العلاقة الثلاثية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف العلاقة الثلاثية أو العلاقة الثلاثية بأنها علاقة منتهية يكون عدد عناصرها ثلاثة. ويمكن الإشارة إلى العلاقات الثلاثية أيضاً بالعلاقات الثلاثية الأبعاد أو العلاقات الثلاثية الموضعية .

وكما أن العلاقة الثنائية تُعرَّف رسميًا على أنها مجموعة من الأزواج ، أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي A × B لبعض المجموعات A و B ، فإن العلاقة الثلاثية هي مجموعة من الثلاثيات، تشكل مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي A × B × C لثلاث مجموعات A و B و C.

من أمثلة العلاقات الثلاثية في الهندسة الابتدائية ثلاثيات النقاط. في هذه الحالة، تنتمي الثلاثية (أ، ب، ج) إلى العلاقة الثلاثية إذا كانت النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم واحد. مثال هندسي آخر على العلاقات الثلاثية هو ثلاثيات تتكون من نقطتين وخط مستقيم. هنا، تنتمي الثلاثية (أ، ب، س) إلى العلاقة الثلاثية إذا كان الخط س يمر بالنقطتين أ و ب؛ أي إذا كانت النقطتان تُحددان الخط أو تقعان عليه.

أمثلة

الدوال الثنائية

الدالة f  : A × B → C في متغيرين، والتي تربط قيمتين من المجموعتين A و B ، على التوالي، بقيمة في C، تربط كل زوج ( a , b ) في A × B بالعنصر f ( a , b ) في C. لذلك، يتكون رسمها البياني من أزواج على الصورة (( a , b ), f ( a , b )) . غالبًا ما تُعرَّف هذه الأزواج، التي يكون العنصر الأول فيها زوجًا بحد ذاته، بالثلاثيات. هذا يجعل الرسم البياني للدالة f علاقة ثلاثية بين A و B و C ، تتكون من جميع الثلاثيات ( a , b , f ( a , b )) ، التي تحقق a في A و b في B و f ( a , b ) في C. [ 1 ]  

الطلبات الدورية

بفرض أي مجموعة A عناصرها مرتبة على دائرة، يمكن تعريف علاقة ثلاثية R على A ، أي مجموعة جزئية من A ، حيث 3 = A × A × A ، وذلك بتحديد أن R ( a , b , c ) تتحقق إذا وفقط إذا كانت العناصر a و b و c مختلفة مثنى مثنى، وعند الانتقال من a إلى c باتجاه عقارب الساعة، يمر المرء بالعنصر b . على سبيل المثال، إذا كانت A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} تمثل الساعات على وجه ساعة ، فإن R (8, 12, 4) تتحقق، بينما R (12, 8, 4) لا تتحقق.

علاقات الوساطة

علاقة التكافؤ الثلاثي

علاقة التطابق

التطابق العادي في العمليات الحسابية

أ≡ب(مودم){\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}

يمكن اعتبار العلاقة الثلاثية، التي تتحقق لثلاثة أعداد صحيحة a و b و m إذا وفقط إذا كان m يقسم a - b ، علاقةً ثلاثيةً من الناحية النظرية. مع ذلك، يُنظر إليها عادةً على أنها مجموعة من العلاقات الثنائية بين a و b ، مُفهرسةً بالمعيار m . لكل قيمة ثابتة لـ m ، تتمتع هذه العلاقة الثنائية ببعض الخصائص الطبيعية، مثل كونها علاقة تكافؤ ؛ بينما لا تُدرس العلاقة الثلاثية المُجمعة عمومًا كعلاقة واحدة.

علاقة الكتابة

تشير علاقة التصنيف Γ ⊢ e : σ إلى أن e هو مصطلح من النوع σ في السياق Γ ، وبالتالي فهي علاقة ثلاثية بين السياقات والمصطلحات والأنواع.

قواعد شرودر

بفرض وجود علاقات متجانسة A و B و C على مجموعة ما، يمكن تعريف علاقة ثلاثية ( A , B , C ) باستخدام تركيب العلاقات AB واحتواء AB ⊆ C. ضمن حساب العلاقات ، لكل علاقة A علاقة عكسية A <sub> T</sub> وعلاقة مكملة A <sub>A</sub> . باستخدام هذه العلاقات العكسية ، أثبت أوغسطس دي مورغان وإرنست شرودر أن ( A , B , C ) مكافئة لـ ( C , B<sub> T</sub> , A ) ومكافئة أيضًا لـ ( A <sub>T</sub> , C , B ) . تُسمى التكافؤات المتبادلة لهذه الأشكال، المُشتقة من العلاقة الثلاثية ( A , B , C )، بقواعد شرودر . [ 2 ]

مراجع

  1. ↑ جورج غراتزر (1979) الجبر الشامل ، الطبعة الثانية، صفحة 5، كتب سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90355-0
  2. ↑ شميدت، غونتر ؛ ستروهلين، توماس ( 1993)، العلاقات والرسوم البيانية ، كتب سبرينغر ، الصفحات 15-19 

للمزيد من القراءة

  • مايرز، ديل (1997)، "تماثل تفسيري بين العلاقات الثنائية والثلاثية"، في: ميتشيلسكي، يان؛ روزنبرغ، غريغورز؛ سالوما، أرتو (محررون)، هياكل في المنطق وعلوم الحاسوب ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد  1261، سبرينغر، الصفحات 84-105 ، doi : 10.1007/3-540-63246-8_6 ، ISBN  3-540-63246-8
  • نوفاك، فيتيزسلاف (1996)، “الهياكل الثلاثية والمجموعات شبه الجزئية”، مجلة الرياضيات التشيكوسلوفاكية ، 46 (1): 111– 120، hdl : 10338.dmlcz/127275
  • نوفاك، فيتيزسلاف؛ نوفوتني، ميروسلاف (1989)، “العلاقات الثلاثية المتعدية وشبه الترتيب”، أرشيف الرياضيات ، 25 ( 1– 2): 5–12 ، hdl : 10338.dmlcz/107333
  • نوفاك، فيتيزسلاف؛ نوفوتني، ميروسلاف (1992)، “العلاقات الثنائية والثلاثية”، Mathematica Bohemica ، 117 (3): 283–292 ، hdl : 10338.dmlcz/126278
  • Novotný، Miroslav (1991)، “Ternary Structures and groupoids”، مجلة الرياضيات التشيكوسلوفاكية ، 41 (1): 90–98 ، hdl : 10338.dmlcz/102437
  • Šlapal، Josef (1993)، “العلاقات والطوبولوجيات”، مجلة الرياضيات التشيكوسلوفاكية ، 43 (1): 141–150 ، hdl : 10338.dmlcz/128381