الطارة الجبرية

لو${\displaystyle F}$إذا كان حقلاً، فإن المجموعة الضربية على${\displaystyle F}$هي المجموعة الجبرية${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$بحيث يكون لأي امتداد ميداني${\displaystyle E/F}$ال${\displaystyle E}$النقاط متماثلة مع المجموعة${\displaystyle E^{\times }}$لتعريفها بشكل صحيح كمجموعة جبرية، يمكن أخذ التنوع الأفيني المعرف بالمعادلة${\displaystyle xy=1}$في المستوى الأفيني فوق${\displaystyle F}$مع الإحداثيات${\displaystyle x,y}$ثم يتم إعطاء عملية الضرب عن طريق تقييد الخريطة الكسرية المنتظمة${\displaystyle F^{2}\times F^{2}\to F^{2}}$محدد بواسطة${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$والمعكوس هو تقييد الخريطة الكسرية المنتظمة${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$.

يترك${\displaystyle F}$ليكن حقلاً ذا إغلاق جبري${\displaystyle {\overline {F}}}$ثم${\displaystyle F}$-torus هي مجموعة جبرية معرفة على${\displaystyle F}$وهو متماثل على${\displaystyle {\overline {F}}}$إلى ناتج محدود من نسخ المجموعة الضربية.

بمعنى آخر، إذا${\displaystyle \mathbf {T} }$هو${\displaystyle F}$- المجموعة تكون حلقة إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r\geq 1}$المصطلحات الأساسية المرتبطة بالحلقات هي كما يلي.

• العدد الصحيح${\displaystyle r}$يُطلق عليه رتبة أو الرتبة المطلقة للحلقة${\displaystyle \mathrm {T} }$.
• يقال إن الطارة منقسمة على امتداد المجال${\displaystyle E/F}$لو${\displaystyle \mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}}$يوجد امتداد محدود أدنى فريد من نوعه لـ${\displaystyle F}$والتي عليها${\displaystyle \mathbf {T} }$يتم تقسيمه، وهو ما يسمى حقل التقسيم لـ${\displaystyle \mathbf {T} }$.
• ال${\displaystyle F}$-رتبة​${\displaystyle \mathbf {T} }$هي الرتبة القصوى لسطح فرعي منقسم من${\displaystyle \mathbf {T} }$ينقسم الطارة إذا وفقط إذا${\displaystyle F}$-رتبة تساوي رتبتها المطلقة.
• يُقال إن السطح الحلقي غير متجانس إذا كان${\displaystyle F}$الرتبة صفر.

التماثل بين الزمر الجبرية هو تشاكل شامل ذو نواة منتهية؛ ويُقال إن حلقتين متماثلتان إذا وُجد تماثل من الأولى إلى الثانية. وتتميز التماثلات بين الحلقات بسلوكها الجيد بشكل خاص: لأي تماثل${\displaystyle \phi$ يوجد تماثل "ثنائي" بين ' \mathbf {T} و '\mathbf {T} ${\displaystyle \psi$ :\mathbf {T} '\to \mathbf {T} } بحيث${\displaystyle \psi \circ \phi }$هي خريطة قوة. وعلى وجه الخصوص، فإن كونها متجانسة هو علاقة تكافؤ بين الأسطح الحلقية.

كما هو موضح في الأمثلة أعلاه، يمكن تمثيل الحلقات كمجموعات خطية. وثمة تعريف بديل للحلقات هو:

تكون المجموعة الجبرية الخطية عبارة عن حلقة إذا وفقط إذا كانت قابلة للتقطير على إغلاق جبري.

ينقسم الطارة على حقل إذا وفقط إذا كان قابلاً للقطرنة على هذا الحقل.

لو${\displaystyle \mathbf {G} }$هي مجموعة جبرية شبه بسيطة على حقل${\displaystyle F}$ثم:

• رتبتها (أو رتبتها المطلقة ) هي رتبة مجموعة فرعية توروسية قصوى في${\displaystyle \mathbf {G} }$(لاحظ أن جميع الطورات القصوى مترافقة على${\displaystyle F}$لذا فإن الرتبة محددة جيدًا)؛
• إنه${\displaystyle F}$-رتبة (تسمى أحيانًا${\displaystyle F}$(رتبة الانقسام ) هي الرتبة القصوى لمجموعة فرعية من الطارة في${\displaystyle G}$والتي تنقسم على${\displaystyle F}$.

من الواضح أن الرتبة أكبر من أو تساوي${\displaystyle F}$الرتبة -؛ تُسمى المجموعة منقسمة إذا وفقط إذا تحققت المساواة (أي، يوجد طارة قصوى في${\displaystyle \mathbf {G} }$والتي تنقسم على${\displaystyle F}$تُسمى المجموعة غير متناحية الخواص إذا لم تحتوي على حلقات تورية منقسمة (أي أنها${\displaystyle F}$(الرتبة صفر).

في النظرية الكلاسيكية لجبر لي شبه البسيط على الحقل المركب ، تلعب جبر كارتان الجزئية دورًا أساسيًا في التصنيف عبر أنظمة الجذور ومخططات دينكين . هذا التصنيف مكافئ لتصنيف الزمر الجبرية المتصلة على الحقل المركب، وتتوافق جبر كارتان الجزئية مع الطورات القصوى في هذه الزمر. في الواقع، يمتد هذا التصنيف إلى حالة أي حقل أساسي بافتراض وجود طارة قصوى منقسمة (وهو افتراض يتحقق تلقائيًا على حقل مغلق جبريًا). بدون افتراض الانقسام، تصبح الأمور أكثر تعقيدًا، ويتطلب الأمر تطوير نظرية أكثر تفصيلًا، والتي لا تزال تستند جزئيًا إلى دراسة التأثيرات المرافقة للطورات.

لو${\displaystyle \mathbf {T} }$هو طارة قصوى في زمرة جبرية شبه بسيطة${\displaystyle \mathbf {G} }$ثم على الإغلاق الجبري ينتج نظام جذور${\displaystyle \Phi }$في الفضاء المتجهي${\displaystyle V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T} }$هو الحد الأقصى${\displaystyle F}$- تأثير انقسام الحلقة على${\displaystyle F}$- جبر لي${\displaystyle \mathbf {G} }$ويؤدي إلى ظهور نظام جذري آخر${\displaystyle {}_{F}\Phi }$خريطة القيود${\displaystyle X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )}$يُنشئ خريطة${\displaystyle \Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}}$ويمثل مؤشر تيتس طريقة لترميز خصائص هذه الخريطة وفعل مجموعة غالوا.${\displaystyle {\overline {F}}/F}$على${\displaystyle \Phi }$مؤشر تيتس هو نسخة "نسبية" من مخطط دينكين "المطلق" المرتبط بـ${\displaystyle \Phi }$من الواضح أن عددًا محدودًا فقط من مؤشرات تيتس يمكن أن يتوافق مع مخطط دينكين معين.

ثابت آخر مرتبط بالطور المنقسم${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$هي النواة غير المتناحية : وهي المجموعة الجبرية شبه البسيطة التي تم الحصول عليها كمجموعة فرعية مشتقة من المجموعة المركزية لـ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$في${\displaystyle \mathbf {G} }$(الأخيرة هي مجموعة اختزالية فقط). وكما يشير اسمها، فهي مجموعة غير متناحية، ويتم تحديد نوعها المطلق بشكل فريد بواسطة${\displaystyle {}_{F}\Phi }$.

وتتمثل الخطوة الأولى نحو التصنيف في النظرية التالية ^{[ 3 ]}

اثنان شبه بسيطين${\displaystyle F}$تكون المجموعات الجبرية متماثلة إذا وفقط إذا كان لها نفس مؤشرات تيتس ونوى متماثلة غير متناحية.

يُختزل هذا الأمر مشكلة التصنيف إلى مجموعات غير متناحية، وإلى تحديد مؤشرات تيتس التي يمكن أن تظهر لمخطط دينكين معين. وقد حُلّت المشكلة الأخيرة في بحث تيتس (1966) . أما المشكلة الأولى فتتعلق بمجموعات غالوا للتجانس .${\displaystyle F}$وبشكل أدق، يرتبط بكل مؤشر من مؤشرات طيور القرقف مجموعة شبه منقسمة فريدة من نوعها.${\displaystyle F}$ثم كل${\displaystyle F}$المجموعة التي لها نفس المؤشر هي شكل داخلي لهذه المجموعة شبه المنقسمة، ويتم تصنيفها بواسطة علم التماثل لغالوا.${\displaystyle F}$بمعاملات في المجموعة المرافقة.

لو${\displaystyle G}$إذا كانت زمرة لي شبه بسيطة، فإن رتبتها الحقيقية هي${\displaystyle \mathbb {R} }$-الرتبة كما هو محدد أعلاه (لأي${\displaystyle \mathbb {R} }$المجموعة الجبرية التي تكون مجموعة نقاطها الحقيقية متماثلة مع${\displaystyle G}$)، بمعنى آخر الحد الأقصى${\displaystyle r}$بحيث يوجد تضمين${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G}$على سبيل المثال، الرتبة الحقيقية لـ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$يساوي${\displaystyle n-1}$، والرتبة الحقيقية لـ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$يساوي${\displaystyle \min(p,q)}$.

لو${\displaystyle X}$الفضاء المتناظر المرتبط بـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle T\subset G}$إذا كان الشكل عبارة عن حلقة منقسمة قصوى، فإنه يوجد مدار فريد لـ${\displaystyle T}$في${\displaystyle X}$وهو فضاء فرعي مسطح جيوديسي تمامًا في${\displaystyle X}$إنها في الواقع فضاء جزئي مسطح أقصى، ويتم الحصول على جميع الفضاءات الجزئية المسطحة القصوى من هذا النوع كمدارات للأسطح الحلقية المنقسمة بهذه الطريقة. وبالتالي، يوجد تعريف هندسي للرتبة الحقيقية، باعتبارها البعد الأقصى للفضاء الجزئي المسطح في${\displaystyle X}$[ ^{4 ]​}

إذا كانت المجموعة تكذب${\displaystyle G}$يتم الحصول عليها كنقاط حقيقية لمجموعة جبرية${\displaystyle \mathbf {G} }$على الحقل العقلاني${\displaystyle \mathbb {Q} }$ثم${\displaystyle \mathbb {Q} }$-رتبة${\displaystyle \mathbf {G} }$ولها أيضًا دلالة هندسية. وللوصول إليها، يجب إدخال مجموعة حسابية.${\displaystyle \Gamma }$مرتبط بـ${\displaystyle \mathbf {G} }$، وهو ما يمثل تقريبًا مجموعة النقاط الصحيحة لـ${\displaystyle \mathbf {G} }$والفضاء خارج القسمة${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$، وهو فضاء ريماني مداري، وبالتالي فهو فضاء متري. عندئذٍ، أي مخروط تقاربي من${\displaystyle M}$هو متماثل الشكل مع مُركّب تبسيطي محدود ذي تبسيطات علوية الأبعاد ذات بُعد يساوي${\displaystyle \mathbb {Q} }$-رتبة${\displaystyle \mathbf {G} }$. بخاصة،${\displaystyle M}$تكون مضغوطة إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {G} }$غير متجانس الخواص. ^{[ 5 ]}

لاحظ أن هذا يسمح بتحديد${\displaystyle \mathbf {Q} }$-رتبة أي شبكة في مجموعة لي شبه بسيطة، كبعد مخروطها التقاربي.

لو${\displaystyle \mathbf {G} }$هي مجموعة شبه بسيطة على${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$أقصى انقسام للحلقات التورية في${\displaystyle \mathbf {G} }$تتوافق مع شقق مبنى بروهات-تيتس${\displaystyle X}$مرتبط بـ${\displaystyle \mathbf {G} }$وعلى وجه الخصوص، بُعد${\displaystyle X}$يساوي${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$-رتبة${\displaystyle \mathbf {G} }$.

بالنظر إلى مخطط أساسي S ، يُعرَّف الطارة الجبرية فوق S بأنها مخطط زمرة فوق S متماثل محليًا من نوع fpqc مع حاصل ضرب منتهٍ لنسخ من مخطط الزمرة الضربية G_{_m} / S فوق S. بعبارة أخرى، يوجد تطبيق مسطح أمين X  → S بحيث يكون لأي نقطة في X جوار مفتوح شبه متراص U صورته مخطط فرعي أفيني مفتوح من S ، بحيث يؤدي تغيير الأساس إلى U إلى حاصل ضرب منتهٍ لنسخ من GL _{₁، أي U} = G_{_m} / U . إحدى الحالات المهمة بشكل خاص هي عندما يكون S طيف حقل K ، مما يجعل الطارة فوق S زمرة جبرية يكون امتدادها إلى امتداد منفصل منتهٍ L حاصل ضرب منتهٍ لنسخ من G _{_m} / L . بشكل عام، تُسمى تعددية هذا الضرب (أي بُعد المخطط) رتبة الطارة ، وهي دالة ثابتة محليًا على S. 

معظم المفاهيم المحددة للحلقات فوق الحقول تنتقل إلى هذا الإطار الأكثر عمومية.

بالنسبة لمخطط أساسي عام S ، تُعرَّف الأوزان والأوزان المرافقة على أنها حزم fpqc من الزمر الأبيلية الحرة على S. توفر هذه الحزم تمثيلات للزمر الجزئية الأساسية للقاعدة بالنسبة لطوبولوجيا fpqc. إذا كان الطارة قابلة للتبسيط محليًا بالنسبة لطوبولوجيا أضعف مثل طوبولوجيا إيتال، فإن حزم الزمر تنحدر إلى نفس الطوبولوجيات، وتتحلل هذه التمثيلات من خلال الزمر الجزئية الخارجة. على وجه الخصوص، تُنتج حزمة إيتال طارة شبه تافهة، وإذا كانت S نوثرية محلية وطبيعية (بشكل أعم، أحادية التفرع هندسيًا )، فإن الطارة تكون تافهة. كعكس جزئي، تنص نظرية غروتينديك على أن أي طارة من نوع محدود تكون شبه تافهة، أي منقسمة بواسطة تطبيق إيتال شامل.

بالنظر إلى طارة T من الرتبة n فوق S ، فإن الشكل الملتوي هو طارة فوق S يوجد لها غطاء fpqc لـ S تكون امتدادات قواعدها متماثلة، أي أنها طارة من نفس الرتبة. يتم تحديد فئات التماثل للأشكال الملتوية لطارة منقسمة بواسطة علم التماثل المسطح غير التبادلي.${\displaystyle H^{1}(S,GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$حيث تشكل مجموعة المعاملات حزمة ثابتة. على وجه الخصوص، يتم تحديد الأشكال الملتوية لسطح حلقي منقسم T فوق حقل K بواسطة عناصر مجموعة غالوا المتماثلة ذات النقاط.${\displaystyle H^{1}(G_{K},GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$مع تأثير غالوا تافه على المعاملات. في الحالة أحادية البعد، تشكل المعاملات مجموعة من الرتبة الثانية، وتكون فئات التشاكل للأشكال الملتوية لـ G _m في تقابل طبيعي مع امتدادات تربيعية قابلة للفصل لـ K. 

بما أن أخذ شبكة أوزان يمثل تكافؤًا بين الفئات، فإن المتتاليات التامة القصيرة للأسطح الحلقية تُقابلها متتاليات تامة قصيرة لشبكات الأوزان المقابلة. وعلى وجه الخصوص، تُصنف امتدادات الأسطح الحلقية بواسطة حزم Ext ^1. وهذه الحزم متماثلة طبيعيًا مع مجموعات التماثل المسطحة.${\displaystyle H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))}$. على حقل ما، يتم تحديد الامتدادات بواسطة عناصر مجموعة التماثل المقابلة لغالوا.