الجبر البولياني الحر

في الرياضيات ، الجبر البولياني الحر هو جبر بولياني يحتوي على مجموعة مميزة من العناصر تسمى المولدات ، بحيث:

1. يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر الجبر البولياني كمجموعة محدودة من المولدات، باستخدام العمليات البوليانية، و
2. تكون المولدات مستقلة قدر الإمكان، بمعنى أنه لا توجد علاقات بينها (مرة أخرى من حيث التعبيرات المحدودة باستخدام العمليات المنطقية) التي لا تنطبق في كل جبر منطقي بغض النظر عن العناصر المختارة.

يمكن لمولدات الجبر البولياني الحر أن تمثل قضايا مستقلة. على سبيل المثال، لنأخذ القضيتين "جون طويل" و"ماري غنية". تُولّد هاتان القضيتان جبرًا بوليانيًا بأربعة عناصر ، وهي:

• جون طويل القامة، وماري غنية؛
• جون طويل القامة، وماري ليست غنية؛
• جون ليس طويل القامة، وماري غنية؛
• جون ليس طويل القامة، وماري ليست غنية.

تُعدّ العناصر الأخرى في الجبر البولياني عبارة عن عبارات فصل منطقية للذرات، مثل "جون طويل وماري ليست غنية، أو جون ليس طويل وماري غنية". إضافةً إلى ذلك، يوجد عنصر آخر، وهو "خطأ"، والذي يُمكن اعتباره الفصل الفارغ؛ أي الفصل الذي لا يحتوي على أي ذرات.

ينتج عن هذا المثال جبر بولياني مكون من 16 عنصرًا؛ بشكل عام، بالنسبة لقيمة n محدودة ، فإن الجبر البولياني الحر ذو n مولدًا يحتوي على 2 ^{^n} ذرة ، وبالتالي${\displaystyle 2^{2^{n}}}$عناصر.

إذا كان هناك عدد لا نهائي من المولدات ، فإن الوضع يبقى على حاله، باستثناء أنه لا توجد ذرات . كل عنصر من عناصر الجبر البولياني هو مزيج من عدد محدود من القضايا المولدة، ويُعتبر عنصران متطابقين إذا كانا متكافئين منطقيًا .

طريقة أخرى لفهم سبب امتلاك الجبر البولياني الحر على مجموعة مكونة من n عنصرًا${\displaystyle 2^{2^{n}}}$العناصر هي ملاحظة أن كل عنصر عبارة عن دالة من n بت إلى واحد. هناك${\displaystyle 2^{n}}$تتضمن هذه الدالة مدخلات محتملة، وستختار الدالة إما 0 أو 1 كمخرج لكل مدخل، لذا يوجد${\displaystyle 2^{2^{n}}}$الوظائف الممكنة.

بلغة نظرية الفئات ، يمكن تعريف الجبر البولياني الحر ببساطة من خلال اقتران بين فئة المجموعات والدوال، Set ، وفئة الجبر البولياني وتشاكلات الجبر البولياني، BA . في الواقع، يُعمم هذا النهج ليشمل أي بنية جبرية قابلة للتعريف في إطار الجبر الشامل (انظر الكائن الحر ).

ذكرنا سابقًا أن الجبر البولياني الحر هو جبر بولياني له مجموعة من المولدات التي تتصرف بطريقة معينة؛ أو يمكن البدء بمجموعة ما والتساؤل عن الجبر الذي تولده. كل مجموعة X تولد جبرًا بوليانيًا حرًا FX يُعرَّف بأنه الجبر الذي بحيث أنه لكل جبر B ودالة f  : X → B ، يوجد تشاكل جبر بولياني وحيد f ′  : FX → B يمتد من f . بيانيًا ،

حيث يُمثل iX الاحتواء _، ويشير السهم المتقطع إلى التفرد. الفكرة هي أنه بمجرد اختيار وجهة عناصر X ، تحدد قوانين تماثلات الجبر البولياني وجهة كل شيء آخر في الجبر الحر FX . إذا احتوى FX على عناصر لا يمكن التعبير عنها كمجموعات من عناصر X ، فلن يكون f ′ متفردًا، وإذا لم تكن عناصر X مستقلة بما فيه الكفاية، فلن يكون f ′ مُعرَّفًا جيدًا! من السهل إثبات أن FX متفرد (حتى التماثل)، لذا فإن هذا التعريف منطقي. كما يسهل إثبات أن الجبر البولياني الحر ذو المجموعة المولدة X، كما عُرِّف في الأصل، متماثل مع FX ، لذا يتفق التعريفان.

من عيوب التعريف أعلاه أن الرسم البياني لا يُظهر أن f ′ تشاكل؛ فبما أنه رسم بياني في المجموعة Set، فإن كل سهم يُمثل دالة فقط. يُمكننا معالجة هذا بفصله إلى رسمين بيانيين، أحدهما في BA والآخر في المجموعة Set . ولربط الرسمين، نُعرّف دالة U  : BA → Set التي " تتجاهل " البنية الجبرية، حيث تُسقط الجبر والتشاكلات على مجموعاتها ودوالها الأساسية.

إذا فسرنا السهم العلوي على أنه رسم بياني في BA والمثلث السفلي على أنه رسم بياني في Set ، فإن هذا الرسم البياني يعبر بشكل صحيح عن أن كل دالة f  : X → UB تمتد إلى تشاكل جبر بولياني فريد f ′  : FX → B. يمكن اعتبار الدالة U أداة لإعادة التشاكل f ′ إلى Set بحيث يمكن ربطه بـ f .

الجانب اللافت في هذا هو أن المخطط الأخير يمثل أحد التعريفات المتعددة (المكافئة) لحالة كون دالتين مترافقتين . يمكن بسهولة توسيع الدالة F لدينا إلى دالة Set → BA ، وتعريفنا لـ X الذي يولد جبرًا منطقيًا حرًا FX هو تحديدًا أن U لها دالة مترافقة يسارية F.

يمكن تمثيل الجبر البولياني الحر ذي κ مولد ، حيث κ عدد أصلي محدود أو غير محدود ، كمجموعة جميع المجموعات الفرعية المفتوحة والمغلقة من {0,1} ^κ ، مع الأخذ في الاعتبار طوبولوجيا الضرب، بافتراض أن {0,1} لها طوبولوجيا منفصلة . لكل α < κ، فإن المولد α هو مجموعة جميع عناصر {0,1} ^{κ التي} إحداثيها α يساوي 1. على وجه الخصوص، فإن الجبر البولياني الحر ذي${\displaystyle \aleph _{0}}$المولدات هي مجموعة جميع المجموعات الفرعية المفتوحة والمغلقة لفضاء كانتور ، والتي تُسمى أحيانًا جبر كانتور . هذه المجموعة قابلة للعد . في الواقع، بينما يمتلك الجبر البولياني الحر ذو n مولدًا، حيث n عدد محدود، عددًا أصليًا${\displaystyle 2^{2^{n}}}$، الجبر البولياني الحر مع${\displaystyle \aleph _{0}}$المولدات، كما هو الحال بالنسبة لأي جبر حر مع${\displaystyle \aleph _{0}}$المولدات والعديد من العمليات المالية التي يمكن عدها، لها عددية${\displaystyle \aleph _{0}}$.

لمزيد من المعلومات حول هذا النهج الطوبولوجي للجبر البولياني الحر، انظر نظرية تمثيل ستون للجبر البولياني .

• الجبر البولياني (البنية)
• مجموعة مولدة

• ستيف أوودي (2006) نظرية الفئات (أدلة أكسفورد المنطقية 49). مطبعة جامعة أكسفورد.
• بول هالموس وستيفن جيفانت (1998) المنطق كجبر . الجمعية الرياضية الأمريكية .
• ساوندرز ماك لين (1998) التصنيفات للرياضي العامل . الطبعة الثانية. (نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 5). سبرينغر-فيرلاغ.
• ساوندرز ماك لين (1999) الجبر ، الطبعة الثالثة. الجمعية الأمريكية للرياضيات . رقم ISBN 0-8218-1646-2.
• روبرت ر. ستول، 1963. نظرية المجموعات والمنطق ، الفصل 6.7. طبعة دوفر المعاد طباعتها عام 1979.