مجموعة موحدة

في الرياضيات ، المجموعة الوحدوية من الدرجة $n$ ، المشار إليه $\operatorname {U} (n)$ ، هي مجموعة $n\times n$ المصفوفات الوحدوية ، مع عملية ضرب المصفوفات في المجموعة . المجموعة الوحدوية هي مجموعة جزئية من المجموعة الخطية العامة $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ ولها كمجموعة فرعية المجموعة الوحدوية الخاصة ، التي تتكون من تلك المصفوفات الوحدوية ذات المحدد $1$ .

في الحالة البسيطة $n=1$ المجموعة $\operatorname {U} (1)$ يتوافق مع مجموعة الدائرة ، وهو متماثل مع مجموعة جميع الأعداد المركبة التي لها قيمة مطلقة $1$ ، تحت عملية الضرب. جميع المجموعات الوحدوية تحتوي على نسخ من هذه المجموعة.

المجموعة الموحدة $\operatorname {U} (n)$ هي مجموعة لي حقيقية ذات أبعاد $n^{2}$ جبر لي لـ $\operatorname {U} (n)$ يتكون من $n\times n$ المصفوفات الهرميتية المائلة ، مع قوس لي المعطى بواسطة المبدل .

تتكون المجموعة الوحدوية العامة ، والتي تسمى أيضًا مجموعة التشابهات الوحدوية ، من جميع المصفوفات. $A$ بحيث $A^{*}A$ هو مضاعف غير صفري لمصفوفة الوحدة ، وهو مجرد حاصل ضرب المجموعة الوحدوية مع مجموعة جميع المضاعفات الموجبة لمصفوفة الوحدة.

يمكن تعريف الزمر الوحدوية على حقول أخرى غير الأعداد المركبة. وتُعدّ الزمرة المتعامدة الفائقة اسمًا قديمًا للزمرة الوحدوية، وخاصةً على الحقول المنتهية .

ملكيات

بما أن محدد المصفوفة الوحدوية هو عدد مركب ذو معيار $1$ ، المحدد يعطي تشاكلًا جماعيًا $\det \colon \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1).$

نواة هذا التشاكل هي مجموعة المصفوفات الوحدوية ذات المحدد $1$ تُسمى هذه المجموعة الفرعية بالمجموعة الوحدوية الخاصة ، ويُرمز لها بـ $\operatorname {SU} (n)$ ثم لدينا متتالية دقيقة قصيرة من زمر لي: $1\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {U} (n)\to \operatorname {U} (1)\to 1.$

الخريطة أعلاه $\operatorname {U} (n)$ ل $\operatorname {U} (1)$ يحتوي على قسم: يمكننا عرضه $\operatorname {U} (1)$ باعتبارها المجموعة الفرعية من $\operatorname {U} (n)$ التي تكون قطرية مع $e^{i\theta }$ في الزاوية العلوية اليسرى و $1$ على باقي القطر. لذلك $\operatorname {U} (n)$ هو نتاج شبه مباشر لـ $\operatorname {U} (1)$ مع $\operatorname {SU} (n)$ .

المجموعة الموحدة $\operatorname {U} (n)$ ليس أبيليًا لـ $n>1$ مركز $\operatorname {U} (n)$ هي مجموعة المصفوفات العددية $\lambda I$ مع $\lambda \in \operatorname {U} (1)$ ويترتب على ذلك استنتاج من مبرهنة شور . ويكون المركز متماثلاً مع $\operatorname {U} (1)$ منذ مركز $\operatorname {U} (n)$ هو $1$ مجموعة فرعية طبيعية أبيلية ذات أبعاد n من $\operatorname {U} (n)$ ، المجموعة الوحدوية ليست شبه بسيطة ، ولكنها اختزالية .

الطوبولوجيا

المجموعة الموحدة $\operatorname {U} (n)$ تتمتع بالطوبولوجيا النسبية كمجموعة فرعية من $M(n,\mathbb {C} )$ , the set of all $n\times n$ complex matrices, which is itself homeomorphic to a $2n^{2}$ -dimensional Euclidean space.

As a topological space, $\operatorname {U} (n)$ is both compact and connected. To show that $\operatorname {U} (n)$ is connected, recall that any unitary matrix $A$ can be diagonalized by another unitary matrix $S$ . Any diagonal unitary matrix must have complex numbers of absolute value $1$ on the main diagonal. We can therefore write $A=S\,\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.$

A path in $\operatorname {U} (n)$ from the identity to $A$ is then given by $t\mapsto S\,\operatorname {diag} \left(e^{it\theta _{1}},\dots ,e^{it\theta _{n}}\right)\,S^{-1}.$

The unitary group is not simply connected; the fundamental group of $\operatorname {U} (n)$ is infinite cyclic for all $n$ :^[1] $\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \mathbb {Z} .$

To see this, note that the above splitting of $\operatorname {U} (n)$ as a semidirect product of $\operatorname {SU} (n)$ and $\operatorname {U} (1)$ induces a topological product structure on $\operatorname {U} (n)$ , so that $\pi _{1}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{1}(\operatorname {SU} (n))\times \pi _{1}(\operatorname {U} (1)).$

Now the first unitary group $\operatorname {U} (1)$ is topologically a circle, which is well known to have a fundamental group isomorphic to $\mathbb {Z}$ , whereas $\operatorname {SU} (n)$ is simply connected.^[2]

The determinant map $\det \colon \operatorname {U} (n)\rightarrow \operatorname {U} (1)$ induces an isomorphism of fundamental groups, with the splitting $\operatorname {U} (1)\rightarrow \operatorname {U} (n)$ inducing the inverse.

The Weyl group of $\operatorname {U} (n)$ is the symmetric group $S_{n}$ , acting on the diagonal torus by permuting the entries: $\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right)\mapsto \operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{\sigma (1)}},\dots ,e^{i\theta _{\sigma (n)}}\right)$

Related groups

2-out-of-3 property

The unitary group is the 3-fold intersection of the orthogonal, complex, and symplectic groups: $\operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} ).$

Thus a unitary structure can be seen as an orthogonal structure, a complex structure, and a symplectic structure, which are required to be compatible (meaning that one uses the same $J$ in the complex structure and the symplectic form, and that this $J$ is orthogonal; writing all the groups as matrix groups fixes a $J$ (which is orthogonal) and ensures compatibility).

In fact, it is the intersection of any two of these three; thus a compatible orthogonal and complex structure induce a symplectic structure, and so forth.^[3]^[4]

At the level of equations, this can be seen as follows:

Structure	Equation
Symplectic	$A^{\mathsf {T}}JA=J$
Complex	$A^{-1}JA=J$
Orthogonal	$A^{\mathsf {T}}=A^{-1}$

Any two of these equations implies the third.

At the level of forms, this can be seen by decomposing a Hermitian form into its real and imaginary parts: the real part is symmetric (orthogonal), and the imaginary part is skew-symmetric (symplectic)—and these are related by the complex structure (which is the compatibility). On an almost Kähler manifold, one can write this decomposition as $h=g+i\omega$ , where $h$ is the Hermitian form, $g$ is the Riemannian metric, $i$ هو التركيب شبه المعقد ، و $\omega$ هي البنية شبه التبسيطية .

من وجهة نظر مجموعات لي ، يمكن تفسير ذلك جزئياً على النحو التالي: $\operatorname {O} (2n)$ هي المجموعة الفرعية المدمجة القصوى من $\operatorname {GL} (2n,\mathbb {R} )$ ، و $\operatorname {U} (n)$ هي المجموعة الفرعية المدمجة القصوى لكليهما $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ و $\operatorname {Sp} (2n)$ وبالتالي التقاطع $\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ أو $\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n)$ هي المجموعة الفرعية المدمجة القصوى لكلتا المجموعتين، لذا $\operatorname {U} (n)$ من هذا المنظور، فإن ما هو غير متوقع هو التقاطع $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n)=\operatorname {U} (n)$ .

المجموعات الوحدوية الخاصة والمجموعات الوحدوية الإسقاطية

تمامًا مثل المجموعة المتعامدة $\operatorname {O} (n)$ يحتوي على المجموعة المتعامدة الخاصة $\operatorname {SO} (n)$ كمجموعة فرعية ومجموعة إسقاطية متعامدة $\operatorname {PO} (n)$ كحاصل قسمة، ومجموعة الإسقاط المتعامدة الخاصة $\operatorname {PSO} (n)$ كحاصل قسمة فرعي ، المجموعة الوحدوية $\operatorname {U} (n)$ وقد ربطت به المجموعة الوحدوية الخاصة $\operatorname {SU} (n)$ ، المجموعة الوحدوية الإسقاطية $\operatorname {PU} (n)$ والمجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية $\operatorname {PSU} (n)$ ترتبط هذه المجموعات ببعضها البعض من خلال المخطط التبادلي على اليمين؛ والجدير بالذكر أن كلا المجموعتين الإسقاطيتين متساويتان: $\operatorname {PSU} (n)=\operatorname {PU} (n)$ .

ما سبق ينطبق على المجموعة الوحدوية الكلاسيكية (على الأعداد المركبة) - أما بالنسبة للمجموعات الوحدوية على الحقول المنتهية ، فيمكن الحصول بالمثل على مجموعات وحدوية خاصة ومجموعات وحدوية إسقاطية، ولكن بشكل عام $\operatorname {PSU} (n,q^{2})\neq \operatorname {PU} (n,q^{2})$ .

بنية G: شبه هيرميتية

بلغة هياكل G ، متعدد الشعب ذو $\operatorname {U} (n)$ -البنية عبارة عن متعدد شعب هيرميتي تقريبًا .

التعميمات

من وجهة نظر نظرية لي ، فإن المجموعة الوحدوية الكلاسيكية هي شكل حقيقي لمجموعة شتاينبرغ ${}^{2}\!A_{n}$ وهي مجموعة جبرية تنشأ من دمج التشاكل التخطيطي للمجموعة الخطية العامة (عكس مخطط دينكين) . $A_{n}$ ، وهو ما يتوافق مع معكوس النقل) وتماثل الحقل للامتداد $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ (أي الاقتران المركب ). كلا هذين التشاكلين الذاتيين هما تشاكلان ذاتيان للمجموعة الجبرية، ولهما رتبة $2$ وتتبادل، والزمرة الوحدوية هي النقاط الثابتة للتشاكل الذاتي الناتج، كزمرة جبرية. الزمرة الوحدوية الكلاسيكية هي شكل حقيقي لهذه الزمرة، يتوافق مع الشكل الهرميتي القياسي. $\Psi$ ، وهو موجب محدد.

يمكن تعميم ذلك بعدة طرق:

يؤدي التعميم على الأشكال الهرميتية الأخرى إلى مجموعات وحدوية غير محددة $\operatorname {U} (p,q)$ ؛
يمكن استبدال امتداد المجال بأي درجة $2$ الجبر القابل للفصل، وأبرزها درجة $2$ امتداد حقل منتهٍ؛
يؤدي التعميم على مخططات أخرى إلى مجموعات أخرى من نوع لي ، وهي مجموعات شتاينبرغ الأخرى . ${}^{2}\!D_{n}$ ، ${}^{2}\!E_{6}$ ، ${}^{3}\!D_{4}$ ، (بالإضافة إلى ${}^{2}\!A_{n}$ ) ومجموعات سوزوكي-ري
${}^{2}\!B_{2}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!F_{4}\left(2^{2n+1}\right),{}^{2}\!G_{2}\left(3^{2n+1}\right)$ ؛
باعتبار المجموعة الوحدوية المعممة مجموعة جبرية، يمكن للمرء أن يأخذ نقاطها على مختلف الجبر.

الأشكال غير المحددة

على غرار الزمر المتعامدة غير المحددة ، يمكن تعريف زمرة وحدوية غير محددة ، وذلك بالنظر إلى التحويلات التي تحافظ على شكل هيرميتي معين، ليس بالضرورة موجبًا تمامًا (ولكن يُفترض عمومًا أنه غير منحل). هنا، نتعامل مع فضاء متجهي على الأعداد المركبة.

بالنظر إلى الشكل الهرميتي $\Psi$ في فضاء متجهي معقد $V$ المجموعة الموحدة $\operatorname {U} (\Psi )$ هي مجموعة التحويلات التي تحافظ على الشكل: التحويل $M$ بحيث $\Psi (Mv,Mw)=\Psi (v,w)$ للجميع $v,w\in V$ من حيث المصفوفات، يتم تمثيل الشكل بواسطة مصفوفة يُرمز لها بـ $\Phi$ وهذا يعني أن $M^{*}\Phi M=\Phi$ .

كما هو الحال بالنسبة للأشكال المتناظرة على الأعداد الحقيقية، فإن الأشكال الهرميتية تُحدد بواسطة الإشارة ، وجميعها متطابقة وحدويًا مع شكل قطري ذي $p$ مدخلات من $1$ على القطر و $q$ مدخلات من $-1$ إن افتراض عدم الانحطاط مكافئ لـ $p+q=n$ . في الأساس القياسي، يتم تمثيل ذلك بصيغة تربيعية كما يلي: $\lVert z\rVert _{\Psi }^{2}=\lVert z_{1}\rVert ^{2}+\dots +\lVert z_{p}\rVert ^{2}-\lVert z_{p+1}\rVert ^{2}-\dots -\lVert z_{n}\rVert ^{2},$

وكشكل متناظر كما يلي: $\Psi (w,z)={\bar {w}}_{1}z_{1}+\cdots +{\bar {w}}_{p}z_{p}-{\bar {w}}_{p+1}z_{p+1}-\cdots -{\bar {w}}_{n}z_{n}.$

يُرمز للمجموعة الناتجة بـ $\operatorname {U} (p,q)$ .

الحقول المنتهية

على الحقل المنتهي مع $q=p^{r}$ عناصر، $\mathbb {F} _{q}$ يوجد حقل امتداد تربيعي فريد، $\mathbb {F} _{q^{2}}$ مع الطلب $2$ التماثل الذاتي $\alpha \colon x\mapsto x^{q}$ (ال $r$ القوة n للتشاكل الذاتي لفروبينيوس ). وهذا يسمح بتعريف شكل هيرميتي على $\mathbb {F} _{q^{2}}$ فضاء المتجهات $V$ ، كـ $\mathbb {F} _{q}$ خريطة ثنائية الخطية $\Psi \colon V\times V\to K$ بحيث $\Psi (w,v)=\alpha \left(\Psi (v,w)\right)$ و $\Psi (w,cv)=c\Psi (w,v)$ ل $c\in \mathbb {F} _{q^{2}}$ علاوة على ذلك ، فإن جميع الأشكال الهرميتية غير المنحلة على فضاء متجهي فوق حقل منتهٍ متطابقة وحدويًا مع الشكل القياسي، المُمثَّل بمصفوفة الوحدة؛ أي أن أي شكل هيرميتي مكافئ وحدويًا لـ $\Psi (w,v)=w^{\alpha }\cdot v=\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{q}v_{i}$ أين $w_{i},v_{i}$ تمثل إحداثيات $w,v\in V$ في بعض الحالات الخاصة $\mathbb {F} _{q^{2}}$ -أساس $n$ فضاء ذو أبعاد $V$ [ ⁵^]

وبالتالي يمكن تعريف مجموعة وحدوية (فريدة) ذات بُعد $n$ للتمديد $\mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}$ ، ويشار إليه إما بـ $\operatorname {U} (n,q)$ أو $\operatorname {U} (n,q^{2})$ بحسب المؤلف. المجموعة الفرعية من المجموعة الوحدوية التي تتكون من مصفوفات ذات محدد $1$ تُسمى المجموعة الوحدوية الخاصة ويُرمز لها بـ $\operatorname {SU} (n,q)$ أو $\operatorname {SU} (n,q^{2})$ تسهيلاً للأمر، ستستخدم هذه المقالة $\operatorname {U} (n,q^{2})$ مؤتمر. مركز $\operatorname {U} (n,q^{2})$ تم الطلب $q+1$ وتتكون من المصفوفات العددية الوحدوية، أي تلك المصفوفات $cI_{V}$ مع $c^{q+1}=1$ مركز المجموعة الوحدوية الخاصة لديه نظام $\gcd(n,q+1)$ ويتألف من تلك الكميات القياسية الوحدوية التي لها أيضًا رتبة تقسيم $n$ يُطلق على خارج قسمة المجموعة الوحدوية على مركزها اسم المجموعة الوحدوية الإسقاطية . $\operatorname {PU} (n,q^{2})$ ، وقسمة المجموعة الوحدوية الخاصة على مركزها هي المجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية $\operatorname {PSU} (n,q^{2})$ في معظم الحالات ( $n>1$ و $(n,q^{2})\not \in \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}$ ) $\operatorname {SU} (n,q^{2})$ إنها مجموعة مثالية و $\operatorname {PSU} (n,q^{2})$ هي مجموعة بسيطة منتهية . ^{[ 6 ]}

الجبر القابل للفصل من الدرجة الثانية

وبشكل أعم، بالنظر إلى مجال معين $k$ ودرجة علمية- $2$ قابل للفصل $k$ -الجبر $K$ (والتي قد تكون امتدادًا للحقل ولكن ليس بالضرورة)، يمكن للمرء أن يحدد المجموعات الوحدوية فيما يتعلق بهذا الامتداد.

أولاً، هناك شيء فريد $k$ -التماثل الذاتي لـ $K$ $a\mapsto {\bar {a}}$ وهو انقلاب ويصلح بالضبط $k$ ( $a={\bar {a}}$ إذا وفقط إذا $a\in k$ ^{[ 7 ]} وهذا يعمم الاقتران المركب واقتران الدرجة $2$ امتدادات الحقول المنتهية، وتسمح بتعريف الأشكال الهرميتية والمجموعات الوحدوية كما هو مذكور أعلاه.

المجموعات الجبرية

المعادلات التي تحدد مجموعة وحدوية هي معادلات متعددة الحدود على $k$ (ولكن ليس أكثر) $K$ ): للصيغة القياسية $\Phi =I$ المعادلات معطاة في شكل مصفوفات كما يلي: $A^{*}A=I$ ، أين $A^{*}={\bar {A}}^{\mathsf {T}}$ هي المرافق المنقول . إذا أعطيت شكلاً مختلفاً، فإنها $A^{*}\Phi A=\Phi$ وبالتالي، فإن المجموعة الوحدوية هي مجموعة جبرية ، نقاطها على $k$ -الجبر $R$ يتم الحصول عليها من خلال: $\operatorname {U} (n,K/k,\Phi )(R):=\left\{A\in \operatorname {GL} (n,K\otimes _{k}R):A^{*}\Phi A=\Phi \right\}.$

لتوسيع الحقل $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ والشكل الهرميتي القياسي (الموجب المحدد)، ينتج عنهما مجموعة جبرية بنقاط حقيقية ومركبة معطاة على النحو التالي: ${\begin{aligned}\operatorname {U} (n,\mathbb {C} /\mathbb {R} )(\mathbb {R} )&=\operatorname {U} (n)\\\operatorname {U} (n,\mathbb {C} /\mathbb {R} )(\mathbb {C} )&=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).\end{aligned}}$

في الواقع، المجموعة الوحدوية هي مجموعة جبرية خطية .

المجموعة الوحدوية للوحدة التربيعية

تُعتبر المجموعة الوحدوية للوحدة التربيعية تعميمًا للمجموعة الجبرية الخطية $U$ تم تعريفها للتو، والتي تتضمن كحالات خاصة العديد من المجموعات الجبرية الكلاسيكية المختلفة . يعود التعريف إلى أطروحة أنتوني باك. ^{[ 8 ]}

لتعريفها، يجب أولاً تعريف الوحدات التربيعية:

يترك $R$ كن حلقة ذات خاصية مضادة للتماثل الذاتي $J$ ، $\varepsilon \in R^{\times }$ بحيث $r^{J^{2}}=\varepsilon r\varepsilon ^{-1}$ للجميع $r$ في $R$ و $\varepsilon ^{J}=\varepsilon ^{-1}$ . يُعرِّف ${\begin{aligned}\Lambda _{\min }&:=\left\{r\in R:r-r^{J}\varepsilon \right\},\\\Lambda _{\max }&:=\left\{r\in R:r^{J}\varepsilon =-r\right\}.\end{aligned}}$

يترك $\Lambda \subseteq R$ أن تكون مجموعة فرعية جمعية من $R$ ، ثم $\Lambda$ يُطلق عليه اسم مُعامل النموذج إذا $\Lambda _{\min }\subseteq \Lambda \subseteq \Lambda _{\max }$ و $r^{J}\Lambda r\subseteq \Lambda$ زوج $(R,\Lambda )$ بحيث $R$ هو خاتم و $\Lambda$ يُطلق على مُعامل النموذج اسم حلقة النموذج .

يترك $M$ كن $R$ -وحدة نمطية و $f$ أ $J$ - شكل نصف دائري $M$ (أي، $f(xr,ys)=r^{J}f(x,y)s$ لأي $x,y\in M$ و $r,s\in R$ ). يُعرِّف $h(x,y):=f(x,y)+f(y,x)^{J}\varepsilon \in R$ و $q(x):=f(x,x)\in R/\Lambda$ ، ثم $f$ ويُقال إنها تُحدد $\Lambda$ -الصيغة التربيعية $(h,q)$ على $M$ . وحدة تربيعية على $(R,\Lambda )$ هو ثلاثي $(M,h,q)$ بحيث $M$ هو $R$ -وحدة نمطية و $(h,q)$ هو $\Lambda$ -الصيغة التربيعية.

إلى أي وحدة تربيعية $(M,h,q)$ محدد بواسطة $J$ - شكل نصف خطي $f$ على $M$ فوق حلقة شكلية $(R,\Lambda )$ يمكن للمرء أن يربط المجموعة الموحدة $U(M):=\{\sigma \in \operatorname {GL} (M):\forall x,y\in M,h(\sigma x,\sigma y)=h(x,y){\text{ and }}q(\sigma x)=q(x)\}.$

الحالة الخاصة حيث $\Lambda =\Lambda _{\max }$ ، مع $J$ أي انقلاب غير تافه (أي، $J\neq \operatorname {id} _{R}$ ، $J^{2}=\operatorname {id} _{R}$ و $\varepsilon =-1$ يعيد المجموعة الوحدوية "الكلاسيكية" (كمجموعة جبرية).

الثوابت متعددة الحدود

المجموعات الوحدوية هي التشاكلات الذاتية لكثيرتي حدود في متغيرات حقيقية غير تبادلية: ${\begin{aligned}C_{1}&=\left(u^{2}+v^{2}\right)+\left(w^{2}+x^{2}\right)+\left(y^{2}+z^{2}\right)+\ldots \\C_{2}&=\left(uv-vu\right)+\left(wx-xw\right)+\left(yz-zy\right)+\ldots \end{aligned}}$

من السهل ملاحظة أن هذه الأجزاء هي الأجزاء الحقيقية والخيالية للشكل المركب $Z{\overline {Z}}$ الثابتان، كلٌ على حدة، هما ثابتان لـ $\operatorname {O} (2n)$ و $\operatorname {Sp} (2n)$ . مجتمعة تشكل الثوابت الخاصة بـ $\operatorname {U} (n)$ وهي مجموعة فرعية من كلتا المجموعتين. يجب أن تكون المتغيرات غير تبادلية في هذه الثوابت، وإلا فإن كثيرة الحدود الثانية تساوي صفرًا.

مساحة التصنيف

مساحة التصنيف لـ $\operatorname {U} (n)$ يتم وصفها في المقالة التي تصنف الفضاء لـ $U$ ( n ) .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ هول 2015 الاقتراح 13.11
↑ هول 2015 الاقتراح 13.11
↑ أرنولد، السادس (1989). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 225 .
↑ بايز، جون. "التماثلية، الرباعية، الفرميونية" . تم الاسترجاع في 1 فبراير 2012 .
↑ غروف (2002) ، النظرية 10.3.
↑ غروف (2002) ، النظريتان 11.22 و 11.26.
↑ ميلن، المجموعات الجبرية والمجموعات الحسابية ، ص 103
↑ باك، أنتوني (1969). "حول الوحدات ذات الأشكال التربيعية". في موس، روبرت إم إف؛ توماس، تشارلز بي (محرران). نظرية K الجبرية وتطبيقاتها الهندسية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 108. سبرينغر. الصفحات 55-66 . doi : 10.1007/BFb0059990 .

مراجع

غروف، لاري سي. (2002)، المجموعات الكلاسيكية والجبر الهندسي ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 39، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-2019-3MR 1859189
هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 (الطبعة الثانية )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666

[1] هول 2015 الاقتراح 13.11

[2] هول 2015 الاقتراح 13.11

[3] أرنولد، السادس (1989). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 225 .

[4] بايز، جون. "التماثلية، الرباعية، الفرميونية" . تم الاسترجاع في 1 فبراير 2012 .

[FOOTNOTEGrove2002Theorem_10.3-5] غروف (2002) ، النظرية 10.3.

[FOOTNOTEGrove2002Theorems_11.22_and_11.26-6] غروف (2002) ، النظريتان 11.22 و 11.26.

[7] ميلن، المجموعات الجبرية والمجموعات الحسابية ، ص 103

[8] باك، أنتوني (1969). "حول الوحدات ذات الأشكال التربيعية". في موس، روبرت إم إف؛ توماس، تشارلز بي (محرران). نظرية K الجبرية وتطبيقاتها الهندسية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 108. سبرينغر. الصفحات 55-66 . doi : 10.1007/BFb0059990 .

[1]

[2]

[3]

[4]

5

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗