مولد (رياضيات)

في الرياضيات والفيزياء ، قد يشير مصطلح "المولد" أو "المجموعة المولدة" إلى عدد من المفاهيم ذات الصلة. ويتمثل المفهوم الأساسي في كل حالة في مجموعة أصغر من العناصر، بالإضافة إلى مجموعة من العمليات التي يمكن تطبيقها عليها، والتي ينتج عنها إنشاء مجموعة أكبر من العناصر، تُسمى " المجموعة المولدة" . ويُقال حينها إن المجموعة الأكبر مُولدة من المجموعة الأصغر. وعادةً ما تكون خصائص المجموعة المولدة أبسط من خصائص المجموعة المولدة، مما يُسهل مناقشتها ودراستها. وعادةً ما تُحفظ خصائص المجموعة المولدة بطريقة ما بفعل عملية التوليد؛ وبالمثل، غالبًا ما تنعكس خصائص المجموعة المولدة في المجموعة المولدة.

فيما يلي قائمة بأمثلة على المجموعات المولدة.

• مجموعة توليد أو مجموعة توليد فضاء متجهي : مجموعة تولد الفضاء المتجهي
• المجموعة المولدة لمجموعة : هي مجموعة جزئية من مجموعة لا تنتمي إلى أي مجموعة جزئية من المجموعة باستثناء المجموعة بأكملها.
• مجموعة توليد حلقة : تولد مجموعة جزئية S من حلقة A الحلقة A إذا كانت الحلقة الجزئية الوحيدة من A التي تحتوي على S هي A
• مجموعة توليد مثال في حلقة
• مجموعة مولدة لوحدة نمطية
• المولد ، في نظرية الفئات ، هو كائن يمكن استخدامه لتمييز التشكلات
• في علم الطوبولوجيا ، تُسمى مجموعة المجموعات التي تولد الطوبولوجيا بالقاعدة الفرعية
• مجموعة توليد الجبر الطوبولوجي : تُسمى S مجموعة توليد للجبر الطوبولوجي A إذا كان أصغر جبر فرعي مغلق من A يحتوي على S هو A
• توليد جبر سيجما بواسطة مجموعة من المجموعات الجزئية

في دراسة المعادلات التفاضلية ، وخاصةً تلك التي تظهر في الفيزياء ، توجد فكرة مجموعة من الإزاحات المتناهية الصغر التي يمكن تمديدها للحصول على فضاء متعدد الشعب ، أو على الأقل جزء محلي منه، عن طريق التكامل. ويتمثل المفهوم العام في استخدام الدالة الأسية لأخذ المتجهات في الفضاء المماسي وتمديدها، كخطوط جيوديسية ، إلى مجموعة مفتوحة تحيط بنقطة التماس. في هذه الحالة، من الشائع تسمية عناصر الفضاء المماسي بمولدات الفضاء متعدد الشعب. عندما يمتلك الفضاء متعدد الشعب نوعًا من التناظر، يوجد أيضًا مفهوم الشحنة أو التيار ، والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم المولد، مع أن الشحنات، بالمعنى الدقيق، ليست عناصر من الفضاء المماسي.

• تُعرف عناصر جبر لي لمجموعة لي أحيانًا باسم "مولدات المجموعة"، خاصةً من قِبل الفيزيائيين. ^{[ 1 ]} يمكن اعتبار جبر لي بمثابة المتجهات المتناهية الصغر التي تولد المجموعة، على الأقل محليًا، بواسطة الدالة الأسية ، لكن جبر لي لا يشكل مجموعة مولدة بالمعنى الدقيق. ^{[ 2 ]}
• في التحليل العشوائي ، يكون لانتشار إيتو أو عملية إيتو الأكثر عمومية مولد متناهي الصغر .
• مولد أي تناظر مستمر يُستدل عليه من نظرية نوثر ، ومولدات زمرة لي هي حالة خاصة. في هذه الحالة، يُطلق على المولد أحيانًا اسم الشحنة أو شحنة نوثر ، ومن الأمثلة على ذلك:
  • الزخم الزاوي كمولد للدوران ، ^{[ 3 ]}
  • الزخم الخطي كمولد للانتقالات ، ^{[ 3 ]}
  • الشحنة الكهربائية هي مولد مجموعة التناظر U(1) للكهرومغناطيسية ،
  • تُعد الشحنات اللونية للكواركات مولدات تناظر اللون SU ( 3 ) في الديناميكا اللونية الكمومية .
• وبشكل أدق، ينبغي أن ينطبق مصطلح "الشحنة" فقط على النظام الجذري لمجموعة لي.

• كائن حر
• دالة توليد
• نظرية الكذب
• التناظر (في الفيزياء)
• التناظر الفائق
• نظرية القياس
• المجال (الفيزياء)

• المجموعات المولدة، ك. كونراد