مصنف الكائنات الفرعية

في المجال الرياضي لنظرية الفئات ، يُعد مصنف الكائنات الفرعية كائنًا خاصًا$أوميغا$من فئة بحيث، بشكل غير رسمي، العناصر الفرعية لأي عنصر${\displaystyle X}$تتوافق مع التشكلات من${\displaystyle X}$ل$أوميغا$وهذا يوفر نظيراً لمجموعة القيم المنطقية${\displaystyle \{0,1\}}$في فئات أخرى غير فئة المجموعات .

يُستخدم مُصنِّف الكائنات الفرعية بشكل أساسي في نظرية التوبوس ، حيث يُعرَّف التوبوس الأولي بأنه فئة تحتوي على مُصنِّف كائنات فرعية ومتطلبات إضافية مُحدَّدة. في اللغة الداخلية للتوبوس الأولي، يُستخدم مُصنِّف الكائنات الفرعية لتفسير قيم الصواب، ومن هنا جاء الاسم البديل "كائن قيم الصواب".

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مجموعة. مجموعة جزئية${\displaystyle Y\subseteq X}$ويمكن وصفها بشكل مكافئ بواسطة دالة المؤشر الخاصة بها

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{Y}:X&\to \{0,1\}\\x&\mapsto {\begin{cases}1{\text{ إذا كان }}x\in Y\\0{\text{ إذا كان }}x\notin Y\end{cases}}\end{aligned}}}$$

بشكل غير رسمي، مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يمكن تحديدها بالوظائف${\displaystyle X\to \{0,1\}}$. مصنف الكائنات الفرعية$أوميغا$من فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هو عنصر يؤدي دورًا مشابهًا لـ${\displaystyle \{0,1\}}$ينطبق على فئة المجموعات : العناصر الفرعية لكائن ما${\displaystyle X}$يمكن تحديدها باستخدام التشكلات من${\displaystyle X}$إلى مصنف الكائنات الفرعية. لاستعادة المجموعة الفرعية باستخدام دالة المؤشر${\displaystyle \chi }$بطريقة "قاطعة تمامًا"، يمكن للمرء أن يتخذ قرارًا بالتراجع

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&Y&\rightarrow &\{1\}&\\&\downarrow &&\downarrow \\&X&{\underset {\chi }{\rightarrow }}&\{0,1\}&\\\end{array}}}$$

أين الوظيفة من${\displaystyle \{1\}}$ل${\displaystyle \{0,1\}}$هي خريطة التضمين . في الواقع، المجموعة الفرعية${\displaystyle Y:=\{x\in X\mid \chi (x)=1\}}$، مزودة بخريطة التضمين${\displaystyle Y\to X}$(والخريطة الفريدة والثابتة)${\displaystyle Y\to \{1\}}$) هو هذا التراجع لأنه يتمتع بالخاصية الشاملة الصحيحة حيث أن الخريطة إلى${\displaystyle X}$مما يعطي الدالة الثابتة 1 عند تركيبها مع${\displaystyle \chi }$هو نفسه خريطة إلى${\displaystyle Y}$وصفٌ قاطعٌ لـ "${\displaystyle Y}$هي المجموعة الجزئية ذات الدالة المميزة${\displaystyle \chi }$"الأمر هو أن الرسم البياني أعلاه يمثل تراجعًا."

للتعريف العام، نبدأ بفئة C لها كائن نهائي ، نرمز له بـ 1. الكائن Ω من C هو مصنف كائنات فرعية لـ C إذا وُجد تشاكل

1 → Ω

بالخاصية التالية:

لكل أحادي الشكل j : U → X يوجد شكل وحيد χ _j : X → Ω بحيث يكون المخطط التبادلي التالي

هو مخطط سحب للخلف — أي أن U هي نهاية المخطط:

يُطلق على التشكل χ _j اسم التشكل المصنف للكائن الفرعي الذي يمثله j .

يحتوي شبه الكائن على كائن يكاد يكون مصنفًا للكائنات الفرعية؛ فهو يصنف فقط الكائنات الفرعية القوية.

• ارتين, مايكل ; ألكسندر غروتينديك ؛ جان لويس فيردير (1964). Séminaire de Géometrie Algébrique IV . سبرينغر-فيرلاغ .
• بار، مايكل ؛ ويلز، تشارلز (1985). التوبوسات، والثلاثيات، والنظريات . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-96115-1.
• بيل، جون (1988). التوبوس ونظريات المجموعات المحلية: مقدمة . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد .
• جولدبلات، روبرت (1983). الطوبولوجيا: التحليل الفئوي للمنطق . نورث هولاند ، أعيد طبعه بواسطة دوفر للنشر (2006). ISBN 0-444-85207-7.
• جونستون، بيتر (2002). رسومات فيل: خلاصة نظرية توبوس . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد .
• جونستون، بيتر (1977). نظرية التوبوس . دار النشر الأكاديمية . رقم ISBN 0-12-387850-0.
• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  5 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 
• ماك لين، سوندرز ؛ مورديك، إيكي (1992). الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس . سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-97710-4.
• ماكلارتي، كولين (1992). التصنيفات الأولية، والطوبولوجيات الأولية . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 0-19-853392-6.
• بيديكيو، ماريا كريستينا ؛ ثولين، والتر، محرران. (2004). الأسس الفئوية. موضوعات خاصة في الترتيب، والطوبولوجيا، والجبر، ونظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  97. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 . 
• تايلور، بول (1999). الأسس العملية للرياضيات . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-63107-6.