استمرارية سكوت

في الرياضيات ، إذا أُعطيت مجموعتان مرتبتان جزئيًا P و Q ، فإن الدالة f : P → Q بينهما تُسمى دالة سكوت متصلة (نسبةً إلى عالم الرياضيات دانا سكوت ) إذا حافظت على جميع القيم العليا الموجهة . أي، لكل مجموعة جزئية موجهة D من P ذات قيمة عليا في P ، فإن صورتها لها قيمة عليا في Q ، وهذه القيمة العليا هي صورة القيمة العليا لـ D ، أي ∐ f [ D ] = f (∐ D )، حيث ∐ هي عملية الربط الموجهة. ^{[ 1 ]} عندما تكون Q هي مجموعة القيم المنطقية المرتبة جزئيًا، أي فضاء سيربينسكي ، فإن الدوال المتصلة سكوت هي دوال مميزة للمجموعات المفتوحة، وبالتالي فإن فضاء سيربينسكي هو فضاء التصنيف للمجموعات المفتوحة. ^{[ 2 ]}   

تُسمى المجموعة الجزئية U من مجموعة مرتبة جزئيًا P مجموعة سكوت-مفتوحة إذا كانت مجموعة علوية وإذا كانت غير قابلة للوصول إليها عن طريق عمليات الربط الموجهة ، أي إذا كانت جميع المجموعات الموجهة D التي لها قيمة عليا في U لها تقاطع غير فارغ مع U. تُشكل المجموعات الجزئية سكوت-المفتوحة من مجموعة مرتبة جزئيًا P طوبولوجيا على P، تُسمى طوبولوجيا سكوت . تكون الدالة بين المجموعات المرتبة جزئيًا متصلة سكوت-مستمرة إذا وفقط إذا كانت متصلة بالنسبة لطوبولوجيا سكوت. ^{[ 1 ]}

تم تعريف طوبولوجيا سكوت لأول مرة بواسطة دانا سكوت للشبكات الكاملة ، ثم تم تعريفها لاحقًا للمجموعات المرتبة جزئيًا بشكل عشوائي. ^{[ 3 ]}

تُستخدم الدوال المتصلة سكوت في دراسة نماذج حسابات لامدا ^{[ 3 ]} والدلالات الدلالية لبرامج الكمبيوتر.

الدالة المستمرة من نوع سكوت تكون دائمًا رتيبة ، مما يعني أنه إذا كان A ≤ _P B لـ A، B ∈ P، فإن f ( A ) ≤ _Q f ( B ).

تكون المجموعة الجزئية من ترتيب جزئي كامل موجه مغلقة بالنسبة لطوبولوجيا سكوت المستحثة بواسطة الترتيب الجزئي إذا وفقط إذا كانت مجموعة دنيا ومغلقة تحت المجموعات العليا الموجهة. ^{[ 4 ]}

يُعدّ الترتيب الجزئي الكامل الموجّه (dcpo) ذو طوبولوجيا سكوت دائمًا فضاءً كولموغوروف (أي أنه يحقق بديهية الفصل T₀ ). ^{[ 4 ]} _{مع ذلك} ، يكون الترتيب الجزئي الكامل الموجّه ذو طوبولوجيا سكوت فضاءً هاوسدورف إذا وفقط إذا كان الترتيب تافهًا. ^{[ 4 ]} تُشكّل المجموعات المفتوحة سكوت شبكةً كاملةً عند ترتيبها حسب الاحتواء . ^{[ 5 ]}

في أي فضاء كولموغوروف، تُنشئ الطوبولوجيا علاقة ترتيب على ذلك الفضاء، وهي ترتيب التخصص : x ≤ y إذا وفقط إذا كانت كل جوار مفتوح لـ x هو أيضًا جوار مفتوح لـ y . يمكن إعادة بناء علاقة الترتيب لفضاء dcpo D من مجموعات سكوت المفتوحة كترتيب التخصص المُستحث بواسطة طوبولوجيا سكوت. مع ذلك، لا يشترط أن يكون فضاء dcpo المزود بطوبولوجيا سكوت فضاءً بسيطًا : فترتيب التخصص المُستحث بواسطة طوبولوجيا فضاء بسيط يحوّل ذلك الفضاء إلى فضاء dcpo، لكن طوبولوجيا سكوت المُشتقة من هذا الترتيب تكون أدق من الطوبولوجيا الأصلية. ^{[ 4 ]}

تشكل المجموعات المفتوحة في فضاء طوبولوجي معين، عند ترتيبها حسب الاحتواء ، شبكةً يمكن تعريف طوبولوجيا سكوت عليها. تكون المجموعة الجزئية X من فضاء طوبولوجي T متراصةً بالنسبة للطوبولوجيا على T (بمعنى أن كل غطاء مفتوح لـ X يحتوي على غطاء جزئي منتهٍ لـ X ) إذا وفقط إذا كانت مجموعة الجوارات المفتوحة لـ X مفتوحةً بالنسبة لطوبولوجيا سكوت. ^{[ 5 ]}

بالنسبة لـ CPO ، وهي الفئة المغلقة الديكارتية لـ dcpo، فإن مثالين بارزين بشكل خاص للدوال المستمرة سكوت هما curry و apply . ^{[ 6 ]}

استخدم نويل بيلناب استمرارية سكوت لتوسيع الروابط المنطقية إلى منطق رباعي القيم . ^{[ 7 ]}

• طوبولوجيا ألكسندروف
• الطوبولوجيا العليا

• "طوبولوجيا سكوت" . بلانيت ماث .