مجموعة من المجموعات

في نظرية المجموعات وفروع الرياضيات ذات الصلة ، يُستخدم مصطلح " عائلة " أو " مجموعة " للدلالة على المجموعة ، أو المجموعة المفهرسة ، أو المجموعة المتعددة ، أو الصف ، أو الفئة . ويُستخدم عادةً في عبارات مثل "عائلة من المجموعات"، لأنه إذا استُخدم مصطلح "مجموعة من المجموعات" بدلاً من ذلك، فقد يُسبب استخدام كلمة "مجموعة" لاحقًا التباسًا حول ما إذا كانت المجموعة الحاوية أم إحدى المجموعات الأعضاء. ومن الاستخدامات الشائعة "عائلة من المجموعات الجزئية لمجموعة ما S ". تُسمى عائلة المجموعات أيضًا عائلة مجموعات أو نظام مجموعات . عائلة منتهية من المجموعات الجزئية لمجموعة منتهية${\displaystyle S}$يُطلق عليه أيضًا اسم الرسم البياني الفائق . ويتناول موضوع نظرية المجموعات المتطرفة أكبر وأصغر الأمثلة لعائلات المجموعات التي تحقق قيودًا معينة.

مجموعة جميع المجموعات الجزئية لمجموعة معينة${\displaystyle S}$يُطلق عليه اسم مجموعة القوى لـ${\displaystyle S}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle \wp (S)}$مجموعة الطاقة​${\displaystyle \wp (S)}$من مجموعة معينة${\displaystyle S}$هي عائلة من المجموعات على${\displaystyle S}$⁠ .

مجموعة فرعية من${\displaystyle S}$تناول${\displaystyle k}$يُطلق على العناصر اسم${\displaystyle k}$- مجموعة فرعية من ⁠${\displaystyle S}$الـ​${\displaystyle k}$- مجموعات فرعية${\displaystyle S^{(k)}}$من مجموعة${\displaystyle S}$تشكل عائلة من المجموعات.

دع​${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}}$مثال على عائلة من المجموعات على${\displaystyle S}$(بمعنى المجموعة المتعددة ) يُعطى بواسطة${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\}}$، حيث​${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\}}$، و​${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}}$⁠ .

الفصل${\displaystyle \operatorname {Ord} }$جميع الأعداد الترتيبية هي عائلة كبيرة من المجموعات. أي أنها ليست مجموعة بحد ذاتها، بل هي فئة حقيقية .

أي عائلة من المجموعات الجزئية لمجموعة${\displaystyle S}$هي نفسها مجموعة فرعية من مجموعة القوى${\displaystyle \wp (S)}$إذا لم يكن بها أعضاء متكررون.

أي عائلة من المجموعات بدون تكرارات هي فئة فرعية من الفئة الصحيحة لجميع المجموعات ( الكون ).

تنص نظرية الزواج لهول ، التي تعود إلى فيليب هول ، على الشروط الضرورية والكافية لكي يكون لدى عائلة محدودة من المجموعات غير الفارغة (مع السماح بالتكرارات) نظام من الممثلين المتميزين .

لو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هل أي عائلة من المجموعات إذن${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$يرمز إلى اتحاد جميع المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}}$، حيث على وجه الخصوص ،${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing }$أي عائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مجموعة من المجموعات هي عائلة${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$وكذلك عائلة فوق أي مجموعة فرعية من${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$⁠ .

الأثر عائلة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من مجموعات فرعية من${\displaystyle S}$على مجموعة فرعية${\displaystyle T\subseteq S}$يكون${\displaystyle \{A\cap T,A\in {\mathcal {F}}\}}$.

بعض أنواع الأشياء من مجالات أخرى في الرياضيات تعادل عائلات المجموعات، حيث يمكن وصفها بشكل محض على أنها مجموعة من مجموعات الأشياء من نوع معين:

• يتكون المخطط الفائق، أو ما يُسمى أيضًا بنظام المجموعات، من مجموعة رؤوس ومجموعة أخرى من الحواف الفائقة ، حيث يمكن أن تكون كل حافة مجموعة عشوائية. تُشكل الحواف الفائقة للمخطط الفائق عائلة من المجموعات، ويمكن تفسير أي عائلة من المجموعات على أنها مخطط فائق تكون رؤوسه عبارة عن اتحاد تلك المجموعات.
• المُركَّب التبسيطي المُجرَّد هو تجريد توافقي لمفهوم المُركَّب التبسيطي ، وهو شكل يتكون من اتحادات قطع مستقيمة، ومثلثات، ورباعيات أوجه، ومُجسمات تبسيطية متعددة الأبعاد ، متصلة وجهًا لوجه. في المُركَّب التبسيطي المُجرَّد، يُمثَّل كل مُجسم تبسيطي ببساطة كمجموعة رؤوسه. أي عائلة من المجموعات المنتهية غير المُكرَّرة، والتي تنتمي فيها المجموعات الجزئية لأي مجموعة في العائلة إلى تلك العائلة، تُشكِّل مُركَّبًا تبسيطيًا مُجرَّدًا.
• تتألف بنية التداخل من مجموعة من النقاط ، ومجموعة من الخطوط ، وعلاقة ثنائية (اختيارية) تُسمى علاقة التداخل ، تُحدد أي النقاط تنتمي إلى أي الخطوط. يمكن تحديد بنية التداخل بواسطة مجموعة من المجموعات (حتى لو احتوى خطان مختلفان على نفس مجموعة النقاط)، ومجموعات النقاط التي تنتمي إلى كل خط، ويمكن تفسير أي مجموعة من المجموعات على أنها بنية تداخل بهذه الطريقة.
• يتكون رمز الكتلة الثنائي من مجموعة من الكلمات المشفرة، كل منها عبارة عن سلسلة من الأصفار والآحاد، جميعها بنفس الطول. عندما تكون المسافة بين كل زوج من الكلمات المشفرة كبيرة ( مسافة هامينغ) ، يمكن استخدامه كرمز تصحيح الأخطاء . يمكن أيضًا وصف رمز الكتلة بأنه مجموعة من المجموعات، وذلك بوصف كل كلمة مشفرة بأنها مجموعة المواضع التي تحتوي على الرقم  1.
• يتكون الفضاء الطوبولوجي من زوج${\displaystyle (X,\tau )}$أين${\displaystyle X}$هي مجموعة (تسمى عناصرها نقاطًا ) و${\displaystyle \tau }$هي طوبولوجيا على​${\displaystyle X}$، وهي عائلة من المجموعات (التي تسمى عناصرها مجموعات مفتوحة ) على${\displaystyle X}$التي تحتوي على كل من المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$و${\displaystyle X}$هي نفسها، ومغلقة تحت اتحادات المجموعات التعسفية وتقاطعات المجموعات المحدودة.

عائلة سبيرنر هي عائلة من المجموعات لا تحتوي أي مجموعة فيها على أي مجموعة أخرى. تحدد نظرية سبيرنر الحد الأقصى لحجم عائلة سبيرنر.

عائلة هيلي هي عائلة مجموعات بحيث يكون لأي عائلة فرعية دنيا ذات تقاطع فارغ حجم محدود. تنص نظرية هيلي على أن المجموعات المحدبة في الفضاءات الإقليدية ذات البعد المحدود تُشكل عائلات هيلي.

المجمع التبسيطي المجرد هو عائلة من المجموعات${\displaystyle F}$(تتكون من مجموعات منتهية) وهي مغلقة من الأسفل ؛ أي أن كل مجموعة جزئية من مجموعة في${\displaystyle F}$وهو موجود أيضًا في${\displaystyle F}$. الماترويد هو مركب تبسيطي مجرد ذو خاصية إضافية تسمى خاصية التضخيم .

كل مرشح عبارة عن مجموعة من المجموعات.

الفضاء المحدب هو عائلة مجموعات مغلقة تحت التقاطعات والاتحادات التعسفية للسلاسل (بالنسبة لعلاقة الاحتواء ).

ومن الأمثلة الأخرى على عائلات المجموعات أنظمة الاستقلال ، والأنظمة الجشعة ، والأنظمة المضادة للماترويد ، والفضاءات البورنولوجية .

العائلات${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من مجموعات أكثر$أوميغا$ v ت هـ
ينطبق بالضرورة على${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$أو، هو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب:	إخراج​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
نظام π
شبه حلقي										أبداً
شبه الجبر (شبه الحقل)										أبداً
فصل دراسي رتيب						فقط إذا${\displaystyle A_{i}\searrow }$	فقط إذا${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
نظام 𝜆 (نظام دينكين)				فقط إذا${\displaystyle A\subseteq B}$			فقط إذا${\displaystyle A_{i}\nearrow }$أو أنها منفصلة			أبداً
الحلقة (نظرية الترتيب)
الحلقة (نظرية القياس)										أبداً
حلقة دلتا										أبداً
𝜎-ring										أبداً
الجبر (مجال)										أبداً
الجبر π (حقل π)										أبداً
فلتر
فلتر مناسب				أبداً	أبداً				أبداً
مرشح أولي (قاعدة المرشح)
قاعدة بيانات التصفية الفرعية
الطوبولوجيا المفتوحة							(حتى التعسفي)${\displaystyle \cup }$)			أبداً
الطوبولوجيا المغلقة						(حتى التعسفي)${\displaystyle \cap }$)				أبداً
ينطبق بالضرورة على${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$أو، هو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب:	موجهة للأسفل	التقاطعات المحدودة	الاتحادات المحدودة	المكملات النسبية	يكمل في$أوميغا$	التقاطعات القابلة للعد	النقابات القابلة للعد	يتضمن$أوميغا$	يتضمن${\displaystyle \varnothing }$	خاصية التقاطع المحدود
بالإضافة إلى ذلك، فإن شبه الحلقة هو نظام π حيث كل مكمل${\displaystyle B\setminus A}$يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ الجبر الجزئي هو حلقة جزئية حيث كل مكمل${\displaystyle \Omega \setminus A}$يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$هي عناصر اعتباطية من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ويفترض أن${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

• جبر المجموعات – الهويات والعلاقات التي تتضمن المجموعات 
• الفئة (نظرية المجموعات) - مجموعة من المجموعات في الرياضيات يمكن تعريفها بناءً على خاصية من خصائص عناصرها 
• التصميم التوافقي – الترتيب المتناظر للمجموعات المنتهية 
• حلقة دلتا – حلقة مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد 
• حقل المجموعات - مفهوم جبري في نظرية القياس، ويشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات 
• المُكمِّم المُعمَّم – تعبير يدل على مجموعة من المجموعات في الدلالات الرسمية 
• عائلة مفهرسة – مجموعة من الكائنات المرتبطة بمجموعة فهارس 
• نظام لامدا (نظام دينكين) – عائلة مغلقة تحت المكملات والاتحادات المنفصلة القابلة للعد 
• نظام باي – عائلة من المجموعات المغلقة تحت التقاطع 
• حلقة المجموعات – عائلة مغلقة تحت الاتحادات والمكملات النسبية 
• مفارقة راسل – مفارقة في نظرية المجموعات (أو مجموعة المجموعات التي لا تحتوي على نفسها ) 
• الجبر سيجما – البنية الجبرية لجبر المجموعات 
• حلقة سيجما – عائلة من المجموعات المغلقة تحت اتحادات قابلة للعد 

• بيغز، نورمان ل. (1985)، الرياضيات المتقطعة ، أكسفورد: مطبعة كلارندون، رقم ISBN 0-19-853252-0
• بروالدي، ريتشارد أ. (2010)، مقدمة في التوافقية (  الطبعة الخامسة)، أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-602040-0
• روبرتس، فريد س. تسمان ، باري (2009)، التوافقيات التطبيقية (  الطبعة الثانية)، بوكا راتون: مطبعة اتفاقية حقوق الطفل، ISBN 978-1-4200-9982-9

• الوسائط المتعلقة بعائلات Set على ويكيميديا ​​كومنز