طوبولوجيا ألكسندروف

في علم الطوبولوجيا العامة ، تُعرف طوبولوجيا ألكسندروف بأنها طوبولوجيا يكون فيها تقاطع أي مجموعة مفتوحة مجموعة مفتوحة (بينما يشترط تعريف الطوبولوجيا هذا الشرط فقط في حالة المجموعات المنتهية ). وبصورة مكافئة، تُعرف طوبولوجيا ألكسندروف بأنها طوبولوجيا تكون فيها المجموعات المفتوحة هي المجموعات العليا لترتيب جزئي ما على الفضاء.

تُعرف الفضاءات ذات طوبولوجيا ألكسندروف أيضًا باسم فضاءات ألكسندروف المنفصلة أو الفضاءات المولدة نهائيًا . وينبع الاسم الأخير من حقيقة أن طوبولوجيا هذه الفضاءات تُحدد بشكل فريد بواسطة عائلة جميع الفضاءات الجزئية المنتهية. وهذا ما يجعلها تعميمًا للفضاءات الطوبولوجية المنتهية .

سميت الفضاءات المنفصلة ألكسندروف نسبةً إلى عالم الطوبولوجيا الروسي بافيل ألكسندروف . ويجب عدم الخلط بينها وبين فضاءات ألكسندروف من الهندسة الريمانية التي قدمها عالم الرياضيات الروسي ألكسندر دانيلوفيتش ألكسندروف .

تتميز طوبولوجيات ألكسندروف بالعديد من الخصائص. في الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$الشروط التالية متكافئة:

• خصائص المجموعات المفتوحة والمغلقة:
  • أي تقاطع عشوائي لمجموعات مفتوحة يكون مفتوحًا.
  • أي اتحاد عشوائي لمجموعات مغلقة يكون مغلقاً.
• خصائص الأحياء:
  • لكل نقطة أصغر جوار لها .
  • يتم إغلاق مرشح الجوار لكل نقطة تحت التقاطعات العشوائية.
• الخصائص الجبرية الداخلية والإغلاقية:
  • يقوم عامل التوزيع الداخلي بالتوزيع على التقاطعات العشوائية للمجموعات الفرعية.
  • يقوم عامل الإغلاق بالتوزيع على اتحادات عشوائية من المجموعات الفرعية.
• مواصفات الطلب المسبق:
  • تُعتبر هذه الطوبولوجيا أفضل طوبولوجيا بين الطوبولوجيات على${\displaystyle X}$مع نفس التخصص، طلب مسبق .
  • المجموعات المفتوحة هي تحديدًا المجموعات العليا لبعض الطلبات المسبقة على${\displaystyle X}$.
• التوصيفات المتعلقة بالجيل المحدود ونظرية الفئات:
  • إن إغلاق مجموعة جزئية هو اتحاد إغلاقات مجموعاتها الجزئية المنتهية (وبالتالي هو أيضًا اتحاد إغلاقات مجموعاتها الجزئية المفردة).
  • تتفق الطوبولوجيا مع الفضاءات الجزئية المحدودة لـ${\displaystyle X}$.
  • خرائط التضمين للفضاءات الجزئية المحدودة لـ${\displaystyle X}$تشكيل حوض نهائي .
  • ${\displaystyle X}$يتم توليدها بشكل نهائي، أي أنها تقع في الغلاف النهائي لمساحاتها المحدودة. (هذا يعني وجود مصب نهائي).${\displaystyle f_{i}:X_{i}\to X}$حيث كل${\displaystyle X_{i}}$(هو فضاء طوبولوجي محدود.)

ترتبط طوبولوجيا ألكسندروف عادةً بمجموعة مرتبة مسبقًا باعتبار المجموعات المفتوحة هي المجموعات العليا . وعلى العكس، يمكن استعادة المجموعة المرتبة مسبقًا من طوبولوجيا ألكسندروف كترتيبها المسبق للتخصيص . (نستخدم الاصطلاح القائل بأن الترتيب المسبق للتخصيص يُعرَّف بواسطة${\displaystyle x\leq y}$حينما${\displaystyle x\in \operatorname {cl} \{y\},}$أي عندما تحتوي كل مجموعة مفتوحة على${\displaystyle x}$يحتوي أيضًا على${\displaystyle y}$(لتتوافق مع اصطلاحنا القائل بأن المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا ألكسندروف هي المجموعات العليا وليست المجموعات السفلى؛ ويوجد اصطلاح معاكس أيضًا.)

يُعرّف القاموس التالي العلاقة بين المفاهيم النظرية للترتيب والمفاهيم الطوبولوجية:

• المجموعات المفتوحة هي مجموعات علوية ،
• المجموعات المغلقة هي مجموعات دنيا ،
• الجزء الداخلي من مجموعة فرعية${\displaystyle S}$هي مجموعة العناصر${\displaystyle x\in S}$بحيث${\displaystyle y\in S}$حينما${\displaystyle x\leq y}$.
• إغلاق مجموعة جزئية هو إغلاقها السفلي .
• خريطة${\displaystyle f:X\to Y}$تكون العلاقة بين فضاءين ذوي طوبولوجيا ألكسندروف مستمرة إذا وفقط إذا كانت تحافظ على الترتيب كدالة بين المجموعات المرتبة مسبقًا.

من منظور نظرية الفئات ، لنرمز بـ Top إلى فئة الفضاءات الطوبولوجية التي تتكون من فضاءات طوبولوجية ذات دوال متصلة كتشاكلات. ولنرمز بـ Alex إلى فئتها الفرعية الكاملة التي تتكون من فضاءات ألكساندروف المنفصلة. ولنرمز بـ Preord إلى فئة المجموعات المرتبة مسبقًا التي تتكون من مجموعات مرتبة مسبقًا ذات دوال تحافظ على الترتيب كتشاكلات. إن التناظر أعلاه هو تماثل بين الفئتين Alex و PreOrd .

علاوة على ذلك، الدالة${\displaystyle A:\mathbf {PreOrd} \to \mathbf {Top} }$الدالة التي ترسل مجموعة مرتبة مسبقًا إلى فضاء ألكساندروف المنفصل المرتبط بها تكون أمينة تمامًا ومرافقة يسارية لدالة الترتيب المسبق للتخصيص${\displaystyle S:\mathbf {Top} \to \mathbf {PreOrd} }$مما يجعل أليكس فئة فرعية انعكاسية من فئة توب . علاوة على ذلك، فإن التشكلات الانعكاسية${\displaystyle A(S(X))\to X}$، والتي تكون خرائطها الأساسية هي الهويات (ولكن مع طوبولوجيات مختلفة عند المصدر والهدف)، هي خرائط متصلة تقابلية، وبالتالي فهي ثنائية الشكل .

الفضاء الجزئي من فضاء ألكساندروف المنفصل هو فضاء ألكساندروف منفصل. ^{[ 1 ]} وكذلك هو خارج قسمة فضاء ألكساندروف المنفصل (لأن الصور العكسية متوافقة مع الاتحادات والتقاطعات العشوائية).

حاصل ضرب فضاءين منفصلين من نوع ألكسندروف هو فضاء منفصل من نوع ألكسندروف. ^{[ 2 ]} وبشكل أعم، فإن حاصل ضرب صندوقي لعدد كيفي من الفضاءات المنفصلة من نوع ألكسندروف هو فضاء منفصل من نوع ألكسندروف. ^{[ 3 ]}

كل طوبولوجيا ألكسندروف قابلة للعد أولاً (لأن كل نقطة لها أصغر جوار).

كل طوبولوجيا ألكسندروف تكون متراصة محليًا بمعنى أن لكل نقطة قاعدة محلية من الجوارات المتراصة، لأن أصغر جوار لنقطة ما يكون دائمًا متراصًا. ^{[ 4 ]} في الواقع، إذا${\displaystyle U}$هي أصغر جوار (مفتوح) لنقطة${\displaystyle x}$، في${\displaystyle U}$نفسها مع طوبولوجيا الفضاء الفرعي أي غطاء مفتوح لـ${\displaystyle U}$يحتوي على حي من${\displaystyle x}$مشمول في${\displaystyle U}$إن مثل هذا الجوار يساوي بالضرورة${\displaystyle U}$لذا يسمح الغطاء المفتوح${\displaystyle \{U\}}$كغلاف فرعي محدود.

كل طوبولوجيا ألكسندروف متصلة محليًا عبر المسارات . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

باعتبار المؤثر الداخلي ومؤثر الإغلاق مؤثرين نمطيين على جبر القوى البولياني لفضاء ألكساندروف المنفصل، فإن بناءهما يُعد حالة خاصة من بناء جبر نمطي من إطار نمطي ، أي من مجموعة ذات علاقة ثنائية واحدة . (يُعد هذا البناء الأخير بدوره حالة خاصة من بناء أكثر عمومية لجبر معقد من بنية علائقية ، أي مجموعة ذات علاقات مُعرّفة عليها). فئة الجبر النمطي التي نحصل عليها في حالة مجموعة مُرتبة مسبقًا هي فئة الجبر الداخلي - وهي التجريدات الجبرية للفضاءات الطوبولوجية.

طُرحت فضاءات ألكسندروف لأول مرة عام 1937 على يد ب. س. ألكسندروف تحت مسمى الفضاءات المنفصلة ، ​​حيث قدم خصائصها بدلالة المجموعات والجوار. ^{[ 7 ]} لاحقًا، أصبح مصطلح الفضاءات المنفصلة يُستخدم للفضاءات الطوبولوجية التي تكون فيها كل مجموعة جزئية مفتوحة، وبقي المفهوم الأصلي منسيًا في الأدبيات الطوبولوجية. من جهة أخرى، لعبت فضاءات ألكسندروف دورًا هامًا في دراسات أويستين أور الرائدة حول أنظمة الإغلاق وعلاقاتها بنظرية الشبكات والطوبولوجيا. ^{[ 8 ]}

مع تطور الطوبولوجيا الفئوية في ثمانينيات القرن العشرين، أُعيد اكتشاف فضاءات ألكسندروف عندما طُبِّق مفهوم التوليد المحدود على الطوبولوجيا العامة ، وأُطلق عليها اسم الفضاءات المولدة توليدًا محدودًا . كما أُعيد اكتشاف فضاءات ألكسندروف في نفس الفترة تقريبًا في سياق الطوبولوجيات الناتجة عن الدلالات الدلالية ونظرية المجال في علوم الحاسوب .

_{في عام ١٩٦٦، لاحظ كلٌ من مايكل سي. ماكورد وأ. ك. شتاينر، بشكلٍ مستقل ،} تكافؤًا بين المجموعات والفضاءات المرتبة جزئيًا ، والتي كانت تحديدًا نسخ T₀ من الفضاءات التي قدمها ألكسندروف. ^{[ ٩ ] [ ١٠ ]} أشار ب. ت. جونستون إلى هذه الطوبولوجيا باسم طوبولوجيات ألكسندروف . ^{[ ١١ ]} اقترح ف. ج. أريناس، بشكلٍ مستقل، هذا الاسم للنسخة العامة من هذه الطوبولوجيات. ^{[ ١٢ ]} كما بيّن ماكورد أن هذه الفضاءات مكافئة تماثليًا ضعيفًا لمجموعة الترتيب المعقدة للمجموعة المرتبة جزئيًا المقابلة. أثبت شتاينر أن التكافؤ هو تماثل شبكي متغاير يحافظ على التقاطعات والوصلات العشوائية، بالإضافة إلى التكامل.

كان من النتائج المعروفة في مجال المنطق الموجه وجود تكافؤ بين الفضاءات الطوبولوجية المنتهية والترتيبات الجزئية على المجموعات المنتهية ( أطر النموذج المنتهي للمنطق الموجه S4 ). لاحظ أ. غريغورتشيك أن هذا التكافؤ يمتد إلى ما أسماه الفضاءات التوزيعية الكاملة والترتيبات الجزئية. لاحظ س. ناتورمان أن هذه الفضاءات هي فضاءات ألكساندروف المنفصلة، ​​ووسع النتيجة لتشمل تكافؤًا نظريًا فئويًا بين فئة فضاءات ألكساندروف المنفصلة والخرائط المتصلة (المفتوحة)، وفئة الترتيبات الجزئية والخرائط الرتيبة (المحدودة)، موفرًا بذلك توصيفات الترتيب الجزئي بالإضافة إلى التوصيفات الجبرية الداخلية والإغلاقية . ^{[ 13 ]}

قام إف جي أريناس بإجراء دراسة منهجية لهذه الفضاءات من وجهة نظر الطوبولوجيا العامة، والتي تم إهمالها منذ الورقة الأصلية التي نشرها ألكسندروف. ^{[ 12 ]}

• الفضاء P ، وهو فضاء يحقق الشرط الأضعف المتمثل في أن التقاطعات القابلة للعد للمجموعات المفتوحة تكون مفتوحة