئة مناسبة.

ينتج التكافؤ بين الشرطين (1) و(2) من حقيقة أن كل تضمين من فضاء جزئي هو دالة متصلة؛ ومن ناحية أخرى، كل دالة متصلة${\displaystyle f:K\to X}$من مساحة صغيرة${\displaystyle K}$يحتوي على صورة مضغوطة${\displaystyle f(K)}$وبالتالي عوامل من خلال تضمين الفضاء الفرعي المضغوط${\displaystyle f(K)}$داخل${\displaystyle X.}$

بصورة غير رسمية، فضاء يتم تحديد طوبولوجيته بواسطة جميع الخرائط المتصلة من فضاءات هاوسدورف المدمجة العشوائية.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم فضاء مُولّد بشكل مضغوط أو فضاء k إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

(1) الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$يتطابق مع الطوبولوجيا النهائية فيما يتعلق بمجموعة جميع الخرائط المتصلة${\displaystyle f:K\to X}$من جميع مساحات هاوسدورف المدمجة${\displaystyle K.}$ بمعنى آخر، إنه يحقق الشرط التالي:

مجموعة${\displaystyle A\subseteq X}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle X}$متى بالضبط${\displaystyle f^{-1}(A)}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle K}$لكل مساحة هاوسدورف صغيرة${\displaystyle K}$وكل خريطة متصلة${\displaystyle f:K\to X.}$

(2)${\displaystyle X}$هو فضاء خارج القسمة لمجموع طوبولوجي لفضاءات هاوسدورف المدمجة.

(3)${\displaystyle X}$هو فضاء خارج القسمة لفضاء هاوسدورف متراص محليًا .

كما هو موضح في المقالة الأخيرة عن الطوبولوجيا ، فإن الشرط (1) محدد جيدًا، على الرغم من أن عائلة التطبيقات المتصلة من فضاءات هاوسدورف المدمجة العشوائية ليست مجموعة بل فئة مناسبة. ^{[ 5 ]}

كل فضاء يحقق التعريف 2 يحقق أيضًا التعريف 1. والعكس غير صحيح. على سبيل المثال، التكثيف أحادي النقطة لفضاء أرينز-فورت هو فضاء مضغوط، وبالتالي يحقق التعريف 1، ولكنه لا يحقق التعريف 2.

التعريف الثاني هو الأكثر شيوعًا في الطوبولوجيا الجبرية. غالبًا ما يُقرن هذا التعريف بخاصية هاوسدورف الضعيفة لتشكيل فئة CGWH للفضاءات الضعيفة المتولدة بشكل مضغوط .

بصورة غير رسمية، فضاء يتم تحديد طوبولوجيته من خلال فضاءاته الفرعية المدمجة من نوع هاوسدورف.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الفضاء المتولد بشكل مضغوط أو فضاء k إذا كانت طوبولوجيته متسقة مع عائلة فضاءات هاوسدورف الفرعية المضغوطة الخاصة به؛ أي أنه يحقق الخاصية التالية:

مجموعة${\displaystyle A\subseteq X}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle X}$بالضبط عند التقاطع${\displaystyle A\cap K}$مفتوح (أو مغلق) في${\displaystyle K}$لكل فضاء هاوسدورف مضغوط${\displaystyle K\subseteq X.}$

كل فضاء يحقق التعريف 3 يحقق أيضًا التعريف 2. والعكس غير صحيح. على سبيل المثال، فضاء سيربينسكي${\displaystyle X=\{0,1\}}$مع الطوبولوجيا${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$لا يفي بالتعريف 3، لأن فضاءاته الفرعية المدمجة من نوع هاوسدورف هي فضاءات مفردة.${\displaystyle \{0\}}$و${\displaystyle \{1\}}$والطوبولوجيا المتماسكة التي تستنتجها ستكون الطوبولوجيا المنفصلة بدلاً من ذلك. من ناحية أخرى، فإنها تحقق التعريف 2 لأنها متماثلة شكليًا مع فضاء القسمة للفترة المدمجة.${\displaystyle [0,1]}$تم الحصول عليها من خلال تحديد جميع النقاط في${\displaystyle (0,1].}$

بمفردها، لا يُعدّ التعريف الثالث مفيدًا تمامًا كالتعريفين الآخرين، إذ يفتقر إلى بعض الخصائص التي تتضمنها التعريفات الأخرى. على سبيل المثال، كل فضاء خارج قسمة فضاء يحقق التعريف الأول أو التعريف الثاني هو فضاء من النوع نفسه. لكن هذا لا ينطبق على التعريف الثالث.

مع ذلك، بالنسبة لفضاءات هاوسدورف الضعيفة، يكون التعريفان 2 و3 متكافئين. ^{[ 8 ]} وبالتالي، يمكن تعريف الفئة CGWH أيضًا بربط خاصية هاوسدورف الضعيفة بالتعريف 3، والذي قد يكون أسهل في الصياغة والتعامل معه من التعريف 2.

الفضاءات الجزئية للفضاء المتولد بشكل مضغوط ليست متولدة بشكل مضغوط بشكل عام، حتى في حالة هاوسدورف. على سبيل المثال، الفضاء الترتيبي${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}$أين${\displaystyle \omega _{1}}$العدد الترتيبي الأول غير القابل للعد هو عدد هاوسدورف مضغوط، وبالتالي فهو مولد مضغوط. فضاءه الجزئي يحتوي على جميع الأعداد الترتيبية الحدية باستثناء${\displaystyle \omega _{1}}$الفضاء المحذوف متماثل مع فضاء فورتيسيمو ، وهو فضاء غير مُوَلَّد بشكل مضغوط (كما ذُكر في قسم الأمثلة، فهو فضاء مضاد للضغط وغير منفصل). ^{[ 16 ]} مثال آخر هو فضاء أرينز، ^{[ 17 ] [ 18 ]} وهو فضاء هاوسدورف متسلسل، وبالتالي مُوَلَّد بشكل مضغوط. يحتوي هذا الفضاء على فضاء أرينز-فورت كفضاء جزئي ، وهو فضاء غير مُوَلَّد بشكل مضغوط.

في فضاء CG-1، كل مجموعة مغلقة هي CG-1. لكن هذا لا ينطبق على المجموعات المفتوحة. على سبيل المثال، كما هو موضح في قسم الأمثلة، هناك العديد من الفضاءات التي ليست CG-1، ولكنها مفتوحة في تكثيفها أحادي النقطة ، وهو CG-1.

في مساحة CG-2${\displaystyle X,}$كل مجموعة مغلقة هي CG-2؛ وكذلك كل مجموعة مفتوحة (لأن هناك دالة قسمة).${\displaystyle q:Y\to X}$لبعض المساحات المدمجة محليًا من هاوسدورف${\displaystyle Y}$وبالنسبة لمجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subseteq X}$تقييد${\displaystyle q}$ل${\displaystyle q^{-1}(U)}$وهي أيضًا دالة خارج القسمة على فضاء هاوسدورف متراص محليًا). وينطبق الأمر نفسه بشكل أعم على كل مجموعة مغلقة محليًا ، أي تقاطع مجموعة مفتوحة ومجموعة مغلقة. ^{[ 19 ]}

في فضاء CG-3، كل مجموعة مغلقة هي CG-3.

الاتحاد المنفصل${\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}$من عائلة${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$تكون كل فضاءات طوبولوجية من النوع CG-1 إذا وفقط إذا كان كل فضاء${\displaystyle X_{i}}$هو CG-1. تنطبق العبارات المقابلة أيضًا على CG-2 ^{[ 20 ] [ 21 ]} و CG-3.

الفضاء الخارجي لفضاء CG-1 هو CG-1. ^{[ 22 ]} على وجه الخصوص، كل فضاء خارجي لفضاء متراص محليًا ضعيفًا هو CG-1. والعكس صحيح، كل فضاء CG-1${\displaystyle X}$هو فضاء القسمة لفضاء مضغوط محليًا ضعيفًا، والذي يمكن اعتباره الاتحاد المنفصل للفضاءات الفرعية المضغوطة لـ${\displaystyle X.}$^{[ 22 ]}

الفضاء الخارجي لفضاء CG-2 هو CG-2. ^{[ 23 ]} وعلى وجه الخصوص، كل فضاء خارجي لفضاء هاوسدورف متراص محليًا هو CG-2. والعكس صحيح، فكل فضاء CG-2 هو الفضاء الخارجي لفضاء هاوسدورف متراص محليًا. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

فضاء القسمة لفضاء CG-3 ليس بالضرورة فضاء CG-3. في الواقع، كل فضاء CG-2 هو فضاء قسمة لفضاء CG-3 (أي فضاء هاوسدورف متراص محليًا)؛ ولكن توجد فضاءات CG-2 ليست فضاءات CG-3. على سبيل المثال، فضاء سيربينسكي ليس فضاء CG-3، ولكنه متماثل طوبولوجيًا مع فضاء القسمة للفترة المتراصة.${\displaystyle [0,1]}$تم الحصول عليها عن طريق تحديد${\displaystyle (0,1]}$إلى حد ما.

بشكل أعم، فإن أي طوبولوجيا نهائية على مجموعة ما، مستحثة بواسطة عائلة من الدوال من فضاءات CG-1، هي أيضاً CG-1. وينطبق الأمر نفسه على CG-2. وينتج هذا عن الجمع بين النتائج المذكورة أعلاه للاتحادات المنفصلة وفضاءات القسمة، بالإضافة إلى سلوك الطوبولوجيات النهائية تحت تركيب الدوال.

مجموع إسفيني لفضاءات CG-1 هو CG-1. وينطبق الأمر نفسه على CG-2. وهذا أيضاً تطبيق للنتائج المذكورة أعلاه بشأن الاتحادات المنفصلة وفضاءات القسمة.

لا يشترط أن يكون ناتج ضرب فضاءين مُولَّدين بشكل مضغوط مُولَّدًا بشكل مضغوط، حتى لو كان كلا الفضاءين من نوع هاوسدورف ومتسلسلين . على سبيل المثال، الفضاء${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$مع كون طوبولوجيا الفضاء الجزئي من خط الأعداد الحقيقية قابلة للعد أولاً ؛ الفضاء${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$مع كون طوبولوجيا القسمة من خط الأعداد الحقيقية مع تحديد الأعداد الصحيحة الموجبة إلى نقطة متسلسلة. كلا الفضاءين هما فضاءات هاوسدورف مولدة بشكل مضغوط، لكن حاصل ضربهما${\displaystyle X\times Y}$لا يتم توليدها بشكل مضغوط. ^{[ 26 ]}

ومع ذلك، في بعض الحالات يكون ناتج ضرب فضاءين متولدين بشكل مضغوط متولداً بشكل مضغوط:

• حاصل ضرب فضاءين قابلين للعد الأول هو فضاء قابل للعد الأول، ومن ثم CG-2.
• إن حاصل ضرب فضاء CG-1 وفضاء مضغوط محليًا هو CG-1. ^{[ 27 ]} (هنا، المضغوط محليًا هو بالمعنى الوارد في الشرط (3) في المقالة المقابلة، أي أن لكل نقطة قاعدة محلية من الجوار المضغوط.)
• حاصل ضرب فضاء CG-2 وفضاء هاوسدورف متراص محليًا هو CG-2. ^{[ 28 ] [ 29 ]}

عند العمل في فئة من المساحات المولدة بشكل مضغوط (مثل جميع مساحات CG-1 أو جميع مساحات CG-2)، فإن طوبولوجيا المنتج المعتادة على${\displaystyle X\times Y}$لا يتم توليدها بشكل مضغوط بشكل عام، لذا لا يمكن استخدامها كحاصل ضرب فئوي . ولكن تحويلها إلى k${\displaystyle k(X\times Y)}$ينتمي إلى الفئة المتوقعة وهو ناتج الفئة. ^{[ 30 ] [ 31 ]}

الدوال المتصلة على الفضاءات المولدة بشكل مضغوط هي تلك التي تتصرف بشكل جيد على المجموعات الجزئية المضغوطة. بتعبير أدق، ليكن${\displaystyle f:X\to Y}$لتكن دالة من فضاء طوبولوجي إلى آخر، ولنفترض أن المجال${\displaystyle X}$يتم توليدها بشكل مضغوط وفقًا لأحد التعريفات الواردة في هذه المقالة. وبما أن الفضاءات المولدة بشكل مضغوط تُعرَّف بدلالة طوبولوجيا نهائية ، فإنه يمكن التعبير عن استمرارية${\displaystyle f}$من حيث استمرارية تكوين${\displaystyle f}$مع استخدام الخرائط المختلفة في المجموعة لتحديد البنية النهائية. التفاصيل كالتالي.

لو${\displaystyle X}$هي CG-1، الدالة${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان القيد${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$يكون متصلاً لكل مضغوط${\displaystyle K\subseteq X.}$^{[ 32 ]}

لو${\displaystyle X}$هي CG-2، الدالة${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان التركيب${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$وهي متصلة لكل فضاء هاوسدورف مضغوط${\displaystyle K}$وخريطة متصلة${\displaystyle u:K\to X.}$^{[ 33 ]}

لو${\displaystyle X}$هي CG-3، الدالة${\displaystyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا كان القيد${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$وهي متصلة لكل هاوسدورف المدمجة${\displaystyle K\subseteq X.}$

للفضاءات الطوبولوجية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$يترك${\displaystyle C(X,Y)}$يرمز إلى فضاء جميع التطبيقات المتصلة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$مُعَلَّمة بطوبولوجيا مفتوحة مضغوطة . إذا${\displaystyle X}$هو CG-1، مكونات المسار في${\displaystyle C(X,Y)}$وهي تحديداً فئات التكافؤ المتماثل . ^{[ 34 ]}