العلاقة المالية

في الرياضيات ، تُعرَّف _{العلاقة} المنتهية على متتالية من المجموعات X₁ _, ..., Xₙ بأنها مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي X₁ _{× ...} × Xₙ ؛ أي أنها مجموعة من n - tuples ( x₁ _, ..., xₙ ₎ ، كل منها عبارة عن متتالية من العناصر xᵢ في _{المجموعة} المقابلة Xᵢ . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} عادةً، تصف العلاقة صلة محتملة بين عناصر n - tuple. على سبيل المثال، تتكون العلاقة " x يقبل القسمة على y _و z " من مجموعة الثلاثيات التي عند استبدالها بـ x و y و z ، على التوالي ، تجعل الجملة صحيحة.

يُطلق على العدد الصحيح غير السالب n الذي يُمثل عدد "المواضع" في العلاقة اسم رتبة العلاقة أو درجتها . وتُسمى العلاقة التي تحتوي على n "موضعًا" علاقة من الرتبة n ، أو علاقة من الرتبة n -adic، أو علاقة من الدرجة n . أما العلاقات التي تحتوي على عدد محدود من المواضع فتُسمى علاقات منتهية (أو ببساطة علاقات إذا كان السياق واضحًا). ومن الممكن أيضًا تعميم المفهوم ليشمل العلاقات غير المنتهية ذات المتتاليات غير المنتهية . ^{[ 4 ]}

عندما يُنظر إلى شيئين أو صفتين أو فئتين أو سمات، معًا من قبل العقل، تحت نوع من الارتباط، يُطلق على هذا الارتباط اسم علاقة.

بما أن التعريف يعتمد على المجموعات الأساسية X ₁ ، ... ، X _n ، يمكن تعريف R بشكل أكثر رسمية على أنه ( n + 1 )-tuple ( X ₁ ، ... ، X _n ، G ) ، حيث G ، التي تسمى الرسم البياني لـ R ، هي مجموعة فرعية من حاصل الضرب الديكارتي X ₁ × ... × X _n .

كما هو شائع في الرياضيات، يُستخدم الرمز نفسه للإشارة إلى الكائن الرياضي والمجموعة الأساسية، لذا فإن العبارة ( x1 _, ..., xn ) ∈ R تُستخدم غالبًا للدلالة على ( x1 , ..., xn ₎ ∈ G ، وتُقرأ " _{x1 ,} ..., xn _مرتبطة بـ R "، ويُرمز لها باستخدام الترميز البادئ بـ Rx1 ... xn _، وباستخدام الترميز اللاحق بـ _{x1 ...} xn _R. في حالة كون R علاقة ثنائية ، تُرمز هذه العبارات أيضًا _{باستخدام} الترميز _الوسطي بـ x1 _Rx2 .

تنطبق الاعتبارات التالية:

• تُسمى المجموعة X _i المجال i من R. ^{[ 1} ] في حالة كون R علاقة ثنائية، ^يُطلق على X 1 أيضًا ببساطة مجال _أو مجموعة انطلاق R ، ويُطلق على X 2 _أيضًا المجال المقابل أو مجموعة وجهة R.
• عندما تكون عناصر X _i عبارة عن علاقات، فإن X _i تسمى مجالًا غير بسيط لـ R. ^{[ 1 ]}
• _تُسمى مجموعة ∀ xᵢ _∈ Xᵢ التي تحقق Rxᵢ ₁ ⋯ xᵢ ₋₁ xᵢ _{xᵢ +1 ⋯} xⱼ _لواحد على الأقل من ₍ xᵢ 1 _, ..., xⱼ ) المجال i للتعريف أو المجال الفعال لـ R. ^[ 1 ^] في حالة كون R علاقة ثنائية، يُسمى مجال تعريفها الأول ببساطة _مجال التعريف أو المجال الفعال لـ R ، ويُسمى مجال تعريفها الثاني المجال المقابل للتعريف ^أو المجال المقابل الفعال لـ R.
• عندما يكون المجال i لتعريف العلاقة R مساويًا لـ X _i ، يُقال إن R علاقة كلية على مجالها i (أو على X _i ، إذا لم يكن ذلك غامضًا). في حالة كون R علاقة ثنائية، فعندما تكون R كلية على X ₁ ، يُقال أيضًا إنها كلية يسارية (أو متسلسلة ، في الحالة الخاصة حيث X ₁ = X ₂ )، وعندما تكون R كلية على X ₂ ، يُقال أيضًا إنها كلية يمينية أو شاملة .
• عندما يكون ∀ x ∀ y ∈ X _i . ∀ z ∈ X _j . xR _ij z ∧ yR _ij z ⇒ x = y ، حيث i ∈ I , j ∈ J , R _ij = π _ij R , و { I , J } هي تجزئة للمجموعة { 1, ..., n } ، يُقال إن R فريدة على { X _i } _{i ∈ I} ، وتُسمى { X _i } _{i ∈ J} مفتاحًا أساسيًا ^{[ 1 ]} لـ R. في حالة كون R علاقة ثنائية، عندما تكون R فريدة على { X ₁ } ، يُقال أيضًا إنها فريدة من اليسار أو أحادية ، وعندما تكون R فريدة على { X ₂ } ، يُقال أيضًا إنها أحادية القيمة أو فريدة من اليمين .
• عندما تكون جميع _عناصر Xᵢ هي نفس المجموعة X ، فمن الأسهل الإشارة إلى R على أنها علاقة من الرتبة n على X ، وتُسمى علاقة متجانسة . وبدون هذا القيد، تُسمى R علاقة غير متجانسة .
• عندما يكون أي من X _i فارغًا، يكون حاصل الضرب الديكارتي المحدد فارغًا، والعلاقة الوحيدة على مثل هذا التسلسل من المجالات هي العلاقة الفارغة R = ∅ .

لنفترض أن المجال البولياني B عبارة عن مجموعة ثنائية العناصر، ولتكن B = {0, 1} ، حيث يمكن تفسير عناصرها كقيم منطقية، عادةً 0 = خطأ و 1 = صحيح . الدالة المميزة لـ R ، والتي يُرمز لها بـ χR _، هي الدالة البوليانية χR : X1 _× ... × Xn → B ، والمُعرّفة كالتالي: _χR ( ₍ x1 , _... , xn ) _{) =} 1 إذا كان Rx1 ⋯ xn ، _و χR ( ( x1 _, ..., xn ₎ ) = 0 _{فيما عدا} ذلك .

في الرياضيات التطبيقية وعلوم الحاسوب والإحصاء ، يشيع الإشارة إلى الدالة ذات القيم المنطقية باسم المسند ذي الرتبة n . من منظور أكثر تجريدًا للمنطق الصوري ونظرية النماذج ، تُشكل العلاقة R نموذجًا منطقيًا أو بنية علائقية ، تُعدّ واحدة من التفسيرات الممكنة لرمز المسند ذي الرتبة n .

نظراً لظهور العلاقات في العديد من التخصصات العلمية، وكذلك في فروعٍ عديدة من الرياضيات والمنطق ، يوجد تباينٌ كبير في المصطلحات. فإلى جانب الامتداد النظري للمجموعات لمفهوم أو مصطلح علائقي ، يُمكن استخدام مصطلح "العلاقة" للإشارة إلى الكيان المنطقي المقابل، سواءً كان الفهم المنطقي ، وهو مجموع المقاصد أو الخصائص المجردة المشتركة بين جميع عناصر العلاقة، أو الرموز التي تدل على هذه العناصر والمقاصد. علاوةً على ذلك، يُقدّم بعض الكتّاب من هذا المنطلق مصطلحات ذات دلالاتٍ أكثر تحديداً (مثل "البنية العلائقية" للامتداد النظري للمجموعات لمفهوم علائقي مُحدد).

ضع في اعتبارك العلاقة الثلاثية R " x يعتقد أن y يحب z " على مجموعة الأشخاص P = { Alice, Bob, Charles, Denise } ، المعرفة على النحو التالي:

R = { (أليس، بوب، دينيس)، (تشارلز، أليس، بوب)، (تشارلز، تشارلز، أليس)، (دينيس، دينيس، دينيس) } .

يمكن تمثيل R بشكل مكافئ بالجدول التالي:

هنا، يُمثل كل صف ثلاثية من R ، أي أنه يُشكل عبارة على شكل " س يعتقد أن ص يُحب ع ". على سبيل المثال، ينص الصف الأول على أن "أليس تعتقد أن بوب يُحب دينيس". جميع الصفوف مُختلفة. ترتيب الصفوف غير مهم، لكن ترتيب الأعمدة مهم. ^{[ 1 ]}

يُعد الجدول أعلاه مثالًا بسيطًا لقاعدة بيانات علائقية ، وهو مجالٌ تستند نظريته إلى الجبر العلائقي ، وله تطبيقات في إدارة البيانات . ^{[ 6 ]} مع ذلك، يميل علماء الحاسوب والمنطق والرياضيات إلى امتلاك مفاهيم مختلفة حول ماهية العلاقة العامة، ومكوناتها. فعلى سبيل المثال، صُممت قواعد البيانات للتعامل مع البيانات التجريبية، وهي بطبيعتها محدودة، بينما في الرياضيات، تُؤخذ العلاقات ذات العدد اللانهائي من العناصر (أي العلاقة اللانهائية) في الاعتبار أيضًا.

كان عالم المنطق أوغسطس دي مورغان ، في عمل نُشر حوالي عام 1860، أول من صاغ مفهوم العلاقة بمعناه الحالي. كما أنه قدم أولى النتائج الرسمية في نظرية العلاقات (للاطلاع على المزيد حول دي مورغان والعلاقات، انظر ميريل 1990).

ساهم كل من تشارلز بيرس ، وغوتلوب فريجه ، وجورج كانتور ، وريتشارد ديديكيند ، وغيرهم في تطوير نظرية العلاقات. وقد لُخِّصت العديد من أفكارهم، لا سيما تلك المتعلقة بالعلاقات التي تُسمى بالرتب ، في كتاب "مبادئ الرياضيات " (1903)، حيث استفاد برتراند راسل من هذه النتائج بشكل كبير.

في عام 1970، اقترح إدغار كود نموذجًا علائقيًا لقواعد البيانات ، وبذلك استبق تطوير أنظمة إدارة قواعد البيانات . ^{[ 1 ]}