تكوين العلاقات

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 112 صور
الموسوعة الحرة
تعبيرR؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}( أسهم أرجوانية ) مثال على العلاقات الثنائيةR{\displaystyle R}( أحمر ) وS{\displaystyle S}( أزرق )

في رياضيات العلاقات الثنائية ، يُعد تركيب العلاقات بمثابة تكوين علاقة ثنائية جديدة.R؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}من علاقتين ثنائيتين معطيتينR{\displaystyle R}وS{\displaystyle S}في حساب العلاقات ، يُطلق على تركيب العلاقات اسم الضرب النسبي ، [ 1 ] وتُسمى نتيجته بالضرب النسبي . [ 2 ] : 40 يُعد تركيب الدوال حالة خاصة من تركيب العلاقات حيث تكون جميع العلاقات المعنية دوالًا .

تشير كلمة "عم" إلى علاقة مركبة: لكي يكون الشخص عمًا، يجب أن يكون أخًا لأحد الوالدين. في المنطق الجبري، يُقال إن العلاقة "عم لـ" (xيوz{\displaystyle xUz}) هو تركيب العلاقات "هو أخ لـ" (xبy{\displaystyle xBy}) و"هو أحد والدي" (yPz{\displaystyle yPz}). يو=ب؛P يعادل ما يلي: xيوz إذا وفقط إذا ∃y. xبy و yPz.{\displaystyle U=B\mathbin {;} P\quad {\text{ يكافئ: }}\quad xUz{\text{ إذا وفقط إذا }}\exists y.\ xBy{\text{ و }}yPz.}

ابتداءً من أوغسطس دي مورغان ، [ 3 ] تم دمج الشكل التقليدي للاستدلال بالقياس المنطقي في التعبيرات المنطقية العلائقية وتكوينها. [ 4 ]

تعريف

لوR⊆X×Y{\displaystyle R\subseteq X\times Y}وS⊆Y×Z{\displaystyle S\subseteq Y\times Z}إذا كان لدينا علاقتان ثنائيتان، فإن تركيبهماR؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}هل العلاقة R؛S={(x،z)∈X×Z: يوجد y∈Y بحيث (x،y)∈R و (y،z)∈S}.{\displaystyle R\mathbin {;} S=\{(x,z)\in X\times Z:{\text{ يوجد }}y\in Y{\text{ بحيث }}(x,y)\in R{\text{ و }}(y,z)\in S\}.}

بعبارة أخرى،R؛S⊆X×Z{\displaystyle R\mathbin {;} S\subseteq X\times Z}يتم تعريفها بالقاعدة التي تنص على(x،z)∈R؛S{\displaystyle (x,z)\in R\mathbin {;} S}إذا وفقط إذا كان هناك عنصرy∈Y{\displaystyle y\in Y}بحيثxRySz{\displaystyle x\,R\,y\,S\,z}(إنه، (x،y)∈R{\displaystyle (x,y)\in R}و(y،z)∈S{\displaystyle (y,z)\in S}). [ 5 ] : 13

اختلافات في التدوين

يعود استخدام الفاصلة المنقوطة كرمز وسطي لتركيب العلاقات إلى كتاب إرنست شرودر المدرسي الصادر عام 1895. [ 6 ] وقد أعاد غونتر شميدت إحياء استخدام الفاصلة المنقوطة، لا سيما في كتابه "الرياضيات العلائقية " (2011). [ 2 ] : 40 [ 7 ] ويتزامن استخدام الفاصلة المنقوطة مع رمز تركيب الدوال المستخدم (غالباً من قبل علماء الحاسوب) في نظرية الفئات ، [ 8 ] وكذلك رمز الربط الديناميكي ضمن الدلالات الديناميكية اللغوية . [ 9 ]

دائرة صغيرة(R∘S){\displaystyle (R\circ S)}استُخدمت هذه الطريقة في تدوين العلاقات باستخدام الترميز الوسطي من قِبل جون إم. هاوي في كتبه التي تتناول أنصاف مجموعات العلاقات. [ 10 ] ومع ذلك، تُستخدم الدائرة الصغيرة على نطاق واسع لتمثيل تركيب الدوال.ز(و(x))=(ز∘و)(x){\displaystyle g(f(x))=(g\circ f)(x)}، مما يعكس تسلسل النص عن تسلسل العملية. استُخدمت الدائرة الصغيرة في الصفحات التمهيدية لكتاب "الرسوم البيانية والعلاقات" [ 5 ] : 18 حتى تم الاستغناء عنها لصالح التراكب (بدون تدوين وسطي). التراكب(RS){\displaystyle (RS)}يُستخدم بشكل شائع في الجبر للدلالة على الضرب، وكذلك يمكن أن يدل على الضرب النسبي.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدام الرموز السفلية مع ترميز الدائرة. يفضل بعض المؤلفين [ 11 ] كتابة∘ل{\displaystyle \circ _{l}}و∘ر{\displaystyle \circ _{r}}بشكل صريح عند الضرورة، اعتمادًا على ما إذا كانت العلاقة اليسرى أو اليمنى هي التي يتم تطبيقها أولاً. وهناك اختلاف آخر يُصادف في علوم الحاسوب وهو ترميز Z :∘{\displaystyle \circ }يُستخدم الرمز ⨾ للدلالة على التركيب التقليدي (الأيمن)، بينما يُشار إلى التركيب الأيسر بفاصلة منقوطة سميكة. رموز يونيكود هي ⨾ و ⨟. [ 12 ] [ 13 ]

التعميمات الرياضية

العلاقات الثنائيةR⊆X×Y{\displaystyle R\subseteq X\times Y}هي التشكلاتR:X→Y{\displaystyle R:X\to Y}في فئة العلاقاتRهـل{\displaystyle {\mathsf {Rel}}}عناصرها هي مجموعات ، وتشاكلاتها هي علاقات ثنائية، وتركيب التشاكلات هو بالضبط تركيب العلاقات كما هو مُعرَّف أعلاه. فئة المجموعاتSهـت{\displaystyle {\mathsf {Set}}}تُعدّ المجموعات والدوال فئة فرعية منRهـل{\displaystyle {\mathsf {Rel}}}أين الخرائط X→Y{\displaystyle X\to Y}هي دوالو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}.

بالنظر إلى فئة منتظمةX{\displaystyle \mathbb {X} }، فئة علاقاتها الداخليةRهـل(X){\displaystyle {\mathsf {Rel}}(\mathbb {X} )}يحتوي على نفس العناصر مثل X{\displaystyle \mathbb {X} }لكن الآن التشكلات X→Y{\displaystyle X\to Y}يتم تحديدها بواسطة الكائنات الفرعيةR⊆X×Y{\displaystyle R\subseteq X\times Y}فيX{\displaystyle \mathbb {X} }[ 14 ] رسميًا، هذه عبارة عن نطاقات أحادية مشتركة بينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}تُعدّ فئات العلاقات الداخلية استعارات . على وجه الخصوصRهـل(Sهـت)≅Rهـل{\displaystyle {\mathsf {Rel}}({\mathsf {Set}})\cong {\mathsf {Rel}}}بالنظر إلى حقلك{\displaystyle k}(أو بشكل أعم مجال مثالي رئيسي )، فئة العلاقات الداخلية للمصفوفات علىك{\displaystyle k}،Rهـل(مأت(ك))،{\displaystyle {\mathsf {Rel}}({\mathsf {Mat}}(k)),}يحتوي على تشاكلاتن→م{\displaystyle n\to m}الفضاءات الفرعية الخطيةR⊆كن⊕كم{\displaystyle R\subseteq k^{n}\oplus k^{m}}. فئة العلاقات الخطية على الحقل المنتهيF2{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}متماثل مع حساب التفاضل والتكامل ZX للكيوبت الخالي من الطور modulo scalars.

ملكيات

  • تكوين العلاقات هو عملية ترابطية :R؛(S؛تي)=(R؛S)؛تي.{\displaystyle R\mathbin {;} (S\mathbin {;} T)=(R\mathbin {;} S)\mathbin {;} T.}
  • العلاقة العكسية لـR؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}يكون(R؛S)تي=Sتي؛Rتي.{\displaystyle (R\mathbin {;} S)^{\textsf {T}}=S^{\textsf {T}}\mathbin {;} R^{\textsf {T}}.}هذه الخاصية تجعل مجموعة جميع العلاقات الثنائية على مجموعة ما شبه مجموعة مع انعكاس .
  • إن تركيب الدوال (الجزئية) (أي العلاقات الوظيفية) هو أيضاً دالة (جزئية).
  • لوR{\displaystyle R}وS{\displaystyle S}إذا كانت حقنية ،R؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}وهي دالة حقنية، والتي على العكس من ذلك، بالإضافة إلى الشرط الذيS{\displaystyle S}كما أنه يُترك بالكامليتراوح(R){\displaystyle {\text{range}}(R)}[ 15 ] يشير إلى قابلية الحقن فقطR.{\displaystyle R.}
  • لوR{\displaystyle R}وS{\displaystyle S}إذا كانت شاملة ،R؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}هي شاملة، مما يعني بالعكس أن شمولية فقطS.{\displaystyle S.}
  • مجموعة العلاقات الثنائية على مجموعةX{\displaystyle X}(أي العلاقات منX{\displaystyle X}لX{\displaystyle X}) بالإضافة إلى تركيب العلاقات (اليسرى أو اليمنى) يشكل أحاديًا مع الصفر، حيث تكون دالة التطابق علىX{\displaystyle X}هو العنصر المحايد ، والمجموعة الفارغة هي العنصر الصفري .

التركيب بدلالة المصفوفات

تُمثَّل العلاقات الثنائية المحدودة بمصفوفات منطقية . وتكون عناصر هذه المصفوفات إما صفرًا أو واحدًا، اعتمادًا على ما إذا كانت العلاقة المُمثَّلة خاطئة أم صحيحة للصف والعمود المُقابلين للكائنات المُقارنة. ويتضمن التعامل مع هذه المصفوفات العمليات الحسابية المنطقية.1+1=1{\displaystyle 1+1=1}و1×1=1.{\displaystyle 1\times 1=1.}سيكون أحد عناصر حاصل ضرب مصفوفتين منطقيتين هو1{\displaystyle 1}إذن، فقط إذا كان للصف والعمود المضروبين قيمة مقابلة1{\displaystyle 1}وبالتالي، يمكن إيجاد المصفوفة المنطقية لتركيب العلاقات بحساب حاصل ضرب المصفوفات التي تمثل عوامل التركيب. "تشكل المصفوفات طريقة لحساب الاستنتاجات التي يتم التوصل إليها تقليديًا عن طريق القياسات المنطقية الافتراضية والسوريتات ." [ 16 ]

العلاقات غير المتجانسة

لنفترض وجود علاقة غير متجانسةR⊆أ×ب{\displaystyle R\subseteq A\times B}أي حيثأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}قد تكون مجموعات متميزة. ثم باستخدام تركيب العلاقةR{\displaystyle R}مع عكسهRتي،{\displaystyle R^{\textsf {T}},}توجد علاقات متجانسةR؛Rتي{\displaystyle R\mathbin {;} R^{\textsf {T}}}(علىأ{\displaystyle A}) وRتي؛R{\displaystyle R^{\textsf {T}}\mathbin {;} R}(علىب{\displaystyle B}).

إن كان ذلك للجميعx∈أ{\displaystyle x\in A}يوجد بعضy∈ب،{\displaystyle y\in B,}بحيثxRy{\displaystyle xRy}(إنه،R{\displaystyle R}إذا كانت علاقة كلية (يسارية) ، فعندئذٍ لكلx{\displaystyle x}،xR؛Rتيx{\displaystyle xR\mathbin {;} R^{\textsf {T}}x}لهذا السبب.R؛Rتي{\displaystyle R\mathbin {;} R^{\textsf {T}}}هي علاقة انعكاسية أوأنا⊆R؛Rتي{\displaystyle \mathrm {I} \subseteq R\mathbin {;} R^{\textsf {T}}}حيث I هي علاقة الهوية{(x،x):x∈أ}.{\displaystyle \{(x,x):x\in A\}.}وبالمثل، إذاR{\displaystyle R}إذا كانت علاقة شاملةRتي؛R⊇أنا={(x،x):x∈ب}.{\displaystyle R^{\textsf {T}}\mathbin {;} R\supseteq \mathrm {I} =\{(x,x):x\in B\}.} في هذه الحالةR⊆R؛Rتي؛R.{\displaystyle R\subseteq R\mathbin {;} R^{\textsf {T}}\mathbin {;} R.}يحدث التضمين المعاكس في حالة العلاقة ثنائية الوظيفة .

التركيبR¯تي؛R{\displaystyle {\bar {R}}^{\textsf {T}}\mathbin {;} R}يُستخدم لتمييز العلاقات من نوع فيرير، والتي تُحققR؛R¯تي؛R=R.{\displaystyle R\mathbin {;} {\bar {R}}^{\textsf {T}}\mathbin {;} R=R.}

مثال

يتركأ={\displaystyle A=}{فرنسا، ألمانيا، إيطاليا، سويسرا} وب={\displaystyle B=}{ الفرنسية، الألمانية، الإيطالية } مع العلاقةR{\displaystyle R}مقدم منأRب{\displaystyle aRb}متىب{\displaystyle b}هي اللغة الوطنية لـأ.{\displaystyle a.} منذ كلأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}محدود،R{\displaystyle R}يمكن تمثيلها بواسطة مصفوفة منطقية ، بافتراض أن الصفوف (من الأعلى إلى الأسفل) والأعمدة (من اليسار إلى اليمين) مرتبة أبجديًا: (100010001111).{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}

العلاقة العكسيةRتي{\displaystyle R^{\textsf {T}}}يتوافق مع المصفوفة المنقولة ، وعلاقة التركيبRتي؛R{\displaystyle R^{\textsf {T}};R}يتوافق مع حاصل ضرب المصفوفاتRتيR{\displaystyle R^{\textsf {T}}R}عندما يتم تنفيذ عملية الجمع باستخدام الفصل المنطقي . اتضح أن3×3{\displaystyle 3\times 3}مصفوفةRتيR{\displaystyle R^{\textsf {T}}R}يحتوي على الرقم 1 في كل موضع، بينما يتم حساب حاصل ضرب المصفوفة المعكوسة على النحو التالي: RRتي=(1001010100111111).{\displaystyle RR^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}}.} هذه المصفوفة متناظرة، وتمثل علاقة متجانسة علىأ.{\displaystyle A.}

وبالمثل،Rتي؛R{\displaystyle R^{\textsf {T}}\,;R}هي العلاقة العالمية علىب،{\displaystyle B,}وبالتالي، فإن أي لغتين تشتركان في دولة واحدة حيث تُتحدث كلتاهما (في الواقع: سويسرا). وعلى العكس من ذلك، يمكن الإجابة على سؤال ما إذا كانت دولتان معينتان تشتركان في لغة واحدة باستخدامR؛Rتي.{\displaystyle R\,;R^{\textsf {T}}.}

قواعد شرودر

بالنسبة لمجموعة معينةV،{\displaystyle V,}مجموعة جميع العلاقات الثنائية علىV{\displaystyle V}يشكل شبكة منطقية مرتبة حسب التضمين(⊆).{\displaystyle (\subseteq ).}تذكر أن التكامل يعكس الاحتواء: أ⊆ب يشير إلى ب∁⊆أ∁.{\displaystyle A\subseteq B{\text{ implies }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.} في حساب العلاقات [ 17 ] من الشائع تمثيل مكمل المجموعة بواسطة خط علوي:أ¯=أ∁.{\displaystyle {\bar {A}}=A^{\complement }.}

لوS{\displaystyle S}هي علاقة ثنائية، لنفترضSتي{\displaystyle S^{\textsf {T}}}تمثل العلاقة العكسية ، والتي تسمى أيضًا العلاقة المنقولة . ثم تكون قواعد شرودر هي سؤال؛R⊆S يعادل سؤالتي؛S¯⊆R¯ يعادل S¯؛Rتي⊆سؤال¯.{\displaystyle Q\mathbin {;} R\subseteq S\quad {\text{ is equivalent to }}\quad Q^{\textsf {T}}\mathbin {;} {\bar {S}}\subseteq {\bar {R}}\quad {\text{ is equivalent to }}\quad {\bar {S}}\mathbin {;} R^{\textsf {T}}\subseteq {\bar {Q}}.} لفظيًا، يمكن الحصول على تكافؤ من آخر: اختر العامل الأول أو الثاني وقم بتبديله؛ ثم أكمل العلاقتين الأخريين وقم بتبديلهما. [ 5 ] : 15-19

على الرغم من أن هذا التحول المتمثل في تضمين تركيب العلاقات قد تم تفصيله بواسطة إرنست شرودر ، إلا أن أوغسطس دي مورغان هو أول من صاغ هذا التحول كنظرية K في عام 1860. [ 4 ] وقد كتب [ 18 ]ل؛م⊆شمال يشير إلى شمال¯؛متي⊆ل¯.{\displaystyle L\mathbin {;} M\subseteq N{\text{ implies }}{\bar {N}}\mathbin {;} M^{\textsf {T}}\subseteq {\bar {L}}.}

باستخدام قواعد شرودر والمكملة، يمكن إيجاد علاقة غير معروفةX{\displaystyle X}فيما يتعلق بالإضافات مثل R؛X⊆SوX؛R⊆S.{\displaystyle R\mathbin {;} X\subseteq S\quad {\text{and}}\quad X\mathbin {;} R\subseteq S.} على سبيل المثال، وفقًا لقاعدة شرودرR؛X⊆S يشير إلى Rتي؛S¯⊆X¯،{\displaystyle R\mathbin {;} X\subseteq S{\text{ implies }}R^{\textsf {T}}\mathbin {;} {\bar {S}}\subseteq {\bar {X}},}والتكامل يعطيX⊆Rتي؛S¯¯،{\displaystyle X\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}\mathbin {;} {\bar {S}}}},}والذي يُطلق عليه اسم الباقي الأيسر لـS{\displaystyle S}بواسطةR{\displaystyle R}.

حاصل القسمة

كما أن تركيب العلاقات هو نوع من الضرب ينتج عنه ناتج، فإن بعض العمليات تُقارن بالقسمة وتُنتج نواتج قسمة. تُعرض هنا ثلاثة أنواع من نواتج القسمة: الباقي الأيسر، والباقي الأيمن، والباقي المتناظر. يُعرَّف الباقي الأيسر لعلاقتين بافتراض أن لهما نفس المجال (المصدر)، بينما يُفترض أن الباقي الأيمن لهما نفس المجال المقابل (المدى، الهدف). أما الباقي المتناظر فيفترض أن للعلاقتين نفس المجال والمجال المقابل.

التعريفات:

  • الباقي الأيسر:أ∖ب:=أتي؛ب¯¯{\displaystyle A\backslash B\mathrel {:=} {\overline {A^{\textsf {T}}\mathbin {;} {\bar {B}}}}}[ 19 ]
  • الباقي الأيمن:د/ج:=د¯؛جتي¯{\displaystyle D/C\mathrel {:=} {\overline {{\bar {D}}\mathbin {;} C^{\textsf {T}}}}}
  • القسمة المتناظرة:syq⁡(هـ،F):=هـتي؛F¯¯∩هـ¯تي؛F¯{\displaystyle \operatorname {syq} (E,F)\mathrel {:=} {\overline {E^{\textsf {T}}\mathbin {;} {\bar {F}}}}\cap {\overline {{\bar {E}}^{\textsf {T}}\mathbin {;} F}}}

باستخدام قواعد شرودر،أ؛X⊆ب{\displaystyle A\mathbin {;} X\subseteq B}يعادلX⊆أ∖ب.{\displaystyle X\subseteq A\backslash B.}وبالتالي فإن الباقي الأيسر هو أكبر علاقة تحققأ؛X⊆ب.{\displaystyle A\mathbin {;} X\subseteq B.}وبالمثل، فإن الإدراجY؛ج⊆د{\displaystyle Y\mathbin {;} C\subseteq D}يعادلY⊆د/ج،{\displaystyle Y\subseteq D/C,}والباقي الأيمن هو العلاقة الأكثر إرضاءًY؛ج⊆د.{\displaystyle Y\mathbin {;} C\subseteq D.}[ 2 ] : 43-6

يمكن للمرء أن يمارس منطق البواقي باستخدام لعبة سودوكو .

الانضمام: شكل آخر من أشكال التأليف الموسيقي

مشغل رافعة شوكية(<){\displaystyle (<)}تم إدخالها لدمج علاقتينج:ح→أ{\displaystyle c:H\to A}ود:ح→ب{\displaystyle d:H\to B}داخلج(<)د:ح→أ×ب.{\displaystyle c\,(<)\,d:H\to A\times B.}يعتمد البناء على التوقعاتأ:أ×ب→أ{\displaystyle a:A\times B\to A}وب:أ×ب→ب،{\displaystyle b:A\times B\to B,}يُفهم ذلك على أنه علاقات، بمعنى أن هناك علاقات عكسيةأتي{\displaystyle a^{\textsf {T}}}وبتي.{\displaystyle b^{\textsf {T}}.}ثمشوكة منج{\displaystyle c}ود{\displaystyle d}يتم تحديده بواسطة [ 20 ]ج(<)د := ج؛أتي∩ د؛بتي.{\displaystyle c\,(<)\,d~\mathrel {:=} ~c\mathbin {;} a^{\textsf {T}}\cap \ d\mathbin {;} b^{\textsf {T}}.}

شكل آخر من أشكال تركيب العلاقات، والذي ينطبق على العمومياتن{\displaystyle n}- العلاقات المكانية لـن≥2،{\displaystyle n\geq 2,}تُعرف عملية الربط في الجبر العلائقي باسم " join" . ويمكن الحصول على التركيب المعتاد لعلاقتين ثنائيتين، كما هو مُعرّف هنا، من خلال عملية الربط بينهما، مما يؤدي إلى علاقة ثلاثية، متبوعةً بعملية إسقاط تُزيل العنصر الأوسط. على سبيل المثال، في لغة الاستعلام SQL، توجد عملية الربط (SQL) .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بيارني جونسون (1984) "الجبر الأقصى للعلاقات الثنائية"، في مساهمات في نظرية الزمر ، تحرير كي آي أبيل، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-5035-0
  2. 1 2 3 غونتر شميدت (2011) الرياضيات العلائقية ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 132، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-76268-7
  3. ↑ أ. دي مورغان (1860) "حول القياس المنطقي: الجزء الرابع وحول منطق العلاقات"
  4. 1 2 دانيال د. ميريل (1990) أوغسطس دي مورغان ومنطق العلاقات ، صفحة 121، كلوير أكاديميك ISBN 9789400920477
  5. 1 2 3 غونتر شميدت وتوماس سترولين (1993) العلاقات والرسوم البيانية ، كتب سبرينغر
  6. ^ إرنست شرودر (1895) الجبر ومنطق النسبية
  7. ↑ بول تايلور (1999). الأسس العملية للرياضيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 24. ISBN  978-0-521-63107-5.تتوفر نسخة مجانية من الكتاب بصيغة HTML على الرابط التالي: http://www.cs.man.ac.uk/~pt/Practical_Foundations/
  8. ↑ مايكل بار وتشارلز ويلز (1998) نظرية الفئات لعلماء الحاسوب، مؤرشف في 4 مارس 2016 على موقع Wayback Machine ، الصفحة 6، من جامعة ماكجيل
  9. ↑ ريك نوين وآخرون (2016) الدلالات الديناميكية §2.2، من موسوعة ستانفورد للفلسفة
  10. ↑ جون م. هاوي (1995) أساسيات نظرية شبه الزمر ، صفحة 16، سلسلة دراسات الجمعية اللينية رقم 12، مطبعة كلارندون، رقم ISBN 0-19-851194-9
  11. ^ كيلب، كناور وميخاليف، ص. 7
  12. ^ ISO/IEC 13568:2002(E)، ص. 23
  13. ↑ انظر U+2A3E و U+2A1F على موقع FileFormat.info
  14. ↑ "العلاقات الداخلية" . nlab . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 سبتمبر 2023 .
  15. ↑ انظر إلى الصورة للاطلاع على مثال حيثR؛S{\displaystyle R\mathbin {;} S}هو حقني، لكنR{\displaystyle R}ليس
  16. ↑ إيرفينغ كوبيلويش (ديسمبر 1948) "تطوير المصفوفات لحساب العلاقات"، مجلة المنطق الرمزي 13(4): 193-203، رابط JSTOR ، اقتباس من الصفحة 203
  17. ↑ فوغان برات، أصول حساب العلاقات ، من جامعة ستانفورد
  18. ↑ أشار دي مورغان إلى المتضادات بالأحرف الصغيرة، والتحويل بـ M −1 ، والإدراج بـ ))، لذا كانت صيغتهنم-1)) ل.{\displaystyle nM^{-1}))\ l.}
  19. ↑ لا ينبغي الخلط بينه وبين فرق المجموعة
  20. ↑ غونتر شميدت ومايكل وينتر (2018): الطوبولوجيا العلائقية ، صفحة 26، سلسلة محاضرات في الرياضيات ، المجلد 2208، منشورات سبرينغر ، رقم ISBN 978-3-319-74451-3

مراجع

  • M. Kilp، U. Knauer، AV Mikhalev (2000) Monooids، Acts and Categories مع تطبيقات على منتجات الإكليل والرسوم البيانية ، De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, والتر دي جرويتر , ISBN 3-11-015248-7.