هيكل الحدوث

أمثلة على هياكل الوقوع: المثال 1: النقاط والخطوط في المستوى الإقليدي (أعلى) المثال 2: النقاط والدوائر (وسط)، المثال 3: هيكل وقوع محدود محدد بواسطة مصفوفة وقوع (أسفل)

في الرياضيات ، يُعرَّف التركيب الإسقاطي بأنه نظام مجرد يتكون من نوعين من الكائنات وعلاقة واحدة بينهما. لنفترض أن النقاط والخطوط في المستوى الإقليدي هما النوعان من الكائنات ، ولنتجاهل جميع خصائص هذا الشكل الهندسي باستثناء العلاقة بين النقاط والخطوط التي تقع عليها. ما يتبقى هو التركيب الإسقاطي للمستوى الإقليدي.

تُدرس بنى التلاقي غالبًا في السياق الهندسي، حيث تُستخلص من المستويات (مثل المستويات الأفينية والإسقاطية ومستويات موبيوس ) وتُعممها، إلا أن المفهوم واسع جدًا ولا يقتصر على السياقات الهندسية. فحتى في السياق الهندسي، لا تقتصر بنى التلاقي على النقاط والخطوط فحسب، بل يمكن استخدام كائنات ذات أبعاد أعلى ( المستويات ، والمجسمات ، والفضاءات $متعددة الأبعاد ، والقطوع$ المخروطية ، إلخ). ويُطلق على دراسة البنى المحدودة أحيانًا اسم الهندسة المحدودة . ^[¹^]

التعريف الرسمي والمصطلحات

بنية التداخل هي ثلاثية ( $P, L, I$ ) حيث $P$ مجموعة عناصرها نقاط ، و $L$ مجموعة مميزة عناصرها خطوط ، و $I \subseteq P \times L$ علاقة التداخل . تُسمى عناصر $I$ أعلامًا. إذا كانت النقطة ( $p$ $,$ $l$ ) تنتمي إلى $I$ ، فيمكن القول إن النقطة $p$ "تقع على" الخط $l$ أو أن الخط $l$ "يمر عبر" النقطة $p$ . ولبيان طبيعة هذه العلاقة المتناظرة ، يُستخدم مصطلح " $p$ متداخلة مع $l$ " أو " $l$ متداخلة مع $p "$ ، ويُستخدم الرمز $p$ $\in$ $I$ ∈ I كمرادف لـ $($ $p$ $,$ $l$ $) \in$ $I.$ ^[²^]

في بعض الحالات الشائعة، قد تكون $L$ مجموعة من المجموعات الجزئية من $P،$ وفي هذه الحالة يكون الاحتواء $I هو الاحتواء ($ $p \in l$ إذا وفقط إذا كان $p$ عنصرًا من $l$ ). تُسمى هياكل الاحتواء من هذا النوع بالهياكل النظرية للمجموعات . ^{[ 3 ]} ليس هذا هو الحال دائمًا، على سبيل المثال، إذا كانت $P$ مجموعة من المتجهات و $L$ مجموعة من المصفوفات المربعة ، فيمكننا تعريف $I=\{(v,M):{\vec {v}}{\text{ هو متجه ذاتي للمصفوفة }}M\}.$ يوضح هذا المثال أيضًا أنه على الرغم من استخدام اللغة الهندسية للنقاط والخطوط، إلا أن أنواع الكائنات لا يجب أن تكون هذه الكائنات الهندسية.

أمثلة

بعض الأمثلة على هياكل الحدوث

تكون بنية التقاطع منتظمة إذا كان كل خط يتقاطع مع نفس عدد النقاط. كل هذه الأمثلة، باستثناء المثال الثاني، منتظمة بثلاث نقاط لكل خط.

الرسوم البيانية

أي رسم بياني (ليس بالضرورة أن يكون بسيطًا ؛ يُسمح بالحلقات والحواف المتعددة ) هو بنية تداخل منتظمة بنقطتين لكل خط. في هذه الأمثلة، تُشكّل رؤوس الرسم البياني مجموعة النقاط، وتُشكّل حواف الرسم البياني مجموعة الخطوط، والتداخل يعني أن الرأس هو نقطة نهاية لحافة.

الفضاءات الخطية

نادرًا ما تُدرس هياكل الوقوع في عموميتها الكاملة؛ فمن الشائع دراسة هياكل الوقوع التي تُحقق بعض البديهيات الإضافية. على سبيل المثال، الفضاء الخطي الجزئي هو هيكل وقوع يُحقق ما يلي:

تقع أي نقطتين مختلفتين على خط مشترك واحد على الأكثر، و
كل خط يمر بنقطتين على الأقل.

إذا تم استبدال البديهية الأولى أعلاه بالبديهية الأقوى:

أي نقطتين مختلفتين تقعان على خط مشترك واحد فقط،

يُطلق على بنية الوقوع اسم الفضاء الخطي . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

الشباك

مثال أكثر تخصصًا هو الشبكة $k$ . وهي بنية تداخلية تُصنّف فيها الخطوط إلى $k$ فئة متوازية ، بحيث لا يشترك خطان في نفس الفئة المتوازية في أي نقطة، بينما يشترك خطان في فئتين مختلفتين في نقطة واحدة فقط، وتنتمي كل نقطة إلى خط واحد فقط من كل فئة متوازية. ومن أمثلة الشبكة $k$ مجموعة نقاط المستوى الأفيني مع $k$ فئة متوازية من الخطوط الأفينية.

هيكل مزدوج

إذا قمنا بتبديل دور "النقاط" و"الخطوط" في $C=(P,L,I)$ نحصل على البنية الثنائية ، $C^{*}=(L,P,I^{*})$ حيث $I *$ هي العلاقة العكسية لـ $I.$ ويترتب على التعريف مباشرة ما يلي: $C^{**}=C$

هذه نسخة مجردة من الازدواجية الإسقاطية . ^{[ 2 ]}

يُطلق على البنية $C$ المتماثلة مع بنيتها الثنائية $C$ $*$ اسم البنية الثنائية الذاتية . المستوى فانو أعلاه هو بنية تداخل ثنائية ذاتية.

مصطلحات أخرى

مفهوم بنية الوقوع بسيط للغاية، وقد ظهر في العديد من التخصصات، حيث قدم كل تخصص مصطلحاته الخاصة وحدد أنواع الأسئلة التي تُطرح عادةً حول هذه البنى. تستخدم بنى الوقوع مصطلحات هندسية، ولكنها في نظرية المخططات تُعرف باسم المخططات الفائقة ، وفي نظرية التصميم التوافقي تُعرف باسم التصاميم الكتلية . كما تُعرف أيضًا باسم نظام المجموعات أو عائلة المجموعات في سياق عام.

الرسوم البيانية الفائقة

يمكن اعتبار كل مخطط فائق أو نظام مجموعات بمثابة بنية تداخل حيث تلعب المجموعة الشاملة دور "النقاط"، وتلعب عائلة المجموعات الجزئية المقابلة دور "الخطوط"، وتكون علاقة التداخل هي انتماء المجموعة " $\in$ ". وعلى العكس من ذلك، يمكن اعتبار كل بنية تداخل بمثابة مخطط فائق من خلال تحديد الخطوط بمجموعات النقاط المتداخلة معها.

تصاميم الكتل

التصميم الكتلي (العام) هو مجموعة $X$ مع عائلة $F$ من المجموعات الجزئية من $X$ (يُسمح بتكرار المجموعات الجزئية). عادةً ما يُشترط في التصميم الكتلي استيفاء شروط الانتظام العددي. كبنية وقوع، $X$ هي مجموعة النقاط و $F$ هي مجموعة الخطوط، والتي تُسمى عادةً كتلًا في هذا السياق (يجب أن يكون للكتل المتكررة أسماء مميزة، لذا فإن $F$ هي في الواقع مجموعة وليست مجموعة متعددة). إذا كانت جميع المجموعات الجزئية في $F$ متساوية في الحجم، يُسمى التصميم الكتلي منتظمًا . إذا ظهر كل عنصر من $X$ في نفس عدد المجموعات الجزئية، يُقال إن التصميم الكتلي منتظم . التصميم الثنائي للتصميم المنتظم هو تصميم منتظم، والعكس صحيح.

مثال: طائرة فانو

ضع في اعتبارك تصميم الكتلة/الرسم البياني الفائق الموضح في: ${\begin{aligned}P&=\{1,2,3,4,5,6,7\},\\[2pt]L&=\left\{{\begin{array}{ll}\{1,2,3\},&\{1,4,5\},\\\{1,6,7\},&\{2,4,6\},\\\{2,5,7\},&\{3,4,7\},\\\{3,5,6\}\end{array}}\right\}.\end{aligned}}$

يُطلق على هذا الهيكل المتداخل اسم مستوى فانو . وهو، كتصميم كتلي، منتظم ومتجانس.

في التسمية المعطاة، تمثل الخطوط تحديدًا مجموعات جزئية من النقاط تتكون من ثلاث نقاط مجموع تسمياتها يساوي صفرًا باستخدام عملية الجمع البسيطة . وبعبارة أخرى، يمكن تمثيل كل عدد، عند كتابته بالنظام الثنائي ، بمتجه غير صفري طوله ثلاثة على الحقل الثنائي . ثلاثة متجهات تولد فضاءً جزئيًا تُشكل خطًا؛ في هذه الحالة، يكون مجموعها المتجهي مساويًا للمتجه الصفري.

التمثيلات

يمكن تمثيل هياكل الوقوع بطرق عديدة. إذا كانت المجموعتان $P$ و $L$ محدودتين، فإن هذه التمثيلات تستطيع ترميز جميع المعلومات ذات الصلة بالهيكل بشكل مضغوط.

مصفوفة الحدوث

مصفوفة الوقوع لبنية وقوع (محدودة) هي مصفوفة (0,1) تُفهرس صفوفها بالنقاط ${pi} وأعمدتها$ بالخطوط ${lj} ،$ حيث يكون العنصر $ij$ مساويًا لـ 1 إذا كان $pi \in lj ،$ و0 فيما عدا ذلك. $[$ ^{أ ] لا} تُحدد مصفوفة الوقوع بشكل فريد لأنها تعتمد على الترتيب العشوائي للنقاط والخطوط. ^{[ 6 ]}

يُعطى هيكل التواجد غير المنتظم الموضح أعلاه (المثال رقم 2) بواسطة: ${\begin{aligned}P&=\{A,B,C,D,E,P\}\\[2pt]L&=\left\{{\begin{array}{ll}l=\{C,P,E\},&m=\{P\},\\n=\{P,D\},&o=\{P,A\},\\p=\{A,B\},&q=\{P,B\}\end{array}}\right\}\end{aligned}}$

مصفوفة الحدوث لهذا الهيكل هي: ${\begin{pmatrix}0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&1\end{pmatrix}}$ وهو ما يتوافق مع جدول الحدوث:

$أنا$	$ل$	$م$	$ن$	$o$	$ص$	$q$
$أ$	0	0	0	1	1	0
$ب$	0	0	0	0	1	1
$ج$	1	0	0	0	0	0
$د$	0	0	1	0	0	0
$هـ$	1	0	0	0	0	0
$P$	1	1	1	1	0	1

إذا كان لهيكل وقوع $C$ مصفوفة وقوع $M$ ، فإن الهيكل المزدوج $C *$ له مصفوفة النقل $M$ ^T كمصفوفة وقوعه (ويتم تعريفه بواسطة تلك المصفوفة).

تكون بنية الوقوع ذاتية التناظر إذا كان هناك ترتيب للنقاط والخطوط بحيث تكون مصفوفة الوقوع التي تم إنشاؤها بهذا الترتيب مصفوفة متناظرة .

باستخدام التسميات كما هو موضح في المثال رقم 1 أعلاه، ومع ترتيب النقاط $A و B و C و D و G و F و E$ ، وترتيب الخطوط $l و p و n و s و r و m و q$ ، فإن مستوى فانو له مصفوفة الوقوع التالية: ${\begin{pmatrix}1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&1&0&0&1\\0&0&1&0&1&1&0\end{pmatrix}}.$ بما أن هذه مصفوفة متناظرة، فإن مستوى فانو هو بنية تداخل ذاتي مزدوج.

التمثيلات التصويرية

يُنشأ شكل التلاقي (أي تمثيل بنية التلاقي) بتمثيل النقاط بنقاط في مستوى، مع وجود وسيلة بصرية لتوصيل هذه النقاط لتكوين خطوط. ^{[ 6 ]} يمكن وضع النقاط بأي شكل، فلا توجد قيود على المسافات بين النقاط أو أي علاقات بينها. في بنية التلاقي، لا يوجد مفهوم لوجود نقطة بين نقطتين أخريين؛ فترتيب النقاط على الخط غير مُحدد. قارن هذا بالهندسة المرتبة ، التي تتضمن مفهوم الوساطة. وينطبق الأمر نفسه على تمثيل الخطوط. على وجه الخصوص، لا يشترط تمثيل الخطوط بـ"قطع مستقيمة" (انظر الأمثلة 1 و3 و4 أعلاه). وكما هو الحال مع التمثيل التصويري للرسوم البيانية ، فإن تقاطع "خطين" في أي مكان آخر غير نقطة لا معنى له من حيث بنية التلاقي؛ إنه مجرد مصادفة في التمثيل. قد تُشبه أشكال التلاقي هذه الرسوم البيانية أحيانًا، لكنها ليست رسومًا بيانية إلا إذا كانت بنية التلاقي رسمًا بيانيًا.

إمكانية التحقيق

يمكن نمذجة هياكل التلاقي باستخدام النقاط والمنحنيات في المستوى الإقليدي ، مع مراعاة المعنى الهندسي المعتاد للتلاقي. بعض هياكل التلاقي تقبل التمثيل باستخدام النقاط والخطوط (المستقيمة). تُسمى الهياكل التي يمكن تمثيلها بهياكل قابلة للتحقيق . إذا لم يُذكر فضاء محيط، يُفترض استخدام المستوى الإقليدي. مستوى فانو (المثال 1 أعلاه) غير قابل للتحقيق لأنه يحتاج إلى منحنى واحد على الأقل. تكوين موبيوس-كانتور (المثال 4 أعلاه) غير قابل للتحقيق في المستوى الإقليدي، ولكنه قابل للتحقيق في المستوى المركب . ^{[ 7 ]} من ناحية أخرى، المثالان 2 و5 أعلاه قابلان للتحقيق، وتُظهر أشكال التلاقي الواردة فيهما ذلك. بيّن شتاينيتز (1894) ^{[ 8 ]} أن التكوينات من $الرتبة$ $n³$ (هياكل التلاقي التي تحتوي على $n$ نقطة و $n$ خط، ثلاث نقاط لكل خط وثلاثة خطوط تمر بكل نقطة) إما قابلة للتحقيق أو تتطلب استخدام خط منحني واحد فقط في تمثيلاتها. ^{[ 9 ]} مستوى فانو هو الوحيد ( $73$ ) وتكوين موبيوس-كانتور هو الوحيد ( $83$ ).

رسم بياني للحالات (رسم بياني ليفي)

كل بنية وقوع $C$ تُقابلها رسم بياني ثنائي الأجزاء يُسمى رسم ليفي البياني أو رسم وقوع البنية. وبما أن أي رسم بياني ثنائي الأجزاء قابل للتلوين بلونين، يُمكن تلوين رؤوس رسم ليفي البياني بالأبيض والأسود ، حيث تُمثل الرؤوس السوداء النقاط، بينما تُمثل الرؤوس البيضاء الخطوط في $C.$ وتُمثل حواف هذا الرسم البياني أعلام بنية الوقوع (أزواج النقاط/الخطوط). كان رسم ليفي البياني الأصلي هو رسم وقوع الشكل الرباعي المعمم من الرتبة الثانية (المثال 3 أعلاه)، ^{[ 10 ]} ولكن تم توسيع المصطلح بواسطة HSM Coxeter ^{[ 11 ]} ليشمل رسم وقوع أي بنية وقوع. ^{[ 12 ]}

أمثلة على رسم بياني ليفي

مخطط ليفي لمستوى فانو هو مخطط هيوود . ولأن مخطط هيوود متصل ومتعدٍّ على الرؤوس ، فإنه يوجد تماثل ذاتي (مثل التماثل المُعرَّف بالانعكاس حول المحور الرأسي في شكل مخطط هيوود) يُبدِّل الرؤوس السوداء والبيضاء. وهذا بدوره يعني أن مستوى فانو ثنائي ذاتيًا.

يوضح التمثيل المحدد، على اليسار، لمخطط ليفي لتكوين موبيوس-كانتور (المثال 4 أعلاه) أن دورانًا بمقدار $π /4$ حول مركز المخطط (سواءً باتجاه عقارب الساعة أو عكسها) يُبدّل الرؤوس الزرقاء والحمراء ويُحوّل الحواف إلى حواف. أي أن هناك تماثلًا ذاتيًا لتبديل الألوان لهذا المخطط. وبالتالي، فإن بنية التداخل المعروفة بتكوين موبيوس-كانتور هي بنية ثنائية ذاتية.

تعميم

من الممكن تعميم مفهوم بنية الوقوع ليشمل أكثر من نوعين من الكائنات. تُسمى البنية التي تحتوي على $k نوعًا من الكائنات$ بنية وقوع من الرتبة $k$ أو هندسة $من$ الرتبة $k$ . ^[¹²^] تُعرَّف هذه رسميًا على أنها $k$ $+ 1$ $من$ $المجموعات$ المرتبة $S$ $= ($ $P1$ $,$ $P2$ $,$ $...,$ $Pk$ $,$ $I$ $)$ حيث $Pi$ $\cap$ $Pj$ = $\emptyset$ $و$ $I\subseteq \bigcup _{i<j}P_{i}\times P_{j}.$

يتم تعريف مخطط ليفي لهذه الهياكل على أنه مخطط متعدد الأجزاء مع رؤوس تتوافق مع كل نوع ملونة بنفس اللون.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ كما أن الاصطلاح الآخر المتمثل في فهرسة الصفوف بالخطوط والأعمدة بالنقاط شائع الاستخدام أيضاً.

مراجع

^ كولبورن ودينيتز 2007 ، ص. 702
1 2 ديمبوسكي 1968 ، ص 1-2
↑ بيليوتي، جها وجونسون 2001 ، ص 508
↑ يُستخدممصطلح الفضاء الخطي أيضًا للإشارة إلى الفضاءات المتجهة، ولكن هذا نادرًا ما يسبب التباسًا.
↑ مورهاوس 2014 ، ص 5
1 2 بيث، يونغنيكل ولينز 1986 ، ص 17
^ بيسانسكي وسيرفاتيوس 2013 ، ص. 222
^ E. Steinitz (1894)، Über die Construction der Configurationen $n 3$ ، أطروحة، بريسلاو
↑ غروب، هارالد (1997)، "التكوينات وتحقيقاتها"، الرياضيات المتقطعة ، 174 ( 1-3 ): 137-151 ، doi : 10.1016/s0012-365x(96)00327-5
↑ ليفي، ف. و. (1942)، الأنظمة الهندسية المحدودة ، كلكتا: جامعة كلكتا، MR 0006834
↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1950)، "التكوينات ذاتية الازدواجية والرسوم البيانية المنتظمة"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 56 (5): 413-455 ، doi : 10.1090/s0002-9904-1950-09407-5
1 2 بيسانسكي وسيرفاتيوس 2013 ، ص. 158

فهرس

بيث، توماس؛ يونغنيكل، ديتر؛ لينز، هانفريد (1986)، نظرية التصميم ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 3-411-01675-2
بيليوتي، ماورو؛ جها، فيكرام؛ جونسون، نورمان إل. (2001)، أسس طائرات الترجمة ، مارسيل ديكر ، ISBN 0-8247-0609-9
كولبورن، تشارلز جيه؛ دينيتز، جيفري إتش (2007)، دليل التصاميم التوافقية ( الطبعة الثانية)، بوكا راتون: تشابمان آند هول/ سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-506-1
ديمبوفسكي ، بيتر (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، الفرقة 44، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 3-540-61786-8، MR 0233275
مورهاوس، جي. إريك (2014). "هندسة الوقوع" (ملف PDF) - عبر جون بايز في جامعة كاليفورنيا، ريفرسايد .
بيسانسكي، توماز؛ سيرفاتيوس، بريجيت (2013)، التكوينات من وجهة نظر رسومية ، سبرينغر، doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1 ، ISBN 978-0-8176-8363-4

للمزيد من القراءة

دار نشر CRC (2000). دليل الرياضيات المتقطعة والتوافقية ، (الفصل 12.2)، رقم ISBN 0-8493-0149-1
هارولد ل. دوروارت (1966) هندسة السقوط ، برنتيس هول

[6] كما أن الاصطلاح الآخر المتمثل في فهرسة الصفوف بالخطوط والأعمدة بالنقاط شائع الاستخدام أيضاً.

[1] كولبورن ودينيتز 2007 ، ص. 702

[Demb1-2] 1 2 ديمبوسكي 1968 ، ص 1-2

[3] بيليوتي، جها وجونسون 2001 ، ص 508

[4] يُستخدممصطلح الفضاء الخطي أيضًا للإشارة إلى الفضاءات المتجهة، ولكن هذا نادرًا ما يسبب التباسًا.

[5] مورهاوس 2014 ، ص 5

[Beth17-7] 1 2 بيث، يونغنيكل ولينز 1986 ، ص 17

[8] بيسانسكي وسيرفاتيوس 2013 ، ص. 222

[9] E. Steinitz (1894)، Über die Construction der Configurationen $n 3$ ، أطروحة، بريسلاو

[10] غروب، هارالد (1997)، "التكوينات وتحقيقاتها"، الرياضيات المتقطعة ، 174 ( 1-3 ): 137-151 ، doi : 10.1016/s0012-365x(96)00327-5

[11] ليفي، ف. و. (1942)، الأنظمة الهندسية المحدودة ، كلكتا: جامعة كلكتا، MR 0006834

[12] كوكسيتر، إتش إس إم (1950)، "التكوينات ذاتية الازدواجية والرسوم البيانية المنتظمة"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 56 (5): 413-455 ، doi : 10.1090/s0002-9904-1950-09407-5

[Pisanski158-13] 1 2 بيسانسكي وسيرفاتيوس 2013 ، ص. 158

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

أ ] لا

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗