البناء (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُعرف المبنى (أو مبنى تيتس ، نسبةً إلى جاك تيتس ) بأنه بنية تركيبية وهندسية تُعمم في آنٍ واحد جوانب معينة من مشعبات الأعلام ، والمستويات الإسقاطية المحدودة ، والفضاءات المتناظرة الريمانية . وقد قدّم جاك تيتس مفهوم المباني في البداية كوسيلة لفهم بنية الزمر الجبرية الخطية الاختزالية المتناحية على أي حقل. أما نظرية مباني بروهات-تيتس الأكثر تخصصًا (نسبةً إلى فرانسوا بروهات )، فتلعب دورًا في دراسة زمر لي $p$ -adic، مماثلًا لدور نظرية الفضاءات المتناظرة في نظرية زمر لي .

ملخص

شجرة بروهات – تيتس لمجموعة لي 2-adic $SL(2, Q 2)$ .

ابتكر جاك تيتس مفهوم المبنى كوسيلة لوصف الزمر الجبرية البسيطة على أي حقل . بيّن تيتس كيف يمكن ربط كل زمرة $G$ بمركب تبسيطي $Δ = Δ(G)$ بفعل من $G$ ، يُسمى المبنى الكروي لـ G. تفرض الزمرة $G$ شروط انتظام توافقي قوية جدًا على المركبات $Δ التي يمكن$ $أن$ تنشأ بهذه الطريقة. من خلال اعتبار هذه الشروط بديهيات لفئة من المركبات التبسيطية، توصل تيتس إلى تعريفه الأول للمبنى. جزء من البيانات التي تُعرّف المبنى $Δ$ هو زمرة كوكسيتر $W$ ، التي تُحدد مركبًا تبسيطيًا متناظرًا للغاية $Σ = Σ($ $W$ $,$ $S$ $)$ ، يُسمى مركب كوكسيتر . يتكون المبنى $Δ من نسخ متعددة من$ $Σ$ ، تُسمى شققه ، بطريقة منتظمة معينة. عندما تكون $W$ زمرة كوكسيتر منتهية، يكون مُركّب كوكسيتر كرة طوبولوجية، وتُسمى المباني المُقابلة له من النوع الكروي . أما عندما تكون $W$ زمرة فايل أفينية ، فيكون مُركّب كوكسيتر تقسيمًا للمستوى الأفيني، ويُطلق عليه اسم المباني الأفينية أو الإقليدية . المبنى الأفيني من النوع $Ã$ $1$ يُشبه شجرة لانهائية بدون رؤوس طرفية.

على الرغم من أن نظرية الزمر الجبرية شبه البسيطة قدّمت الدافع الأولي لمفهوم البناء، إلا أن ليس كل المباني تنشأ من زمرة. على وجه الخصوص، تُشكّل المستويات الإسقاطية والمربعات المعممة فئتين من الرسوم البيانية التي دُرست في هندسة الوقوع ، والتي تُحقق بديهيات البناء، ولكنها قد لا تكون مرتبطة بأي زمرة. اتضح أن هذه الظاهرة مرتبطة بالرتبة المنخفضة لنظام كوكسيتر المقابل (أي رتبتين). وقد أثبت تيتس نظريةً لافتةً للنظر: جميع المباني الكروية ذات الرتبة 3 على الأقل مرتبطة بزمرة؛ علاوة على ذلك، إذا كان مبنى ذو رتبة 2 على الأقل مرتبطًا بزمرة، فإن الزمرة تُحدد أساسًا بواسطة المبنى. ^{[ 1 ]}

أثبت إيواهوري-ماتسوموتو، وبوريل-تيتس، وبروهات-تيتس أنه قياسًا على بناء تيتس للمباني الكروية، يمكن أيضًا بناء المباني الأفينية من زمر معينة، وتحديدًا الزمر الجبرية المختزلة على حقل محلي غير أرخميدسي . علاوة على ذلك، إذا كانت رتبة الانقسام للزمرة ثلاثة على الأقل، فإنها تُحدد أساسًا من خلال بنائها. لاحقًا، أعاد تيتس صياغة الجوانب التأسيسية لنظرية المباني باستخدام مفهوم نظام الغرف ، مُشفِّرًا المبنى فقط من حيث خصائص التجاور للمُبسطات ذات البُعد الأقصى؛ مما يؤدي إلى تبسيطات في كلتا الحالتين الكروية والأفينية. وقد أثبت أنه قياسًا على الحالة الكروية، ينشأ كل مبنى من النوع الأفيني ورتبته أربعة على الأقل من زمرة.

تعريف

المبنى ذو الأبعاد $n،$ $X،$ هو مُركّب تبسيطي مجرد، وهو عبارة عن اتحاد لمُركّبات فرعية $A$ تُسمى شققًا، بحيث

كل مجموعة بسيطة من النوع $k$ من $X تقع ضمن ثلاث مجموعات بسيطة من النوع$ $n$ على الأقل إذا كان $k < n$ ؛
أي $(n - 1)$ -simplex في شقة $A$ يقع في اثنين من $n- simplexes$ المتجاورة من $A$ ويكون الرسم البياني لـ $n$ -simplexes المتجاورة متصلاً؛
أي عنصرين بسيطين في $X$ يقعان في شقة مشتركة $A$ ؛
إذا كان هناك شكلان بسيطان يقعان في الشقتين $A$ و $A'$ ، فإن هناك تماثلًا بسيطًا من $A$ على $A'$ يثبت رؤوس الشكلين البسيطين.

يُطلق على n - $simplex$ في $A اسم$ الحجرة (أصلها chambre ، أي الغرفة بالفرنسية ).

يتم تعريف رتبة المبنى على أنها $n$ + $1$ .

الخصائص الأولية

كل شقة $A$ في مبنى ما هي مُركّب كوكسيتر . في الواقع، لكل مُركّبين بسيطين من الرتبة $n$ يتقاطعان في مُركّب بسيط من الرتبة $(n -1)$ أو لوحة ، يوجد تماثل بسيط فريد من نوعه من الرتبة الثانية لـ $A$ ، يُسمى انعكاسًا ، ينقل أحد المُركّبين البسيطين من الرتبة $n$ إلى الآخر ويُثبّت نقاطهما المشتركة. تُولّد هذه الانعكاسات زمرة كوكسيتر $W$ ، تُسمى زمرة ويل لـ $A$ ، ويُقابل المُركّب البسيط $A$ التمثيل الهندسي القياسي لـ $W.$ تُعطى المولدات القياسية لزمرة كوكسيتر بواسطة الانعكاسات في جدران حجرة ثابتة في $A.$ بما أن الشقة $A$ مُحدّدة حتى التماثل بواسطة المبنى، فإن الأمر نفسه ينطبق على أي مُركّبين بسيطين في $X$ يقعان في شقة مشتركة $A.$ عندما تكون $W$ محدودة، يُقال إن المبنى كروي . عندما تكون زمرة ويل أفينية ، يُقال إن المبنى أفيني أو إقليدي .

نظام الغرف هو الرسم البياني المجاور الذي تشكله الغرف؛ ويمكن إضافة تسمية لكل زوج من الغرف المتجاورة بواسطة أحد المولدات القياسية لمجموعة كوكسيتر. ^{[ 2 ]}

لكل مبنى مقياس طول معياري مُستمد من التمثيل الهندسي الناتج عن تحديد رؤوسه باستخدام أساس متعامد لفضاء هيلبرت . بالنسبة للمباني الأفينية، يُحقق هذا المقياس متباينة المقارنة $CAT(0)$ لألكسندروف ، والمعروفة في هذا السياق بشرط بروهات-تيتس لانحناء غير موجب للمثلثات الجيوديسية: المسافة من رأس إلى منتصف الضلع المقابل لا تتجاوز المسافة في المثلث الإقليدي المقابل له بنفس أطوال الأضلاع. ^{[ 3 ]}

الاتصال بأزواج $(ب ، ن)$

إذا أثرت مجموعة $G$ بشكل تبسيطي على مبنى $X$ ، وبشكل متعدٍ على أزواج $(C ، A)$ من الغرف $C$ والشقق $A$ التي تحتويها، فإن مثبتات هذا الزوج تُعرّف زوجًا $(B ، N)$ أو نظام تيتس . في الواقع، زوج المجموعات الفرعية

B = G C

و

N = G A

يفي ببديهيات زوج $(B ، N)$ ويمكن تحديد مجموعة Weyl مع $N / N \cap B.$

على النقيض من ذلك، يمكن استخلاص المبنى من الزوج $(B, N)$ ، بحيث يُعرّف كل زوج $(B, N)$ مبنىً بشكلٍ قانوني. في الواقع، باستخدام مصطلحات أزواج $(B, N)$ وتسمية أي مرافق لـ $B$ بزمرة بوريل، وأي زمرة تحتوي على زمرة بوريل بزمرة مكافئة،

تتوافق رؤوس المبنى $X$ مع المجموعات الفرعية القطعية القصوى؛
$تشكل k + 1$ رأسًا $k$ -simplex كلما كان تقاطع المجموعات الفرعية المكافئة القصوى المقابلة مكافئًا أيضًا؛
الشقق هي مترافقة تحت $G$ للمركب الفرعي البسيط مع رؤوس معطاة بواسطة مترافقة تحت N $للقطع$ المكافئ الأقصى الذي يحتوي على $B.$

يمكن وصف المبنى نفسه في كثير من الأحيان بأزواج $(ب ، ن)$ مختلفة . علاوة على ذلك، لا ينتمي كل مبنى إلى زوج $(ب ، ن)$ : وهذا يتوافق مع فشل نتائج التصنيف في الرتبة والأبعاد المنخفضة (انظر أدناه).

تنص نظرية سولومون -تيتس على أن نوع التماثل لمبنى من مجموعة من نوع لي هو نفسه نوع التماثل لباقة من الكرات . ^{[ 4 ]}

المباني الكروية والخطية لـ $SL n$

يسهل شرح البنية التبسيطية للمباني الأفينية والكروية المرتبطة بـ $SL n (Q p)$ ، بالإضافة إلى روابطها المتبادلة، مباشرةً باستخدام مفاهيم من الجبر والهندسة الأساسية فقط . ^[⁵^] في هذه الحالة ، توجد ثلاثة مبانٍ مختلفة، اثنان كرويان وواحد أفيني. كل منها عبارة عن اتحاد شقق ، وهي بدورها مجمعات تبسيطية. بالنسبة للمبنى الأفيني، الشقة عبارة عن مجمع تبسيطي يُرصّف الفضاء الإقليدي $E$ $n$ $-1$ بواسطة تبسيطات $($ $n$ $- 1)$ ذات بُعد؛ بينما بالنسبة للمبنى الكروي، فهو المجمع التبسيطي المحدود المُشكّل من جميع التبسيطات $($ $n$ $- 1)!$ ذات رأس مشترك مُحدد في الترصّف المُماثل في $E$ $n$ $-2$ .

كل مبنى عبارة عن مجمع تبسيطي $X$ يجب أن يستوفي البديهيات التالية:

$X$ عبارة عن اتحاد شقق.
أي عنصرين بسيطين في $X$ موجودان في شقة مشتركة.
إذا كان المجسم البسيط موجودًا في شقتين، فهناك تماثل بسيط لأحدهما على الآخر يثبت جميع النقاط المشتركة.

مبنى كروي

ليكن $F$ حقلاً، وليكن X $مُركبًا$ تبسيطيًا رؤوسه هي الفضاءات المتجهة غير التافهة لـ $V = Fⁿ .$ $يُقال$ $إن$ فضاءين جزئيين $U₁$ $و$ U₂ $متصلان$ إذا كان أحدهما مجموعة جزئية من الآخر. تتكون المُركبات التبسيطية من الرتبة $k$ لـ $X من مجموعات من$ $k + 1$ فضاءات جزئية متصلة فيما بينها. يُحصل على أقصى اتصال بأخذ $n - 1$ فضاءات جزئية غير تافهة، ويُقابل المُركب التبسيطي من الرتبة $(n - 1) علمًا$ كاملاً.

(0) \subset U 1 \subset \cdot\cdot\cdot \subset U n - 1 \subset V

تتوافق الأشكال البسيطة ذات الأبعاد المنخفضة مع أعلام جزئية ذات عدد أقل من الفضاءات الفرعية الوسيطة $U i$ .

لتعريف الشقق في $X$ ، من الملائم تعريف إطار في $V$ كأساس ( $vi)$ محدد حتى الضرب القياسي لكل متجه من متجهاته $vi ؛ بعبارة أخرى ،$ الإطار هو مجموعة من الفضاءات الجزئية أحادية البعد $Li = F \cdot vi$ بحيث يُولّد أي $k$ منها فضاءً $جزئيًا$ $k- الأبعاد.$ $الآن$ $،$ يُعرّف إطار مُرتب $L1 ، ...، Ln$ علمًا كاملًا عبر

U i = L 1 \oplus \cdot\cdot\cdot \oplus L i

بما أن إعادة ترتيب عناصر $L i$ المختلفة تُعطي إطارًا، فمن السهل ملاحظة أن الفضاءات الفرعية، المُستمدة من مجموع عناصر $L i$ ، تُشكل مُركبًا تبسيطيًا من النوع المطلوب لشقة في مبنى كروي. ويمكن التحقق بسهولة من بديهيات المبنى باستخدام حجة شراير الكلاسيكية المُستخدمة لإثبات تفرد تحليل جوردان-هولدر .

مبنى أفين

ليكن $K$ حقلاً يقع بين $Q$ وإكماله $p$ -adic $Q p$ بالنسبة إلى المعيار $p$ -adic غير الأرخميدي المعتاد $‖$ $x$ $‖$ $p$ على $Q$ لبعض الأعداد الأولية $p$ . وليكن R $الحلقة$ الجزئية من $K$ المعرفة بـ

R = {x : ‖ x ‖ p \leq 1 }

عندما $K = Q$ ، فإن $R$ هو موضع Z عند $p$ ، وعندما $K$ $=$ $Q$ $p$ ، فإن $R$ $=$ $Z$ $p$ ، الأعداد $الصحيحة p$ -adic ، أي إغلاق $Z$ في $Q$ $p$ $.$

رؤوس المبنى $X$ هي الشبكات $R$ في $V = K n$ ، أي الوحدات الفرعية $R$ من الشكل

L = R \cdot v 1 \oplus \cdot\cdot\cdot \oplus R \cdot v n

حيث $(vi)$ أساس $V$ على $K.$ يُقال إن شبكتين متكافئتان إذا كانت إحداهما مضاعفًا قياسيًا للأخرى بعنصر من المجموعة الضربية $K *$ لـ $K (في الواقع$ $،$ $لا$ $يلزم استخدام سوى قوى p$ الصحيحة ). يُقال إن شبكتين $L1$ و $L2$ متجاورتان إذا $كانت$ هناك شبكة مكافئة لـ $L2$ تقع بين $L1$ وشبكتها الفرعية $p$ $\cdot$ $L1$ : هذه العلاقة متناظرة. تُمثل $k$ -simplices لـ $X$ فئات تكافؤ لـ $k$ $+ 1$ $شبكة$ متجاورة. تُقابل $($ $n$ $- 1) -simplices، بعد$ $إعادة$ التسمية، سلاسل $.$

ص \cdot L ن \subset L 1 \subset L 2 \subset \cdot\cdot\cdot \subset L n - 1 \subset L n

$حيث يكون$ لكل ناتج قسمة متتالي رتبة $p .$ $يتم$ $تعريف الشقق عن طريق$ تثبيت أساس $(vi)$ لـ $V$ وأخذ جميع الشبكات ذات الأساس $(p ai vi)$ حيث يقع $(ai$ $)$ في $Zn$ $ويتم تحديده$ بشكل فريد حتى إضافة نفس العدد الصحيح إلى كل مدخل $.$

بحسب التعريف، لكل شقة الشكل المطلوب، واتحادها هو المجموعة $X$ بأكملها . وتُستنتج البديهية الثانية من خلال صيغة معدلة من حجة شراير للتنقيح. أما البديهية الأخيرة فتُستنتج من خلال حجة عد بسيطة تستند إلى رتب الزمر الأبيلية المنتهية من الشكل

L + p k \cdot Li / p k \cdot Li ​ ​

تُظهر حجة التراص القياسية أن $X$ مستقلة في الواقع عن اختيار $K.$ على وجه الخصوص، باختيار $K = Q$ ، يترتب على ذلك أن $X$ قابلة للعد. من ناحية أخرى، باختيار $K = Q p$ ، يُبين التعريف أن $GL n (Q p)$ تقبل تأثيرًا تبسيطيًا طبيعيًا على المبنى.

يأتي المبنى مزودًا بترقيم رؤوسه بقيم في $Z / n Z.$ في الواقع، بتحديد شبكة مرجعية $L$ ، يتم إعطاء تسمية $M بواسطة$

label(M) = log p | M / p k L | modulo n

لـ $k$ كبيرة بما فيه الكفاية. رؤوس أي مُركّب بسيط من الرتبة $(n - 1)$ في $X$ لها تسميات مميزة، تمتد عبر كامل $Z / n Z.$ أي تشاكل تبسيطي $φ$ لـ $X$ يُعرّف تبديلاً $π$ لـ $Z / n Z$ بحيث يكون $label(φ (M)) = π (label(M))$ . على وجه الخصوص، بالنسبة $لـ g$ في $GL n (Q p)$ ،

label(g \cdot M) = label(M) + log p ‖ det g ‖ p modulo n

.

وبالتالي فإن $g$ تحافظ على التصنيفات إذا كانت $g$ تقع في $SL n (Q p)$ .

التماثلات الذاتية

أثبت تيتس أن أي تشاكل ذاتي يحافظ على التسميات للمبنى الأفيني ينشأ من عنصر من $SL n (Q p)$ . وبما أن التشاكلات الذاتية للمبنى تُبدّل التسميات، فهناك تشاكل طبيعي

Aut X \to S n

.

يُنتج فعل $GL n (Q p) دورةً من$ الرتبة $n،$ $τ$ . وتنشأ التشاكلات الذاتية الأخرى للمبنى من التشاكلات الذاتية الخارجية لـ $SL$ $n$ $($ $Q$ $p$ $)$ المرتبطة بتشاكلات مخطط دينكين . وبأخذ الشكل الثنائي الخطي المتناظر القياسي ذي الأساس المتعامد $vi$ $،$ فإن الخريطة التي تُرسل شبكةً إلى شبكتها الثنائية تُعطي تشاكلاً ذاتياً مربعه هو العنصر المحايد، مما يُعطي التبديل $σ$ الذي يُرسل كل علامة إلى قيمتها السالبة modulo $n$ . وتُولد صورة التشاكل المذكور أعلاه بواسطة $σ$ و $τ$ ، وهي متماثلة مع المجموعة ثنائية السطوح $D$ $n$ من الرتبة $2$ $n$ ؛ وعندما $n$ $= 3 ، فإنها تُعطي$ $S$ $3$ بأكملها .

إذا كان $E$ امتدادًا محدودًا لـ Galois لـ $Q p$ وتم بناء المبنى من $SL n (E)$ بدلاً من $SL n (Q p)$ ، فإن مجموعة Galois $Gal(E / Q p)$ ستعمل أيضًا عن طريق التشاكلات الذاتية على المبنى.

العلاقات الهندسية

تنشأ المباني الكروية بطريقتين مختلفتين تمامًا فيما يتعلق بالمبنى الأفيني $X$ لـ $SL n (Q p)$ :

يتوافق رابط كل رأس $L$ في البناء الأفيني مع وحدات فرعية من $L / p \cdot L$ تحت الحقل المنتهي $F = R / p \cdot R = Z / (p)$ . هذا هو البناء الكروي لـ $SL n (F)$ .
يمكن تكثيف المبنى $X$ بإضافة المبنى الكروي لـ $SL$ $n$ $($ $Q$ $p$ $)$ كحدود "عند اللانهاية". ^[⁵^]^[⁶^]

أشجار بروهات-تيتس ذات التكاثر المعقد

عندما يكون $L$ حقلاً محلياً أرخميدياً، فإنه يمكن فرض بنية إضافية على بناء المجموعة $SL² (L)، وهي$ بنية ذات ضرب معقد. وقد قدم مارتن ل. براون هذه البنى لأول مرة . ^{[ 7 ]} تنشأ هذه البنى عندما يؤثر امتداد تربيعي لـ $L$ على الفضاء المتجهي $L² .$ ويمكن تعميم هذه البنى ذات الضرب المعقد على أي حقل شامل. وهي تصف تأثير مؤثرات هيك على نقاط هيجنر على المنحنى المعياري الكلاسيكي $X₀ (N)،$ $وكذلك$ على منحنى درينفيلد المعياري $X₁₋₁ ($ $I$ $)$ $.$ $وقد$ $صنف$ براون هذه البنى ذات الضرب المعقد تصنيفاً كاملاً لحالة $SL² (L) .$ ^{[ 7 ]}

تصنيف

أثبت تيتس أن جميع المباني الكروية غير القابلة للاختزال (أي ذات مجموعة ويل محدودة ) ذات رتبة أكبر من 2 مرتبطة بمجموعات جبرية بسيطة، أو بمجموعات كلاسيكية (ربما لا نهائية الأبعاد)، أو بفئة خاصة من المجموعات تسمى "من النوع المختلط" والتي لا توجد إلا في خاصية 2 أو 3. وينطبق نتيجة مماثلة على المباني الأفينية غير القابلة للاختزال ذات البعد الأكبر من 2 (مبانيها "عند اللانهاية" كروية ذات رتبة أكبر من اثنين).

في الرتب أو الأبعاد الأدنى، لا يوجد مثل هذا التصنيف. في الواقع، المباني الكروية من الرتبة 2 هي تحديدًا المضلعات المعممة ، وهناك أمثلة عديدة عليها. (توجد إنشاءات مجانية لمضلعات معممة لا نهائية ذات n ضلع لكل $n\geq 3$ .) تم بناء العديد من المباني الأفينية ثنائية الأبعاد باستخدام مجموعات الانعكاس الزائدي أو غيرها من الإنشاءات الأكثر غرابة المرتبطة بالمتشعبات .

كما أثبت تيتس أنه في كل مرة يتم فيها وصف مبنى بزوج $(B ، N)$ في مجموعة، فإن التشاكلات الذاتية للمبنى تتوافق في جميع الحالات تقريبًا مع التشاكلات الذاتية للمجموعة. ^{[ 1 ]}

التطبيقات

تُعدّ نظرية المباني ذات تطبيقات مهمة في العديد من المجالات المتباينة. فإلى جانب الروابط المذكورة سابقًا مع بنية الزمر الجبرية المختزلة على الحقول العامة والمحلية، تُستخدم المباني لدراسة تمثيلاتها . وترتبط نتائج تيتس حول تحديد الزمرة من خلال بنائها ارتباطًا وثيقًا بنظريات الصلابة لجورج موستو وغريغوري مارغوليس ، وبحسابية مارغوليس .

تُدرس أنواع خاصة من المباني في الرياضيات المتقطعة، وقد أثبتت فكرة المنهج الهندسي في توصيف الزمر البسيطة جدواها الكبيرة في تصنيف الزمر البسيطة المنتهية . لا تزال نظرية المباني من النوع الأكثر عمومية من الكروية أو الأفينية غير متطورة نسبيًا، ولكن هذه المباني المعممة وجدت بالفعل تطبيقات في بناء زمر كاك-مودي في الجبر، وفي المشعبات المنحنية غير الموجبة والزمر الزائدية في الطوبولوجيا ونظرية الزمر الهندسية .

انظر أيضاً

مراجع

براون، كينيث س. (1989)، المباني ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-96876-6
براون، مارتن ل. (2004)، وحدات هيجنر والمنحنيات الإهليلجية ، سلسلة محاضرات سبرينغر فيرلاغ في الرياضيات، المجلد 1849، رقم ISBN 978-3-540-22290-3
بروهات، فرانسوا؛ الثدي، جاك (1972)، “Groupes réductifs sur un corps local، I. Données radicielles valuées” ، Publ. الرياضيات. إهيس ، 41 : 5-251 ، دوى : 10.1007 / BF02715544
غاريت، بول (1997)، المباني والمجموعات الكلاسيكية ، تشابمان وهول، رقم ISBN 978-0-412-06331-2
كانتور، ويليام م. (2001) [1994]، "مبنى تيتس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
كو، تشاو (1998)، "برهان جديد لنظرية سولومون-تيتس"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 126 (7): 1941-1944 ، doi : 10.1090/S0002-9939-98-04453-0 ، MR 1459131
تيتس، جاك (1974)، مبانٍ من النوع الكروي وأزواج BN المحدودة ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 386، سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/BFb0057391 ، ISBN 978-0-387-06757-5
تيتس، جاك (1981)، "مقاربة محلية للمباني" ، في كتاب "النهج الهندسي: كتاب تذكاري لكوكسيتر" ، دار نشر سبرينغر، الصفحات 519-547 ، رقم ISBN 978-0-387-90587-7

للمزيد من القراءة

بالمان، فيرنر. برين ، مايكل (1995)، “Orbihedra of Nonpositive Curvature” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 82 : 169–209 ، CiteSeerX 10.1.1.30.8282 ، دوى : 10.1007 / bf02698640
Barré، Sylvain (1995)، “Polyèdres Finis de Dimension 2 à courbure ≥ 0 et de rang 2”، حوليات معهد فورييه ، 45 (4): 1037–1059 ، دوى : 10.5802 / aif.1483
باري، سيلفان. Pichot، Mikaël (2007)، “Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes” (PDF) ، جيوم. إهداء ، 130 : 71-91 ، دوى : 10.1007 / s10711-007-9206-0
بورباكي، نيكولاس ( 1968)، زمر لي وجبر لي: الفصول 4-6 ، عناصر الرياضيات ، هيرمان، ISBN 978-3-540-42650-9
كانتور، ويليام م. (1986)، "المضلعات المعممة، وSCABs، وGABs"، في روزاتي، ل. أ. (محرر)، المباني وهندسة المخططات (جلسة CIME، كومو 1984) ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1181، سبرينغر، الصفحات 79-158 ، CiteSeerX 10.1.1.74.3986 ، doi : 10.1007/BFb0075513 ، ISBN 978-3-540-16466-1
بوت، ألكسندر (1995)، الهندسة المنتهية ونظرية الخصائص ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1601، سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/BFb0094449 ، ISBN 978-3-540-59065-1
رونان، مارك (1995)، المباني وهندسة المخططات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1181، دار نشر سبرينغر، الصفحات 159-190 ، doi : 10.1007/BFb0075518 ، ISBN 978-3-540-16466-1
رونان، مارك (1992)، "المباني: الأفكار الرئيسية والتطبيقات. الجزء الثاني: المجموعات الحسابية والمباني والفضاءات المتناظرة"، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 24 (2): 97-126 ، doi : 10.1112/blms/24.2.97 ، MR 1148671
رونان، مارك (1992)، "المباني: الأفكار الرئيسية والتطبيقات. الجزء الأول: الأفكار الرئيسية."، نشرة جمعية لندن الرياضية ، 24 (1): 1-51 ، doi : 10.1112/blms/24.1.1 ، MR 1139056
رونان، مارك (1989)، محاضرات في المباني ، سلسلة آفاق في الرياضيات، المجلد 7، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 978-0-12-594750-3
روسو، جاي (2009)، “المباني الإقليدية” (PDF) ، في Bessières، L.؛ بارو، أ.؛ Rémy, B. (eds.), Géométries à courbure négative ou null, groupes discrets et الصارمة: ملاحظات محاضرة من المدرسة الصيفية التي عقدت في معهد فورييه، غرونوبل، 2004 ، ندوات ومؤتمرات، المجلد. 18، Société Mathématique de France، الصفحات من 77 إلى 116، ISBN 978-2-85629-240-2MR 2655310
تيتس، جاك (1986)، "المباني من النوع الأفيني"، في روزاتي، ل. أ. (محرر)، المباني وهندسة المخططات (جلسة CIME، كومو 1984) ، محاضرات في الرياضيات، المجلد 1181، سبرينغر، الصفحات 159-190 ، doi : 10.1007/BFb0075514 ، ISBN 978-3-540-16466-1
وايس، ريتشارد م. (2003)، بنية المباني الكروية ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-11733-1

[FOOTNOTETits1974-1] 1 2 تيتس 1974 .

[FOOTNOTETits1981-2] تيتس 1981 .

[FOOTNOTEBruhatTits1972-3] بروهات وتيتس 1972 .

[FOOTNOTEKu1998-4] كو 1998 .

[FOOTNOTEGarrett1997-5] 1 2 غاريت 1997 .

[FOOTNOTEBrown1989-6] براون 1989 .

[FOOTNOTEBrown2004-7] 1 2 براون 2004 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗