تحلل إيواساوا

في الرياضيات ، يُعمم تحليل إيواساوا (المعروف أيضًا باسم KAN نسبةً إلى صيغته) لمجموعة لي شبه البسيطة الطريقة التي يمكن بها كتابة مصفوفة حقيقية مربعة كحاصل ضرب مصفوفة متعامدة ومصفوفة مثلثية علوية ( تحليل QR ، وهو نتيجة لتعامد غرام-شميدت ). سُمي هذا التحليل نسبةً إلى كينكيتشي إيواساوا ، عالم الرياضيات الياباني الذي طور هذه الطريقة. ^{[ 1 ]}

• G هي زمرة لي حقيقية شبه بسيطة متصلة .
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$هي جبر لي لـ G
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ هو تعقيد​${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$.
• θ هو انعكاس كارتان لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}}$وهو التحلل المقابل لكارتان
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$هي جبر فرعي أبلي أقصى من${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$
• Σ هي مجموعة الجذور المقيدة لـ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$، بما يتوافق مع القيم الذاتية لـ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$العمل على${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$.
• Σ ⁺ هو اختيار للجذور الموجبة لـ Σ
• ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$هي جبر لي عديم القوة يُعطى كمجموع فضاءات الجذور لـ Σ ⁺
• K و A و N هي مجموعات لي الجزئية من G المولدة بواسطة${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}}$و${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$.

ثم تحلل إيواساوا لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$يكون

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus {\mathfrak {n}}_{0}}$

وتفكيك إيواساوا لـ G هو

${\displaystyle G=KAN}$

بمعنى أن هناك تماثلًا تحليليًا (ولكن ليس تماثلًا زمرًا) من المتشعب${\displaystyle K\times A\times N}$إلى مجموعة الكذب${\displaystyle G}$إرسال${\displaystyle (k,a,n)\mapsto kan}$.

بُعد A ( أو ما يعادله من${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$) يساوي الرتبة الحقيقية لـ G.

تنطبق عمليات التفكيك Iwasawa أيضًا على بعض المجموعات شبه البسيطة المنفصلة G ، حيث تصبح K مجموعة فرعية مضغوطة قصوى (منفصلة) بشرط أن يكون مركز G محدودًا.

تفكيك مساحة الجذر المقيدة هو

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {m}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus _{\lambda \in \Sigma }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

أين ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$هو مركزي${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$في${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0}}$و${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}}$هو فضاء الجذر. الرقم ${\displaystyle m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$يُطلق عليه اسم تعدد${\displaystyle \lambda }$.

إذا كان G = SL _n ( R )، فيمكننا اعتبار K هي المصفوفات المتعامدة، و A هي المصفوفات القطرية الموجبة ذات المحدد 1، و N هي المجموعة أحادية القوة المكونة من مصفوفات مثلثية علوية تحتوي على 1 على القطر.

في حالة n = 2، يكون تحليل إيواساوا لـ G = SL (2, R ) بدلالة

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

بالنسبة للمجموعة التبسيطية G = Sp (2 n , R )، يكون تحليل إيواساوا المحتمل بدلالة

${\displaystyle \mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ D{\text{ positive, diagonal}}\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ N{\text{ upper triangular with diagonal elements = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.}$

يمكن اختزال الحصول على المصفوفات الظاهرة في التحليل أعلاه إلى حساب الجذور التربيعية للمصفوفات، ومعكوسات المصفوفات، وإجراء تحليل QR. ^{[ 2 ]}

يوجد نظير لتحليل إيواساوا المذكور أعلاه لحقل غير أرخميدسي${\displaystyle F}$في هذه الحالة، المجموعة${\displaystyle GL_{n}(F)}$يمكن كتابتها كحاصل ضرب المجموعة الفرعية للمصفوفات المثلثية العلوية والمجموعة الفرعية (الأكثر تماسكًا).${\displaystyle GL_{n}(O_{F})}$، أين${\displaystyle O_{F}}$هي حلقة الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle F}$[ ^{3 ]​}

• تحليلات زمرة لي
• نظام جذور جبر لي شبه البسيط

• فيدينكو، أ.س.؛ شترن، أ.إ. (2001) [1994]، "تحليل إيواساوا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• كناب، أ. و. (2002). مجموعات لي: ما وراء المقدمة (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 9780817642594.