مجموعة ويل

إحدى النتائج الرئيسية المتعلقة بمجموعة ويل هي هذه: ^{[ 4 ]}

نظرية : إذا${\displaystyle \Delta }$هو أساس لـ${\displaystyle \Phi }$ثم تتولد مجموعة ويل من خلال الانعكاسات${\displaystyle s_{\alpha }}$مع${\displaystyle \alpha }$في${\displaystyle \Delta }$.

أي بمعنى آخر، المجموعة الناتجة عن الانعكاسات${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$وهي نفس المجموعة الناتجة عن الانعكاسات${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$.

في غضون ذلك، إذا${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$في${\displaystyle \Delta }$ثم مخطط دينكين لـ${\displaystyle \Phi }$بالنسبة للقاعدة${\displaystyle \Delta }$يخبرنا ذلك بشيء عن كيفية تعامل الزوجين${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$يتصرف. على وجه التحديد، لنفترض${\displaystyle v}$و${\displaystyle v'}$تمثل هذه الرؤوس المقابلة في مخطط دينكين. ومن ثم نحصل على النتائج التالية:

• إذا لم تكن هناك رابطة بين${\displaystyle v}$و${\displaystyle v'}$، ثم${\displaystyle s_{\alpha }}$و${\displaystyle s_{\beta }}$التنقل. منذ${\displaystyle s_{\alpha }}$و${\displaystyle s_{\beta }}$لكل منهما ترتيب ثانٍ، وهذا يعادل القول بأن${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$.
• إذا كانت هناك رابطة واحدة بين${\displaystyle v}$و${\displaystyle v'}$، ثم${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$.
• إذا كانت هناك رابطتان بين${\displaystyle v}$و${\displaystyle v'}$، ثم${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$.
• إذا كانت هناك ثلاث روابط بين${\displaystyle v}$و${\displaystyle v'}$، ثم${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$.

ليس من الصعب التحقق من الادعاء السابق، إذا تذكرنا ببساطة ما يوضحه لنا مخطط دينكين بشأن الزاوية بين كل زوج من الجذور. فإذا لم يكن هناك، على سبيل المثال، رابط بين الرأسين، فإن${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$تكون متعامدة، ومن ثمّ يتبين بسهولة أن الانعكاسات المقابلة لها تتبادل. وبشكل أعم، يحدد عدد الروابط الزاوية${\displaystyle \theta }$بين الجذرين. ناتج الانعكاسين هو دوران بزاوية${\displaystyle 2\theta }$في المستوى الذي يمتد عليه${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$، كما يمكن للقارئ أن يتحقق، ومن ثمّ يترتب على ذلك الادعاء المذكور أعلاه بسهولة.

تُعدّ زمر فايل أمثلة على زمر الانعكاسات المنتهية، إذ تُولّد بواسطة الانعكاسات؛ وبالتالي، فإن الزمر المجردة (التي لا تُعتبر زمرًا فرعية من زمرة خطية) هي زمر كوكسيتر منتهية ، مما يسمح بتصنيفها وفقًا لمخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها . كون زمرة فايل زمرة كوكسيتر يعني أنها تمتلك تمثيلًا خاصًا _يكون فيه _كل مولد xᵢ من الرتبة الثانية، وتكون العلاقات الأخرى غير xᵢ² = 1 ^على الصورة ( xᵢ _{xⱼ )} ^mᵢⱼ = 1. المولدات هي الانعكاسات المُعطاة بواسطة الجذور البسيطة، ويكون ^_mᵢⱼ 2 أو 3 أو 4 أو 6 اعتمادًا على ما إذا كانت الجذور i و j تُشكّل _زاوية 90 أو 120 أو 135 أو 150 درجة، أي ما إذا كانت غير متصلة في مخطط دينكين ، أو متصلة بحافة بسيطة، أو متصلة بحافة مزدوجة، أو متصلة بحافة ثلاثية. لقد أشرنا بالفعل إلى هذه العلاقات في النقاط المذكورة أعلاه، ولكن تجدر الإشارة إلى أن${\displaystyle W}$هي مجموعة كوكسيتر، ونحن نقول إن هذه هي العلاقات الوحيدة في${\displaystyle W}$.

تتمتع زمر ويل بترتيب بروهات ودالة طول وفقًا لهذا التمثيل: طول عنصر زمرة ويل هو طول أقصر كلمة تمثل ذلك العنصر بدلالة هذه المولدات القياسية. يوجد عنصر واحد أطول في زمرة كوكسيتر ، وهو معاكس لعنصر المحايد في ترتيب بروهات.

يترك${\displaystyle K}$ليكن زمرة لي متصلة ومتراصة، وليكن${\displaystyle T}$أن يكون طارة قصوى في${\displaystyle K}$ثم نقدم مُعَيِّرَةَ الْمُعَيِّرَةِ لـ${\displaystyle T}$في${\displaystyle K}$، المشار إليه${\displaystyle N(T)}$وتم تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{لكل }}t\in T\}}$.

كما نحدد مركزية${\displaystyle T}$في${\displaystyle K}$، المشار إليه${\displaystyle Z(T)}$وتم تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{لكل }}t\in T\}}$.

مجموعة ويل${\displaystyle W}$ل${\displaystyle K}$(بالنسبة إلى الطارة القصوى المعطاة)${\displaystyle T}$ثم يتم تعريف ) مبدئيًا على النحو التالي

${\displaystyle W=N(T)/T}$.

في النهاية، يثبت المرء ذلك${\displaystyle Z(T)=T}$[ ^{6 ] وعند هذه النقطة ،} يكون لدينا وصف بديل لمجموعة فايل على النحو التالي:

${\displaystyle W=N(T)/Z(T)}$.

الآن، يمكن للمرء أن يُعرّف نظام الجذر${\displaystyle \Phi }$مرتبط بالزوج${\displaystyle (K,T)}$الجذور هي الأوزان غير الصفرية للفعل المرافق لـ${\displaystyle T}$حول جبر لي لـ${\displaystyle K}$لكل${\displaystyle \alpha \in \Phi }$يمكن للمرء أن يبني عنصرًا${\displaystyle x_{\alpha }}$ل${\displaystyle N(T)}$من الذي اتخذ إجراءً بشأن${\displaystyle T}$لها شكل انعكاس. ^{[ 7 ]} وببذل جهد إضافي، يمكن إثبات أن هذه الانعكاسات تولد كل${\displaystyle N(T)/Z(T)}$^{[ 6 ]} وهكذا ، في النهاية، تُعرَّف مجموعة فايل على النحو التالي:${\displaystyle N(T)/T}$أو${\displaystyle N(T)/Z(T)}$متماثل مع مجموعة ويل لنظام الجذر${\displaystyle \Phi }$.

بالنسبة لجبر لي شبه البسيط المعقد، يتم تعريف مجموعة ويل ببساطة على أنها مجموعة الانعكاس الناتجة عن الانعكاسات في الجذور - التحقيق المحدد لنظام الجذر اعتمادًا على اختيار جبر كارتان الفرعي .

بالنسبة لمجموعة لي G التي تحقق شروطًا معينة، ^{[ ملاحظة 1 ]} بالنظر إلى طارة T < G (والتي لا يلزم أن تكون قصوى)، يتم تعريف مجموعة ويل بالنسبة لتلك الطارة على أنها خارج قسمة معيار الطارة N = N ( T ) = N _G ( T ) على مركز الطارة Z = Z ( T ) = Z _G ( T ).

${\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }$

المجموعة W منتهية – Z ذات دليل منتهٍ في N. إذا كان T = T _0، فإن الطارة القصوى (لذا فهي تساوي مركزها الخاص):${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$إذا كان لدينا مجموعتان، فإن الناتج N / Z = N / T يُسمى زمرة ويل لـ G ، ويُرمز له بـ W ( G ). لاحظ أن مجموعة الناتج تعتمد على اختيار الطارة القصوى ، لكن جميع الزمر الناتجة متماثلة (بواسطة تماثل داخلي لـ G )، لأن الطارات القصوى مترافقة.

إذا كانت G مضغوطة ومتصلة، و T عبارة عن طارة قصوى ، فإن مجموعة Weyl لـ G متماثلة مع مجموعة Weyl لجبر Lie الخاص بها، كما تمت مناقشته أعلاه.

على سبيل المثال، بالنسبة للمجموعة الخطية العامة GL، فإن الطارة القصوى هي المجموعة الفرعية D من المصفوفات القطرية القابلة للعكس، والتي يكون مُعَيِّرها هو مصفوفات التبديل المعممة (مصفوفات على شكل مصفوفات تبديل ، ولكن مع أي أعداد غير صفرية بدلًا من الرقم '1')، ومجموعة فايل الخاصة بها هي المجموعة المتناظرة . في هذه الحالة، ينقسم تطبيق القسمة N → N / T (عبر مصفوفات التبديل)، لذا فإن المُعَيِّر N هو حاصل ضرب شبه مباشر للطارة ومجموعة فايل، ويمكن التعبير عن مجموعة فايل كمجموعة فرعية من G. عمومًا، لا يكون هذا هو الحال دائمًا - فالقسمة لا تنقسم دائمًا، والمُعَيِّر N ليس دائمًا حاصل الضرب شبه المباشر لـ W و Z، ولا يمكن دائمًا تمثيل مجموعة فايل كمجموعة فرعية من G. ^{[ 5 ]}