كائن حر

في الرياضيات ، يُعدّ مفهوم الكائن الحرّ أحد المفاهيم الأساسية للجبر المجرد . وبشكلٍ مبسط، يُمكن اعتبار الكائن الحرّ على مجموعة A بمثابة بنية جبرية "عامة" على A : فالمعادلات الوحيدة التي تنطبق بين عناصر الكائن الحرّ هي تلك التي تنبع من البديهيات المُحدِّدة للبنية الجبرية. ومن الأمثلة على ذلك: المونويدات الحرة ، والمجموعات الحرة ، وجبر الموترات ، والشبكات الحرة .

يُعدّ هذا المفهوم جزءًا من الجبر الشامل ، بمعنى أنه يرتبط بجميع أنواع البنية الجبرية (مع العمليات المنتهية ). كما أن له صياغة في نظرية الفئات ، وإن كانت هذه الصياغة أكثر تجريدًا.

الكائنات الحرة هي تعميم مباشر لمفهوم الأساس في الفضاء المتجهي على الفئات . الدالة الخطية u : E ₁ → E ₂ بين الفضاءات المتجهة تُحدد بالكامل بقيمها على أساس الفضاء المتجهي E _1. التعريف التالي يُعمم هذا المفهوم على أي فئة . 

الفئة الملموسة هي فئة مزودة بدالة أمينة لفئة المجموعات ( Set ). لتكن C فئة ملموسة ذات دالة أمينة U : C → Set . ولتكن X مجموعة (أي عنصرًا في Set )، والتي ستكون أساس الكائن الحر المراد تعريفه. الكائن الحر على X هو زوج يتكون من عنصرين ${\displaystyle A}$في C وحقنة${\displaystyle i:X\to U(A)}$، والتي تسمى الحقنة القانونية ، والتي تحقق الخاصية العامة التالية :

لأي كائن B في C وأي تطبيق بين المجموعات${\displaystyle g:X\to U(B)}$يوجد تشاكل فريد${\displaystyle f:A\to B}$في C بحيث${\displaystyle g=U(f)\circ i}$أي أن المخطط التالي يتبادل:

إذا وُجدت كائنات حرة في C ، فإن الخاصية الشاملة تعني أن كل تطبيق بين مجموعتين يُنشئ تشاكلاً فريداً بين الكائنات الحرة المبنية عليهما، وهذا يُعرّف دالة.${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$ويترتب على ذلك أنه إذا وُجدت كائنات حرة في C ، فإن الدالة F ، التي تُسمى الدالة الحرة ، هي دالة مرافقة يسارية للدالة الأمينة U ؛ أي أن هناك تقابلاً بينهما.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).}$

تتم عملية إنشاء الكائنات الحرة على مرحلتين. بالنسبة للجبر الذي يتوافق مع قانون التجميع ، تتمثل المرحلة الأولى في دراسة مجموعة جميع الكلمات الممكنة المُشكَّلة من أبجدية معينة . ثم تُفرض مجموعة من علاقات التكافؤ على هذه الكلمات، حيث تُمثل هذه العلاقات العلاقات المُحدِّدة للكائن الجبري قيد الدراسة. يتكون الكائن الحر بعد ذلك من مجموعة فئات التكافؤ .

لنأخذ على سبيل المثال بناء المجموعة الحرة في مولدين . يبدأ أحدهما بأبجدية تتكون من خمسة أحرف${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$في الخطوة الأولى، لم يتم بعد تحديد أي معنى لـ "الحروف".${\displaystyle a^{-1}}$أو${\displaystyle b^{-1}}$سيتم تقديم هذه لاحقًا، في الخطوة الثانية. وبالتالي، يمكن للمرء أن يبدأ بنفس القدر بالأبجدية المكونة من خمسة أحرف.${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$في هذا المثال، مجموعة جميع الكلمات أو السلاسل النصية${\displaystyle W(S)}$سوف تتضمن سلاسل مثل aebecede و abdc وما إلى ذلك، ذات طول محدود عشوائي، مع ترتيب الأحرف بكل ترتيب ممكن.

في الخطوة التالية، يتم فرض مجموعة من علاقات التكافؤ. علاقات التكافؤ لمجموعة ما هي علاقة الضرب بالعنصر المحايد.${\displaystyle ge=eg=g}$وضرب المعكوسات:${\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e}$بتطبيق هذه العلاقات على السلاسل المذكورة أعلاه، نحصل على

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

حيث كان من المفهوم أن${\displaystyle c}$هو بديل لـ${\displaystyle a^{-1}}$، و${\displaystyle d}$هو بديل لـ${\displaystyle b^{-1}}$، بينما${\displaystyle e}$هو عنصر الهوية. وبالمثل، يكون لدى المرء

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

يدل على علاقة التكافؤ أو التطابق بواسطة${\displaystyle \sim }$وبالتالي ، فإن الكائن الحر هو مجموعة فئات التكافؤ للكلمات. لذا، في هذا المثال، تكون المجموعة الحرة في مولدين هي خارج القسمة

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

غالباً ما يُكتب هذا على النحو التالي:${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$أين${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$هي مجموعة جميع الكلمات، و${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$هي فئة التكافؤ للهوية، بعد فرض العلاقات التي تحدد المجموعة.

من الأمثلة الأبسط على ذلك المونويدات الحرة . المونويد الحر على مجموعة X هو مونويد جميع السلاسل المنتهية التي تستخدم X كأبجدية، مع عملية دمج السلاسل. العنصر المحايد هو السلسلة الفارغة. باختصار، المونويد الحر هو ببساطة مجموعة جميع الكلمات، دون فرض أي علاقات تكافؤ. يُشرح هذا المثال بتفصيل أكبر في مقال نجمة كلين .

يترك${\displaystyle S}$كن مجموعة و${\displaystyle A}$ليكن بنية جبرية من النوع${\displaystyle \rho }$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle S}$. المجموعة الأساسية لهذا الهيكل الجبري${\displaystyle A}$يُشار إلى هذا الكون، الذي يُطلق عليه غالبًا اسم الكون، بالرمز التالي:${\displaystyle A}$. يترك${\displaystyle \psi :S\to A}$لنفترض أنها دالة. نقول ذلك${\displaystyle (A,\psi )}$(أو بشكل غير رسمي فقط)${\displaystyle A}$) هو جبر حر من النوع${\displaystyle \rho }$في موقع التصوير${\displaystyle S}$من المولدات الحرة إذا تحققت الخاصية العامة التالية:

لكل جبر${\displaystyle B}$من النوع${\displaystyle \rho }$وكل وظيفة${\displaystyle \tau :S\to B}$، أين${\displaystyle B}$هو كون${\displaystyle B}$يوجد تماثل فريد${\displaystyle \sigma :A\to B}$بحيث يكون المخطط التالي تبادليًا:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\xrightarrow {\psi } &A\\&\searrow _{\tau }&\downarrow ^{\sigma }\\&&B\ \end{array}}}$

هذا يعني أن${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau }$.

الإطار الأكثر عمومية للكائن الحر هو في نظرية الفئات ، حيث يتم تعريف دالة ، وهي الدالة الحرة ، وهي الدالة المرافقة اليسرى للدالة المنسية .

لنفترض وجود فئة C من البنى الجبرية ؛ يمكن اعتبار عناصرها مجموعات بالإضافة إلى عمليات، تخضع لبعض القوانين. تحتوي هذه الفئة على دالة.${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$الدالة النسيانية ، التي تربط الكائنات والتشاكلات في لغة C بفئة المجموعات ( Set ) . الدالة النسيانية بسيطة للغاية: فهي تتجاهل جميع العمليات.

الدالة الحرة F ، إن وجدت، هي الدالة المرافقة اليسرى للدالة U. أي،${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$تأخذ المجموعات X في المجموعة إلى كائناتها الحرة المقابلة F ( X ) في الفئة C. يمكن اعتبار المجموعة X بمثابة مجموعة "المولدات" للكائن الحر F ( X ).

لكي يكون المؤثر الحرّ مرافقًا يساريًا، يجب أن يكون لدينا أيضًا تشاكل مجموعة${\displaystyle \eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!}$وبشكل أكثر تحديدًا، فإن F ، حتى التشاكلات في C ، تتميز بالخاصية العامة التالية :

عندما تكون B جبرًا في C ، و${\displaystyle g\colon X\to U(B)}$إذا كانت دالة (تشاكل في فئة المجموعات)، فإنه يوجد تشاكل وحيد من الفئة C${\displaystyle f\colon F(X)\to B}$بحيث${\displaystyle g=U(f)\circ \eta _{X}}$.

بشكل ملموس، يُدخل هذا مجموعةً في الكائن الحر على تلك المجموعة؛ إنه "إدراج أساس". إساءة استخدام الترميز،${\displaystyle X\to F(X)}$(هذا إساءة استخدام للرموز لأن X عبارة عن مجموعة، بينما F ( X ) عبارة عن جبر؛ والصحيح هو${\displaystyle X\to U(F(X))}$).

التحول الطبيعي${\displaystyle \eta$ يُطلق على :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF} اسم الوحدة ؛ بالإضافة إلى الوحدة المرافقة .${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$، يمكن للمرء أن يبني جبر T ، وبالتالي موناد .

الدالة المشتركة الحرة هي الدالة المرافقة اليمنى للدالة المنسية. انظر، على سبيل المثال، الجبر المشترك الحر .

تشمل أنواع محددة من الكائنات الحرة ما يلي:

• الجبر الحر
  • الجبر الترابطي الحر
  • الجبر التبادلي الحر
• فئة مجانية
  • فئة أحادية صارمة حرة
• مجموعة مجانية
  • مجموعة أبيلية حرة
  • مجموعة تبديلية جزئية حرة
• جبر كلين الحر
• شبكة حرة
  • الجبر البولياني الحر
  • شبكة توزيع حرة
  • جبر هيتينغ المجاني
  • شبكة معيارية حرة
• الجبر الحر
• ماجما حرة
• وحدة حرة ، وعلى وجه الخصوص، فضاء متجهي
• أحادي حر
  • أحادي تبديلي حر
  • أحادي حر جزئي تبديلي
• رنين مجاني
• شبه المجموعة الحرة
• نصف حلقة مجانية
  • شبه حلقة تبديلية حرة
• النظرية الحرة
• جبر المصطلحات
• مساحة منفصلة

• مجموعة مولدة
• الكائن الأولي

• في nLab : دالة حرة ، كائن حر ، فضاء متجهي