أكبر مجموعة فرعية مضغوطة

بالنسبة لزمرة لي شبه البسيطة الحقيقية، يمكن إيجاد برهان كارتان على وجود وتفرد زمرة جزئية مضغوطة قصوى في بوريل (1950) وهيلغاسون (1978) . يناقش كارتييه (1955) وهوتشيلد (1965) التعميم ليشمل زمر لي المتصلة والزمر المتصلة محليًا المضغوطة.

بالنسبة للمجموعات شبه البسيطة، يُعدّ الوجود نتيجةً لوجود شكل حقيقي مضغوط لمجموعة لي شبه البسيطة غير المضغوطة، وتفكيك كارتان المقابل . يعتمد برهان التفرد على حقيقة أن الفضاء الريماني المتناظر G / K المقابل له انحناء سالب ، وعلى نظرية كارتان للنقطة الثابتة. بيّن موستو (1955) أن مشتقة الدالة الأسية عند أي نقطة من G / K تحقق |d exp X | ≥ |X|. هذا يعني أن G / K هو فضاء هادامارد ، أي فضاء متري كامل يحقق شكلاً مُخففاً من قاعدة متوازي الأضلاع في الفضاء الإقليدي. يمكن استنتاج التفرد من نظرية بروهات-تيتس للنقطة الثابتة . في الواقع، أي مجموعة مغلقة محدودة في فضاء هادامارد محتواة في أصغر كرة مغلقة وحيدة، يُسمى مركزها مركز الدائرة المحيطة بها . على وجه الخصوص، يجب على المجموعة المضغوطة التي تعمل بالتناظرات أن تُثبّت مركز الدائرة المحيطة بكل مدار من مداراتها.

ربط موستو (1955) أيضًا المسألة العامة للمجموعات شبه البسيطة بحالة GL( n , R ). الفضاء المتناظر المقابل هو فضاء المصفوفات المتناظرة الموجبة. وقد ورد برهان مباشر على التفرد بالاعتماد على الخصائص الأولية لهذا الفضاء في هيلجرت ونيب (2012) .

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لتكن جبر لي شبه بسيط حقيقي مع انعكاس كارتان σ. بالتالي، فإن المجموعة الفرعية ذات النقاط الثابتة لـ σ هي المجموعة الفرعية المدمجة القصوى K ، ويوجد تفكيك للفضاء الذاتي

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {ك}}}$، جبر لي لـ K ، هو الفضاء الذاتي +1. يعطي تحليل كارتان

${\displaystyle \displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K.}}$

إذا كان B هو شكل القتل على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت B ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y)، فإن

${\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))}}$

هو منتج داخلي حقيقي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. في ظل التمثيل المرافق، فإن K هي المجموعة الفرعية من G التي تحافظ على هذا الضرب الداخلي.

إذا كانت H زمرة جزئية متراصة أخرى من G ، فإن حساب متوسط ​​الجداء الداخلي على H بالنسبة لمقياس هار يُعطي جداءً داخليًا ثابتًا تحت تأثير H. المؤثرات Ad p حيث p ∈ P هي مؤثرات متناظرة موجبة. يمكن كتابة هذا الجداء الداخلي الجديد على النحو التالي:

${\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma },}$

حيث S هو مؤثر متناظر موجب على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بحيث يكون Ad( h ) ^t S Ad h = S لـ h في H (مع حساب المنقولات بالنسبة للجداء الداخلي). علاوة على ذلك، بالنسبة لـ x في G ،

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t}.}}$

لذا بالنسبة لـ h في H ،

${\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S.}}$

لكل X في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يُعرِّف

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S.}}$

إذا كانت e _{_i} أساسًا متعامدًا للمتجهات الذاتية لـ S حيث Se _{_i} = λ_{_i} e_{_i} ، فإن

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geq (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X},}}$

بحيث تكون f موجبة تمامًا وتؤول إلى ∞ عندما يؤول | X | إلى ∞. في الواقع، هذا المعيار مكافئ لمعيار المؤثر على المؤثرات المتناظرة adX ، وكل قيمة ذاتية غير صفرية تظهر مع معكوسها، لأن adX مؤثر مترافق معكوس على الشكل الحقيقي المضغوط.${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}}$.

لنفترض أن للدالة f قيمة صغرى عالمية عند Y. هذه القيمة الصغرى فريدة، لأنه إذا كانت Z قيمة أخرى...

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2},}}$

حيث X في${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يتم تعريفها بواسطة تحليل كارتان

${\displaystyle \displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}.}}$

إذا _كانت fᵢ أساسًا متعامدًا للمتجهات الذاتية لـ ad X ذات القيم الذاتية الحقيقية المناظرة μᵢ _، فإن

${\displaystyle \displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Ad(e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2}.}}$

بما أن الطرف الأيمن عبارة عن توليفة موجبة من الدوال الأسية، فإن الدالة الحقيقية g محدبة تمامًا إذا كان X ≠ 0، وبالتالي لها قيمة صغرى وحيدة. من جهة أخرى، لها قيم صغرى محلية عند t = 0 و t = 1، ومن ثم فإن X = 0 و p = exp Y هي القيمة الصغرى العالمية الوحيدة. بحسب التعريف، f ( x ) = f (σ( h ) xh ^{− 1} ) لكل h في H ، وبالتالي p = σ( h ) ph ^{− 1} لكل h في H. ومن ثم σ( h ) = php ^{− 1.} ونتيجة لذلك، إذا كانت g = exp Y / 2، فإن gHg ^{− 1} ثابتة بواسطة σ، وبالتالي تقع في K.

تلعب الزمر الجزئية المدمجة القصوى دورًا أساسيًا في نظرية التمثيل عندما لا تكون G مدمجة. في هذه الحالة ، تكون الزمرة الجزئية المدمجة القصوى K زمرة لي مدمجة (لأن الزمرة الجزئية المغلقة لزمرة لي هي زمرة لي)، مما يجعل النظرية أسهل.

إن العمليات التي تربط نظريات التمثيل لـ G و K هي تقييد التمثيلات من G إلى K ، واستنباط التمثيلات من K إلى G ، وهذه العمليات مفهومة جيدًا؛ وتشمل نظريتها نظرية الدوال الكروية .

تعتمد الطوبولوجيا الجبرية لزمر لي إلى حد كبير على زمرة جزئية مضغوطة قصوى K. وبشكل أدق، فإن زمرة لي المتصلة هي حاصل ضرب طوبولوجي (وإن لم يكن حاصل ضرب نظري للزمر) لزمرة مضغوطة قصوى K وفضاء إقليدي – G = K × R ^d – وبالتالي فإن K على وجه الخصوص هي انكماش تشويهي لـ G، وهي مكافئة تماثليًا ، ومن ثم فإن لهما نفس زمر التماثل . في الواقع، فإن التضمين${\displaystyle K\hookrightarrow G}$وانكماش التشوه${\displaystyle G\twoheadrightarrow K}$هي مكافئات التماثل .

بالنسبة للمجموعة الخطية العامة، يكون هذا التفكيك هو تفكيك QR ، ويكون انكماش التشوه هو عملية غرام-شميدت . أما بالنسبة لمجموعة لي شبه البسيطة العامة، فيكون التفكيك هو تفكيك إيواساوا للمجموعة G على النحو التالي: G = KAN، حيث تظهر K في حاصل ضرب مع مجموعة فرعية قابلة للانكماش AN .