القاعدة الفرعية

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 68 صور
الموسوعة الحرة

في علم الطوبولوجيا في الرياضيات، تُعرف القاعدة الفرعية (أو القاعدة الفرعية ، أو القاعدة المسبقة ، أو القاعدة المسبقة ) لطوبولوجيا τ لفضاء طوبولوجي ( X ، τ) بأنها مجموعة فرعية.ب{\displaystyle B}لτ{\displaystyle \tau }ذلك يولدτ،{\displaystyle \tau ,}بمعنى أنτ{\displaystyle \tau }هي أصغر بنية تحتوي علىب{\displaystyle B}باعتبارها مجموعات مفتوحة. يستخدم بعض المؤلفين تعريفًا مختلفًا بعض الشيء، وهناك صيغ مكافئة أخرى مفيدة لهذا التعريف؛ وسيتم مناقشتها أدناه.

يُعد مفهوم القاعدة الفرعية أضعف من مفهوم القاعدة في علم الطوبولوجيا.

تعريف

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً طوبولوجيًا ذو طوبولوجياτ.{\displaystyle \tau .}قاعدة فرعية منτ{\displaystyle \tau }يُعرَّف عادةً بأنه مجموعة فرعيةب{\displaystyle B}لτ{\displaystyle \tau }استيفاء أحد الشروط الثلاثة المتكافئة التالية:

  1. τ{\displaystyle \tau }هي أصغر بنية تحتوي علىب{\displaystyle B}أي طوبولوجياτ′{\displaystyle \tau ^{\prime }}علىX{\displaystyle X}يحتوي علىب{\displaystyle B}يجب أن يحتوي أيضًا علىτ.{\displaystyle \tau .}
  2. τ{\displaystyle \tau }هو تقاطع جميع الطوبولوجيات علىX{\displaystyle X}يحتوي علىب.{\displaystyle B.}
  3. مجموعة المجموعات المفتوحة التي تتكون منX{\displaystyle X}وجميع التقاطعات المحدودة لعناصرب{\displaystyle B}يشكل أساسًا لـτ.{\displaystyle \tau .}[ 1 ] [ ملاحظة 1 ] هذا يعني أن كلمجموعة مفتوحةفيτ{\displaystyle \tau }يمكن كتابتها كاتحاد لتقاطعات محدودة لعناصر منب.{\displaystyle B.}بشكل صريح، بالنظر إلى نقطةx{\displaystyle x}في مجموعة مفتوحةيو⊊X،{\displaystyle U\subsetneq X,}يوجد عدد محدود من المجموعاتS1،...،Sن{\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}لب،{\displaystyle B,}بحيث يحتوي تقاطع هذه المجموعاتx{\displaystyle x}وهو موجود فييو.{\displaystyle U.}

إذا افترضنا بالإضافة إلى ذلك أنب{\displaystyle B}أغطيةX{\displaystyle X}أو إذا استخدمنا اصطلاح التقاطع الصفري ، فلا داعي لإدراجX{\displaystyle X}في التعريف الثالث.

لوب{\displaystyle B}هي قاعدة فرعية منτ{\displaystyle \tau }نقول ذلكب{\displaystyle B}يُنشئ الطوبولوجياτ.{\displaystyle \tau .}ينشأ هذا المصطلح من البناء الصريح لـτ{\displaystyle \tau }منب{\displaystyle B}باستخدام التعريف الثاني أو الثالث أعلاه.

تُسمى عناصر المجموعة الفرعية بالمجموعات الفرعية (المفتوحة) . ويُسمى الغطاء المُكوّن من المجموعات الفرعية بالغطاء الفرعي (المفتوح) .

لأي مجموعة فرعيةS{\displaystyle S}من مجموعة الطاقة℘(X)،{\displaystyle \wp (X),}توجد بنية فريدةS{\displaystyle S}كقاعدة فرعية؛ إنها نقطة تقاطع جميع التكوينات الطوبولوجية علىX{\displaystyle X}يحتوي علىS{\displaystyle S}. ولكن بشكل عام، فإن العكس ليس صحيحًا، أي أنه لا يوجد أساس فرعي فريد لطوبولوجيا معينة.

وبالتالي، يمكننا البدء بطوبولوجيا ثابتة وإيجاد قواعد فرعية لتلك الطوبولوجيا، ويمكننا أيضًا البدء بمجموعة فرعية عشوائية من مجموعة القوى℘(X){\displaystyle \wp (X)}وتُشكّل هذه المجموعة الفرعية البنية الطوبولوجية الناتجة عنها. يمكننا استخدام أيٍّ من التعريفين المكافئين أعلاه بحرية؛ بل في كثير من الحالات، يكون أحد الشروط الثلاثة أكثر فائدة من غيره.

تعريف بديل

في حالات أقل شيوعاً، يُعطى تعريف مختلف قليلاً للطبقة التحتية، والذي يشترط أن تكون الطبقة التحتيةب{\displaystyle {\mathcal {B}}}غطاءX.{\displaystyle X.}[ 2 ] في هذه الحالة،X{\displaystyle X}هو اتحاد جميع المجموعات الموجودة فيب.{\displaystyle {\mathcal {B}}.}وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك أي لبس فيما يتعلق باستخدام التقاطعات الصفرية في التعريف.

ومع ذلك، فإن هذا التعريف لا يكافئ دائمًا التعريفات الثلاثة المذكورة أعلاه. توجد فضاءات طوبولوجية(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}مع مجموعات فرعيةب⊆τ{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }من الطوبولوجيا بحيثτ{\displaystyle \tau }هي أصغر بنية تحتوي علىب{\displaystyle {\mathcal {B}}}، حتى الآنب{\displaystyle {\mathcal {B}}}لا يغطيX{\displaystyle X}على سبيل المثال، لنفترض فضاءً طوبولوجيًا(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}معτ={∅،{ص}،X}{\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{p\},X\}}وب={{ص}}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\}\}}بالنسبة للبعضص∈X.{\displaystyle p\in X.}بوضوح،ب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي قاعدة فرعية منτ{\displaystyle \tau }، حتى الآنب{\displaystyle {\mathcal {B}}}لا يغطيX{\displaystyle X}طالماX{\displaystyle X}لديه على الأقل2{\displaystyle 2}العناصر. عمليًا، هذا نادر الحدوث. على سبيل المثال ، القاعدة الفرعية للفضاء التي تحتوي على نقطتين على الأقل وتُحقق بديهية الفصل T1 يجب أن تكون غطاءً لذلك الفضاء.

أمثلة

الطوبولوجيا الناتجة عن أي مجموعة جزئيةS⊆{∅،X}{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}(بما في ذلك بواسطة المجموعة الفارغة)S:=∅{\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }) يساوي الطوبولوجيا التافهة{∅،X}.{\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}

لوτ{\displaystyle \tau }هي طوبولوجيا علىX{\displaystyle X}وب{\displaystyle {\mathcal {B}}}يشكل أساسًا لـτ{\displaystyle \tau }ثم الطوبولوجيا الناتجة عنب{\displaystyle {\mathcal {B}}}يكونτ.{\displaystyle \tau .}وبالتالي أي أساسب{\displaystyle {\mathcal {B}}}بالنسبة للطوبولوجياτ{\displaystyle \tau }كما أنها أساس فرعي لـτ.{\displaystyle \tau .} لوS{\displaystyle {\mathcal {S}}}هي أي مجموعة جزئية منτ{\displaystyle \tau }ثم الطوبولوجيا الناتجة عنS{\displaystyle {\mathcal {S}}}ستكون مجموعة فرعية منτ.{\displaystyle \tau .}

الطوبولوجيا المعتادة على الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }يحتوي على قاعدة فرعية تتكون من جميع الفترات المفتوحة شبه اللانهائية من الشكل(-∞،أ){\displaystyle (-\infty ,a)}أو(ب،∞)،{\displaystyle (b,\infty ),}أينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هي أعداد حقيقية. وتولد هذه الأعداد معًا الطوبولوجيا المعتادة، لأن التقاطعات(أ،ب)=(-∞،ب)∩(أ،∞){\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}لأ≤ب{\displaystyle a\leq b}يتم توليد البنية الطوبولوجية المعتادة. يتم تشكيل قاعدة فرعية ثانية عن طريق أخذ العائلة الفرعية حيثأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هي أعداد نسبية . وتولد القاعدة الفرعية الثانية الطوبولوجيا المعتادة أيضًا، نظرًا لأن الفترات المفتوحة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}معأ،{\displaystyle a,}ب{\displaystyle b}العقلانية، هي أساس الطوبولوجيا الإقليدية المعتادة.

القاعدة الفرعية التي تتكون من جميع الفترات المفتوحة شبه اللانهائية من الشكل(-∞،أ){\displaystyle (-\infty ,a)}وحيدًا، حيثأ{\displaystyle a}إذا كان عددًا حقيقيًا، فإنه لا يُولّد الطوبولوجيا المعتادة. ولا تُحقق الطوبولوجيا الناتجة بديهية الفصل T1 ، لأنه إذاأ<ب{\displaystyle a<b}كل مجموعة مفتوحة تحتويب{\displaystyle b}يحتوي أيضًا علىأ.{\displaystyle a.}

الطوبولوجيا الأولية علىX{\displaystyle X}محددة بواسطة مجموعة من الدوالوأنا:X→Yأنا،{\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}حيث كلYأنا{\displaystyle Y_{i}}لها بنية طوبولوجية، وهي البنية الطوبولوجية الأكثر خشونة علىX{\displaystyle X}بحيث يكون كلوأنا{\displaystyle f_{i}}هي دالة متصلة . ولأن الاتصال يمكن تعريفه بدلالة الصور العكسية للمجموعات المفتوحة، فهذا يعني أن الطوبولوجيا الأولية علىX{\displaystyle X}يتم الحصول عليه بأخذ كلوأنا-1(يو)،{\displaystyle f_{i}^{-1}(U),} أينيو{\displaystyle U}نطاقات على جميع المجموعات الفرعية المفتوحة منYأنا،{\displaystyle Y_{i},}كأساس فرعي.

هناك حالتان خاصتان مهمتان للطوبولوجيا الأولية وهما طوبولوجيا المنتج ، حيث تكون عائلة الدوال هي مجموعة الإسقاطات من المنتج إلى كل عامل، وطوبولوجيا الفضاء الجزئي ، حيث تتكون العائلة من دالة واحدة فقط، وهي خريطة التضمين .

الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة على فضاء الدوال المتصلة منX{\displaystyle X}لY{\displaystyle Y}تحتوي على مجموعة من الدوال كأساس فرعي V(ك،يو)={و:X→Y|و(ك)⊆يو}{\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}} أينك⊆X{\displaystyle K\subseteq X}صغير الحجم ويو{\displaystyle U}هي مجموعة فرعية مفتوحة منY.{\displaystyle Y.}

لنفترض أن(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}هو فضاء طوبولوجي هاوسدورف معX{\displaystyle X}يحتوي على عنصرين أو أكثر (على سبيل المثال،X=R{\displaystyle X=\mathbb {R} }(مع الطوبولوجيا الإقليدية ). ليكنY∈τ{\displaystyle Y\in \tau }ليكن أي مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}(على سبيل المثال،Y{\displaystyle Y}قد تكون فترة مفتوحة محدودة غير فارغة فيR{\displaystyle \mathbb {R} }) ودعν{\displaystyle \nu }لنرمز إلى طوبولوجيا الفضاء الجزئي علىY{\displaystyle Y}الذي - التيY{\displaystyle Y}يرث من(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}(لذاν⊆τ{\displaystyle \nu \subseteq \tau }ثم يتم توليد الطوبولوجيا بواسطةν{\displaystyle \nu }علىX{\displaystyle X}يساوي الاتحاد{X}∪ν{\displaystyle \{X\}\cup \nu }(انظر الحاشية للاطلاع على شرح)، [ ملاحظة 2 ] حيث{X}∪ν⊆τ{\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }(منذ(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كان هاوسدورف، فإن المساواة ستتحقق إذا وفقط إذاY=X{\displaystyle Y=X}لاحظ أنه إذاY{\displaystyle Y}هي مجموعة جزئية مناسبة منX،{\displaystyle X,}ثم{X}∪ν{\displaystyle \{X\}\cup \nu }هي أصغر بنية علىX{\displaystyle X}يحتوي علىν{\displaystyle \nu }حتى الآنν{\displaystyle \nu }لا يغطيX{\displaystyle X}(أي الاتحاد)⋃V∈νV=Y{\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}هي مجموعة جزئية مناسبة منX{\displaystyle X}).

النتائج باستخدام القواعد الفرعية

من الحقائق الجيدة المتعلقة بالقواعد الجزئية أنه لا يلزم التحقق من استمرارية الدالة إلا على قاعدة جزئية من مداها. أي، إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي خريطة بين الفضاءات الطوبولوجية و إذاب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي قاعدة فرعية لـY،{\displaystyle Y,}ثمو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}تكون متصلة إذا وفقط إذاو-1(ب){\displaystyle f^{-1}(B)}مفتوح فيX{\displaystyle X}لكلب∈ب.{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.} شبكة ( أو متتالية )x∙=(xأنا)أنا∈أنا{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}يتقارب إلى نقطةx{\displaystyle x}إذا وفقط إذا كان كل حي فرعي أساسي منx{\displaystyle x}يحتوي على الكلxأنا{\displaystyle x_{i}}لكبير بما فيه الكفايةأنا∈أنا.{\displaystyle i\in I.}

نظرية القاعدة الفرعية لألكسندر

تُعدّ نظرية ألكسندر للقواعد الفرعية نتيجةً مهمةً تتعلق بالقواعد الفرعية، وهي منسوبة إلى جيمس واديل ألكسندر الثاني . [ 3 ] أما النتيجة المقابلة للأغطية المفتوحة الأساسية (بدلاً من الأساسية الفرعية) فهي أسهل بكثير في الإثبات.

مبرهنة ألكسندر للقاعدة الفرعية : [ 3 ] [ 1 ] دع(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}ليكن فضاءً طوبولوجيًا، وS{\displaystyle {\mathcal {S}}}أن تكون قاعدة فرعية منτ.{\displaystyle \tau .}إذا كان كل غلاف منX{\displaystyle X}بعناصر منS{\displaystyle {\mathcal {S}}}إذا كان له غطاء فرعي محدود،X{\displaystyle X}صغير الحجم .

وينطبق عكس هذه النظرية أيضًا (لأن كل غطاء منX{\displaystyle X}بواسطة عناصر منS{\displaystyle {\mathcal {S}}}هو غلاف مفتوح لـX{\displaystyle X})

يترك(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}ليكن فضاءً طوبولوجيًا، وS{\displaystyle {\mathcal {S}}}أن تكون قاعدة فرعية منτ.{\displaystyle \tau .}لوX{\displaystyle X}إذا كان صغير الحجم، فإن كل غلاف منX{\displaystyle X}بعناصر منS{\displaystyle {\mathcal {S}}}له غلاف فرعي محدود.

على الرغم من أن هذا البرهان يستخدم ليمّة زورن ، إلا أنه لا يحتاج إلى قوة الاختيار الكاملة. بدلاً من ذلك، يعتمد على مبدأ المرشح الفائق الوسيط . [ 3 ]

باستخدام هذه النظرية مع القاعدة الفرعية لـR{\displaystyle \mathbb {R} }أعلاه، يمكن تقديم برهان بسيط للغاية على أن الفترات المغلقة المحدودة فيR{\displaystyle \mathbb {R} }هي متراصة. وبشكل أعم، فإن نظرية تيكونوف ، التي تنص على أن حاصل ضرب الفضاءات المتراصة غير الفارغة يكون متراصاً، لها برهان قصير إذا تم استخدام نظرية ألكسندر للقاعدة الفرعية.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ تعريف رودين أقل عمومية من تعريفنا، لأنه يتطلب فعلياً أنب{\displaystyle B}أغطيةX{\displaystyle X}(انظر القسم الفرعي "التعريف البديل" أدناه). نتجاهل هذا الشرط هنا، ونفترض أنب{\displaystyle B}هي أي مجموعة جزئية منP(X){\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
  2. ↑ منذν{\displaystyle \nu }هي طوبولوجيا علىY{\displaystyle Y}وY{\displaystyle Y}هي مجموعة فرعية مفتوحة من(X،τ)،{\displaystyle (X,\tau ),}من السهل التحقق من ذلك{X}∪ν{\displaystyle \{X\}\cup \nu }هي طوبولوجيا علىX{\displaystyle X}. بخاصة،ν{\displaystyle \nu }يُغلق في ظل الاتحادات والتقاطعات المحدودة لأنτ{\displaystyle \tau }هو كذلك. ولكن بما أنX∉ν{\displaystyle X\not \in \nu }،ν{\displaystyle \nu }ليست طوبولوجيا علىX{\displaystyle X}أن{X}∪ν{\displaystyle \{X\}\cup \nu }من الواضح أنها أصغر بنية علىX{\displaystyle X}يحتوي علىν{\displaystyle \nu }).

الاقتباسات

  1. 1 2 رودين 1991 ، ص. 392 الملحق أ2.
  2. ↑ مونكرز 2000 ، ص 82.
  3. 1 2 3 موجر، مايكل (2020). الطوبولوجيا للرياضي العامل .

مراجع