فريد من نوعه بشكل أساسي

على أبسط المستويات، توجد مجموعة فريدة أساسًا لأي عدد معين من العناصر، سواء أطلقنا عليها أسماءً أم لا.${\displaystyle \{1,2,3\}}$أو${\displaystyle \{a,b,c\}}$في هذه الحالة، عدم تفرد التشاكل (على سبيل المثال، مطابقة 1 مع${\displaystyle a}$أو من 1 إلى${\displaystyle c}$) ينعكس في المجموعة المتناظرة .

من ناحية أخرى، توجد مجموعة مرتبة كليًا فريدة أساسًا لأي عدد أصلي محدود معطى، وهي فريدة حتى التشاكل الوحيد: إذا كتب المرء${\displaystyle \{1<2<3\}}$و${\displaystyle \{a<b<c\}}$إذاً، فإن التشاكل الوحيد الذي يحافظ على الترتيب هو التشاكل الذي يحول 1 إلى${\displaystyle a}$من 2 إلى${\displaystyle b}$و 3 إلى${\displaystyle c}$.

تنص النظرية الأساسية في الحساب على أن تحليل أي عدد صحيح موجب إلى عوامله الأولية هو أمر فريد أساساً، أي أنه فريد حتى ترتيب العوامل الأولية . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في سياق تصنيف الزمر ، توجد زمرة فريدة جوهريًا تحتوي على عنصرين فقط. ^{[ 3 ]} وبالمثل، توجد أيضًا زمرة فريدة جوهريًا تحتوي على ثلاثة عناصر فقط: الزمرة الدورية من الرتبة الثالثة. في الواقع، بغض النظر عن كيفية كتابة العناصر الثلاثة أو كيفية الإشارة إلى عملية الزمرة، يمكن إثبات أن جميع هذه الزمر متماثلة ، وبالتالي فهي "متطابقة".

من ناحية أخرى، لا توجد مجموعة فريدة جوهريًا تحتوي على 4 عناصر بالضبط، حيث توجد في هذه الحالة مجموعتان غير متماثلتين في المجموع: المجموعة الدورية من الرتبة 4 ومجموعة كلاين الرباعية . ^{[ 4 ]}

يوجد مقياس فريد أساسًا، ثابت تحت الإزاحة ، موجب تمامًا ، ومحدود محليًا على خط الأعداد الحقيقية . في الواقع، يجب أن يكون أي مقياس من هذا القبيل مضاعفًا ثابتًا لمقياس ليبيغ ، مما يُحدد أن قياس الفترة [0,1] يجب أن يكون 1 قبل تحديد الحل بشكل فريد.

يوجد فضاء ثنائي الأبعاد، مضغوط ، وبسيط الاتصال ، فريد من نوعه أساسًا : الكرة ثنائية الأبعاد . في هذه الحالة، يكون هذا الفضاء فريدًا حتى التشاكل الموضعي .

في مجال الطوبولوجيا المعروف بنظرية العقد ، يوجد نظير للنظرية الأساسية في الحساب: إن تحليل العقدة إلى مجموع من العقد الأولية هو أمر فريد بشكل أساسي. ^{[ 5 ]}

قد لا تكون المجموعة الفرعية المدمجة القصوى لمجموعة لي شبه البسيطة فريدة، ولكنها فريدة حتى الاقتران .

إن الكائن الذي يمثل النهاية أو النهاية المشتركة على مخطط معين يكون فريدًا بشكل أساسي، حيث يوجد تماثل فريد مع أي كائن آخر يمثل النهاية أو النهاية المشتركة. ^{[ 6 ]}

بالنظر إلى مهمة استخدام كلمات مكونة من 24 بت لتخزين 12 بت من المعلومات بطريقة تسمح باكتشاف أخطاء 4 بت وتصحيح أخطاء 3 بت، فإن الحل فريد بشكل أساسي: رمز غولاي الثنائي الموسع . ^{[ 7 ]}