دالة قابلة للتمثيل

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ، يُعرف المؤثر التمثيلي بأنه مؤثر معين من فئة معينة إلى فئة المجموعات . تُعطي هذه المؤثرات تمثيلات لفئة مجردة بدلالة هياكل معروفة (أي المجموعات والدوال ) ، مما يسمح بالاستفادة قدر الإمكان من المعرفة المتعلقة بفئة المجموعات في سياقات أخرى.

من منظور آخر، فإن الدوال القابلة للتمثيل لفئة C هي الدوال المعطاة مع C. ونظريتها هي تعميم واسع للمجموعات العليا في المجموعات المرتبة جزئياً ، ونظرية يونيدا للتمثيل تعمم نظرية كايلي في نظرية الزمر .

يترك${\displaystyle {\mathcal {C}}}$كن فئة صغيرة محليًا ودع${\displaystyle \mathbf {Set} }$لتكن فئة المجموعات . لكل عنصر${\displaystyle A}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يترك${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$ليكن دالة التماثل التي تُسقط الكائن${\displaystyle X}$إلى المجموعة${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$.

دالة​${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$يُقال إن الشيء قابل للتمثيل إذا كان متماثلاً بشكل طبيعي مع${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$بالنسبة لبعض الأشياء${\displaystyle A}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تمثيل لـ​${\displaystyle F}$هو زوج${\displaystyle (A,\Phi )}$أين $${\displaystyle \Phi$$ :\operatorname {Hom} (A,-)\rightarrow F} هو تماثل طبيعي.

دالة متغايرة${\displaystyle G}$من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$هو نفس الشيء الذي يُسمى الدالة${\displaystyle G:{\mathcal {C}}^{\text{op}}\rightarrow \mathbf {Set} }$ويُطلق عليه عادةً اسم الحزمة المسبقة . وتكون الحزمة المسبقة قابلة للتمثيل عندما تكون متماثلة طبيعيًا مع دالة التماثل المتغيرة.${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$بالنسبة لبعض الأشياء${\displaystyle A}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

وفقًا لفرضية يونيدا ، فإن التحويلات الطبيعية من Hom( A , – ) إلى F تتطابق تطابقًا تامًا مع عناصر F ( A ). وبالنظر إلى تحويل طبيعي Φ  : Hom( A , – ) → F، فإن العنصر المقابل u ∈ F ( A ) يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

وبالمقابل، لأي عنصر u ∈ F ( A ) يمكننا تعريف تحويل طبيعي Φ  : Hom( A , – ) → F عبر

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,}$

حيث f عنصر من Hom( A , X ). وللحصول على تمثيل لـ F، نريد معرفة متى يكون التحويل الطبيعي الناتج عن u تماثلاً. وهذا يقودنا إلى التعريف التالي:

العنصر الشامل للدالة F  : C → Set هو زوج ( A , u ) يتكون من كائن A من C وعنصر u ∈ F ( A ) بحيث أنه لكل زوج ( X , v ) يتكون من كائن X من C وعنصر v ∈ F ( X ) يوجد تشاكل وحيد f  : A → X بحيث يكون ( Ff )( u ) = v .

يمكن اعتبار العنصر الشامل بمثابة تشاكل شامل من مجموعة النقطة الواحدة {•} إلى الدالة F أو ككائن أولي في فئة عناصر F.

التحويل الطبيعي الناتج عن عنصر u ∈ F ( A ) يكون تماثلاً إذا وفقط إذا كان ( A , u ) عنصرًا شاملاً في F. نستنتج من ذلك أن تمثيلات F تتطابق تطابقًا تامًا مع العناصر الشاملة في F. ولهذا السبب، يُشار عادةً إلى العناصر الشاملة ( A , u ) بالتمثيلات.

• لنفترض الدالة المتغايرة P  : Set → Set التي تُسقط كل مجموعة على مجموعة قواها ، وكل دالة على صورة صورتها العكسية . لتمثيل هذه الدالة، نحتاج إلى زوج ( A , u ) حيث A مجموعة و u مجموعة جزئية من A ، أي عنصر من P ( A )، بحيث يكون لجميع المجموعات X ، تكون مجموعة التماثل Hom( X , A ) متماثلة مع P ( X ) عبر ΦX ₍ f ) = ( Pf ) u = f⁻¹ ( u ). لنأخذ A = { ^0,1 } و u = {1}. بالنظر إلى مجموعة جزئية S ⊆ X، فإن الدالة المناظرة من X إلى A هي الدالة المميزة لـ S.
• غالباً ما تكون الدوال النسيانية لمجموعة قابلة للتمثيل . على وجه الخصوص، يتم تمثيل الدالة النسيانية بواسطة ( A , u ) عندما يكون A كائنًا حرًا على مجموعة أحادية مع مولد u .
  • يتم تمثيل الدالة النسيانية Grp → Set على فئة المجموعات بواسطة ( Z , 1).
  • يتم تمثيل الدالة النسيانية Ring → Set على فئة الحلقات بواسطة ( Z [ x ], x )، وهي حلقة متعددة الحدود في متغير واحد بمعاملات صحيحة .
  • يتم تمثيل الدالة النسيانية A - Mod → Set على فئة الوحدات النمطية فوق حلقة A بواسطة ( A , 1).
  • يتم تمثيل الدالة النسيانية Top → Set على فئة الفضاءات الطوبولوجية بواسطة أي فضاء طوبولوجي أحادي العنصر مع عنصره الفريد.
• يمكن اعتبار المجموعة G فئة (أو حتى شبه مجموعة ) ذات عنصر واحد نرمز له بـ •. يقابل المؤثر من G إلى Set مجموعة G. يقابل المؤثر التماثلي الوحيد Hom(•, – ) من G إلى Set المجموعة G الأساسية G مع عملية الضرب من اليسار. تُظهر الحجج القياسية من نظرية المجموعات أن المؤثر من G إلى Set قابل للتمثيل إذا وفقط إذا كانت مجموعة G المقابلة متعدية ببساطة (أي مجموعة G -torsor أو كومة ). يُعادل اختيار التمثيل اختيار عنصر محايد للكومة.
• ليكن R حلقة تبديلية ذات عنصر محايد، ولتكن R - Mod فئة وحدات R. إذا كانت M و N وحدتين على R ، فإنه يوجد مؤثر متغاير B : R - Mod → Set يُسند إلى كل وحدة R - P مجموعة التطبيقات الثنائية الخطية R - M × N → P ، وإلى كل تشاكل R - f  : P → Q الدالة B ( f )  : B ( P ) → B ( Q ) التي تُحول كل تطبيق ثنائي خطي g  : M × N → P إلى التطبيق الثنائي الخطي ^f ∘ g :  M × N → Q. يُمثل المؤثر B بالوحدة R - M ⊗ _RN . ^{[ 1} ]
• يمكن للدالة الممثلة بمخطط A أن تصف أحيانًا عائلات من الأشكال الهندسية . على سبيل المثال، تتوافق حزم المتجهات من الرتبة k على تنوع جبري معين أو مخطط X مع التشكلات الجبرية.${\displaystyle X\to A}$حيث A هي فضاء غراسمان للمستويات k في فضاء عالي الأبعاد. كما أن بعض أنواع المخططات الفرعية ممثلة بمخططات هيلبرت .
• ليكن C فئة المركبات CW ذات التشكلات المعطاة بفئات التماثل للدوال المتصلة. لكل عدد طبيعي n، يوجد مؤثر تبايني H ^_n  : C → Ab يُسند لكل مركب CW زمرة التماثل من الرتبة ⁿ ( بمعاملات صحيحة). بدمج هذا المؤثر مع المؤثر النسياني، نحصل على مؤثر تبايني من C إلى Set . تنص نظرية براون للتمثيل في الطوبولوجيا الجبرية على أن هذا المؤثر ممثل بمركب CW يُسمى فضاء إيلنبرغ - ماكلين .

لنفترض دالة خطية على فضاء هيلبرت معقد H ، أي دالة خطية${\displaystyle F:H\to \mathbb {C} }$تنص نظرية تمثيل ريز على أنه إذا كانت F متصلة، فإنه يوجد عنصر وحيد${\displaystyle a\in H}$وهو ما يمثل F بمعنى أن F يساوي دالة الضرب الداخلي${\displaystyle \langle a,-\rangle }$، إنه${\displaystyle F(v)=\langle a,v\rangle }$ل${\displaystyle v\in H}$.

على سبيل المثال، الدوال الخطية المتصلة على فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$جميعها قابلة للتمثيل بالشكل${\displaystyle \textstyle F(v)=\langle a,v\rangle =\int _{\mathbb {R} }a(x)v(x)\,dx}$لوظيفة فريدة${\displaystyle a(x)\in H}$تتناول نظرية التوزيعات الدوال المتصلة الأكثر عمومية على فضاء دوال الاختبار .${\displaystyle C=C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$لا يمكن بالضرورة تمثيل دالة التوزيع هذه بدالة، ولكن يمكن اعتبارها بديهيًا دالة معممة. على سبيل المثال، دالة ديراك دلتا هي التوزيع المعرف بواسطة${\displaystyle F(v)=v(0)}$لكل دالة اختبار${\displaystyle v(x)\in C}$ويمكن اعتبارها "ممثلة" بدالة نتوء طويلة ورفيعة للغاية بالقرب من${\displaystyle x=0}$.

وبالتالي، دالة${\displaystyle a(x)}$قد لا تُحدد الدالة بقيمها، بل بتأثيرها على الدوال الأخرى عبر الضرب الداخلي. وبالمثل، قد يُوصف الكائن A في فئة ما ليس بخصائصه الداخلية، بل بدالة نقاطه ، أي علاقته بالكائنات الأخرى عبر التشكلات. وكما تُوصف الدوال غير القابلة للتمثيل بالتوزيعات، يمكن وصف الدوال غير القابلة للتمثيل ببنى أكثر تعقيدًا مثل المكدسات .

يمكن التعبير عن المفاهيم الفئوية للتشاكلات الشاملة والدوال المرافقة باستخدام الدوال القابلة للتمثيل.

ليكن G  : D → C دالةً، وليكن X عنصرًا من C. عندئذٍ، يكون ( A , φ) تشاكلًا شاملًا من X إلى G إذا وفقط إذا كان ( A , φ) تمثيلًا للدالة Hom _C ( X , G- ) من D إلى Set . ويترتب على ذلك أن G لها مُرافق يساري F إذا وفقط إذا كان Hom C(X, G- ₎ قابلًا للتمثيل لجميع X في C. ويُعطي التشاكل الطبيعي ΦX _: Hom _D ( FX , - ) → Hom _C ( X , G- ) خاصية المرافقة؛ أي 

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

هي دالة تقابل لجميع قيم X و Y.

العبارات المزدوجة صحيحة أيضًا. ليكن F  : C → D دالة، وليكن Y عنصرًا من D. عندئذٍ، يكون ( A , φ) تشاكلًا شاملًا من F إلى Y إذا وفقط إذا كان ( A , φ) تمثيلًا للدالة Hom _D ( F – , Y ) من C إلى Set . ويترتب على ذلك أن F لها مُرافق أيمن G إذا وفقط إذا كان Hom ^D ₍ F – , Y ) قابلًا للتمثيل لجميع Y في D. [ ^{2 ]}

• مصنف الكائنات الفرعية
• نظرية الكثافة

• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 5 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-98403-8.
• ماركيز، جان بيير (2009). "التصنيفات كفضاءات، والدوال كتحويلات". من وجهة نظر هندسية . المجلد  14. الصفحات 73-108 . doi : 10.1007/978-1-4020-9384-5_4 . ISBN  978-1-4020-9383-8.