تصفية مجموعة

في الرياضيات ، يُعرَّف المرشح على مجموعة ما بأنه مجموعة من المجموعات الجزئية غير الفارغة المغلقة تحت تأثير المجموعات الفائقة والتقاطعات المنتهية. ومن أمثلة المرشحات مجموعة جوارات نقطة ما في فضاء طوبولوجي .

طُرحت المرشحات لأول مرة على يد هنري كارتان عام 1937 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} في سياق الفضاءات الطوبولوجية العامة، ثم طورها نيكولاس بورباكي في كتابهما "الطوبولوجيا العامة " (الطبعة الأولى عام 1940) كبديل لمفهوم الشبكة الذي طوره إي. إتش. مور وهيرمان إل. سميث عام 1922. ووجدت هذه المرشحات لاحقًا تطبيقات في العديد من المجالات خارج نطاق الطوبولوجيا، بما في ذلك نظرية المجموعات ، والمنطق الرياضي ، ونظرية النماذج ( مثل المنتجات الفائقة )، والجبر المجرد ، وغيرها.

تم تعميم المرشحات على مجموعة لاحقًا لتشمل مرشحات الترتيب . على وجه التحديد، مرشح على مجموعة $X$ هو مرشح ترتيب على مجموعة القوى لـ $X$ مرتبة حسب الشمول.

إن المفهوم المقابل للمرشح هو مفهوم مثالي . وتُعد المرشحات الفائقة فئة فرعية مهمة بشكل خاص من المرشحات.

تعريف

بالنظر إلى مجموعة $X$ مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ هي مجموعة من المجموعات الجزئية من $X$ بحيث: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

${\mathcal {F}}$ مغلق لأعلى : إذا $A,B\subseteq X$ هي من النوع الذي $A\in {\mathcal {F}}$ و $A\subseteq B$ ثم $B\in {\mathcal {F}}$ ،
${\mathcal {F}}$ مغلق تحت التقاطعات المحدودة: $X\in {\mathcal {F}}$ ، ^{[ أ ]} ، وإذا $A\in {\mathcal {F}}$ و $B\in {\mathcal {F}}$ ثم $A\cap B\in {\mathcal {F}}$ .

أالمرشح المناسب (أوغير المنحط) هو مرشح يكون مناسبًا كمجموعة جزئية من مجموعة القوى ${\mathcal {P}}(X)$ (أي أن المرشح غير المناسب الوحيد هو ${\mathcal {P}}(X)$ (تتكون من جميع المجموعات الجزئية الممكنة). وبحسب خاصية الإغلاق التصاعدي، يكون المرشح مناسبًا إذا وفقط إذا لم يحتوِ على المجموعة الفارغة. ^{[ 4 ]} يتبنى العديد من المؤلفين الاصطلاح القائل بأن المرشح يجب أن يكون مناسبًا بحكم التعريف. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

متى ${\mathcal {F}}$ و ${\mathcal {G}}$ يوجد مرشحان على نفس المجموعة بحيث ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ يحمل، ${\mathcal {F}}$ يقال إنها أكثر خشونة ^{[ 10 ]} من ${\mathcal {G}}$ (أو مرشح فرعي من ${\mathcal {G}}$ ) بينما ${\mathcal {G}}$ يقال إنه أدق ^{[ 10 ]} من ${\mathcal {F}}$ (أوتابع لـ ${\mathcal {F}}$ أو مرشح فائق ^{[ 11 ]} من ${\mathcal {F}}$ ).

أمثلة

مجموعة العزاب ${\mathcal {F}}=\{X\}$ يُطلق عليه اسم المرشح البسيط أو غير المتقطع على $X$ [ ¹²^]
لو $Y$ هي مجموعة فرعية من $X$ ، المجموعات الفرعية من $X$ وهي مجموعات شاملة لـ $Y$ تشكيل مرشح رئيسي . ^{[ 3 ]}
لو $X$ هو فضاء طوبولوجي و $x\in X$ ثم مجموعة جوارات $x$ هو فلتر على $X$ ، مرشح الجوار ^{[ 13 ]} أو مرشح الجوار ^{[ 14 ]} لـ $x$ .
تنشأ العديد من الأمثلة من شروط "الكبر" المختلفة:
- لو $X$ هي مجموعة، وهي مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية من $X$ (أي، تلك المجموعات التي يكون مكملها في $X$ (محدود) هو مرشح على $X$ ، مرشح فريشيه ^{[ 12 ]}^{[ 15 ]}^{[ 5 ]} (أو مرشح مشترك ^{[ 13 ]} ).
- وبالمثل، إذا $X$ هي مجموعة، والمجموعات الجزئية القابلة للعد المشترك من $X$ (تلك التي يكون مكملها قابلاً للعد) تشكل مرشحًا، وهو مرشح العد المشترك ^{[ 14 ]} الذي يكون أدق من مرشح فريشيه. وبشكل أعم، بالنسبة لأي عدد أصلي $\kappa$ ، المجموعات الفرعية التي يكون مكملها عددًا أصليًا على الأكثر $\kappa$ قم بتشكيل مرشح.
- لو $X$ هو فضاء متري، على سبيل المثال، $\mathbb {R} ^{n}$ ، المجموعات الفرعية المتداخلة من $X$ (تلك التي تكون مكملتها مجموعة محدودة ) تشكل مرشحًا على $X$ [ ¹⁶^]
- لو $X$ هي مساحة قياس كاملة (على سبيل المثال، $\mathbb {R} ^{n}$ باستخدام مقياس ليبيغ )، المجموعات الفرعية المتطابقة من $X$ أي أن المجموعات الجزئية التي يكون قياس مكملها صفرًا، تشكل مرشحًا على $X$ (بالنسبة لفضاء قياس غير كامل، يمكن للمرء أن يأخذ المجموعات الفرعية التي، وإن لم تكن بالضرورة قابلة للقياس، إلا أنها موجودة في مجموعة فرعية قابلة للقياس ذات قياس صفري.)
- وبالمثل، إذا $X$ هي فضاء قياس ، والمجموعات الجزئية التي تحتوي مكملتها على مجموعة جزئية قابلة للقياس ذات قياس محدود تشكل مرشحًا على $X$ .
- لو $X$ هو فضاء طوبولوجي ، والمجموعات الفرعية من $X$ أي أولئك الذين يكون مكملهم ضئيلاً ، يشكلون مرشحًا على $X$ .
- المجموعات الفرعية من $\mathbb {N}$ والتي تتمتع بكثافة طبيعية تبلغ 1 تشكل مرشحًا على $\mathbb {N}$ [ ¹⁷^]
مرشح النادي لعدد أصلي غير معدود عادي $\kappa$ هو مرشح جميع المجموعات التي تحتوي على مجموعة فرعية من النادي $\kappa$ .
لو $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ هي مجموعة من المرشحات على $X$ و ${\mathcal {J}}$ هو فلتر على $I$ ثم $\bigcup _{A\in {\mathcal {J}}}\bigcap _{i\in A}{\mathcal {F}}_{i}$ هو فلتر على $X$ يُطلق عليه اسم مرشح كوالسكي . ^{[ 18 ]}

المرشحات الرئيسية والمجانية

نواة المرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ هو تقاطع جميع المجموعات الجزئية من $X$ في ${\mathcal {F}}$ .

مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ تكون المجموعة أساسية ^{[ 3 ]} (أو ذرية ^{[ 13 ]} ) عندما يكون لها شكل بسيط للغاية: فهي تحتوي بالضبط على المجموعات الفائقة لـ $Y$ ، بالنسبة لمجموعة جزئية ثابتة $Y\subseteq X$ . متى $Y=\varnothing$ وهذا يؤدي إلى مرشح غير مناسب. عندما $Y=\{y\}$ هذا المرشح (الذي يتكون من جميع المجموعات الفرعية التي تحتوي على عنصر واحد) هو عنصر فريد. $y$ يُطلق عليه اسم المرشح الأساسي ^{[ 3 ]} (أو المرشح المنفصل ^{[ 19 ]} ) المرتبط بـ $y$ .

مرشح ${\mathcal {F}}$ يكون رئيسيًا إذا وفقط إذا كانت نواة ${\mathcal {F}}$ هو عنصر من ${\mathcal {F}}$ وعندما يكون هذا هو الحال، ${\mathcal {F}}$ يتكون من المجموعات الفائقة لنواته. ^{[ 20 ]} على مجموعة منتهية، يكون كل مرشح رئيسيًا (لأن التقاطع الذي يحدد النواة منتهٍ).

يُقال إن المرشح حر عندما تكون نواته فارغة، وإلا فهو ثابت (وإذا $x$ هو عنصر من عناصر النواة، ويتم تثبيته بواسطة $x$ [ ^{21 ]} مرشح على ^مجموعة $X$ مجاني فقط إذا كان يحتوي على فلتر Fréchet $X$ [ ²²^]

مرشحان ${\mathcal {F}}_{1}$ و ${\mathcal {F}}_{2}$ على $X$ الشبكة عندما يكون كل عضو من ${\mathcal {F}}_{1}$ يتقاطع مع كل عضو من أعضاء ${\mathcal {F}}_{2}$ [ ^{23 ]} لكل ^مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ يوجد زوج فريد من المرشحات ${\mathcal {F}}_{f}$ ( الجزء المجاني من ${\mathcal {F}}$ ) و ${\mathcal {F}}_{p}$ ( الجزء الرئيسي من ${\mathcal {F}}$ ) على $X$ بحيث ${\mathcal {F}}_{f}$ مجاني، ${\mathcal {F}}_{p}$ هو المدير، ${\mathcal {F}}_{f}\cap {\mathcal {F}}_{p}={\mathcal {F}}$ ، و ${\mathcal {F}}_{p}$ لا يتوافق مع ${\mathcal {F}}_{f}$ الجزء الرئيسي ${\mathcal {F}}_{p}$ هو المرشح الرئيسي الذي تولده نواة ${\mathcal {F}}$ والجزء المجاني ${\mathcal {F}}_{f}$ يتكون من عناصر ${\mathcal {F}}$ مع إمكانية إزالة أي عدد من العناصر من النواة. ^{[ 22 ]}

مرشح ${\mathcal {F}}$ تكون عميقة قابلة للعد إذا كانت نواة أي مجموعة جزئية قابلة للعد من ${\mathcal {F}}$ ينتمي إلى ${\mathcal {F}}$ [ ¹⁴^]

المراسلات المتعلقة بمرشحات الطلبات

يُعد مفهوم المرشح على مجموعة حالة خاصة من المفهوم الأكثر عمومية للمرشح على مجموعة مرتبة جزئيًا . وبحسب التعريف، فإن المرشح على مجموعة مرتبة جزئيًا $P$ هي مجموعة جزئية ${\mathcal {F}}$ ل $P$ وهو مغلق لأعلى (إذا $x\in {\mathcal {F}}$ و $x\leq y$ ثم $y\in {\mathcal {F}}$ ) والمتجهة للأسفل (كل مجموعة جزئية محدودة من ${\mathcal {F}}$ له حد أدنى في ${\mathcal {F}}$ مرشح على مجموعة $X$ وهو مماثل لمرشح موجود على مجموعة الطاقة ${\mathcal {P}}(X)$ مرتبة حسب الاحتواء. ^{[ ب ]}

تركيبات المرشحات

تقاطع المرشحات

لو $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ هي مجموعة من المرشحات على $X$ ، تقاطعها $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ هو فلتر على $X$ التقاطع هو عملية الحد الأدنى الأكبر في مجموعة المرشحات على $X$ مرتبة جزئياً حسب التضمين، مما يمنح المرشحات على $X$ ببنية شبكية كاملة . ^{[ 14 ]}^{[ 24 ]}

التقاطع $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ يتكون من المجموعات الفرعية التي يمكن كتابتها على النحو التالي $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ أين $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ لكل $i\in I$ .

مرشح تم إنشاؤه بواسطة مجموعة من المجموعات الفرعية

بالنظر إلى عائلة من المجموعات الجزئية ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ يوجد مرشح أدنى على $X$ (بمعنى الاحتواء) الذي يحتوي ${\mathcal {S}}$ يمكن بناؤها على أنها تقاطع (أكبر حد أدنى) لجميع المرشحات على $X$ يحتوي على ${\mathcal {S}}$ هذا المرشح $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يُطلق عليه اسم المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة ${\mathcal {S}}$ ، و ${\mathcal {S}}$ ويُقال إنها قاعدة ترشيح فرعية لـ $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ [ ²⁵^]

ويمكن أيضًا وصف المرشح المُنشأ بشكل أكثر وضوحًا: $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يتم الحصول عليها عن طريق الإغلاق ${\mathcal {S}}$ تحت تقاطعات محدودة، ثم صعوداً، أي $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يتكون من المجموعات الفرعية $Y\subseteq X$ بحيث $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\subseteq Y$ بالنسبة للبعض $A_{0},\dots ,A_{n-1}\in {\mathcal {B}}$ [ ¹¹^]

وبما أن هذه العمليات تحافظ على النواة، فإنه يترتب على ذلك أن $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ يكون المرشح مناسبًا إذا وفقط إذا ${\mathcal {S}}$ تتمتع بخاصية التقاطع المحدود : تقاطع مجموعة فرعية محدودة من ${\mathcal {S}}$ غير فارغ. ^{[ 16 ]}

في الشبكة الكاملة للمرشحات على $X$ مرتبة حسب التضمين، الحد الأعلى الأدنى لمجموعة من المرشحات $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ هل المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة $\bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ [ ²⁰^]

مرشحان ${\mathcal {F}}_{1}$ و ${\mathcal {F}}_{2}$ على $X$ الشبكة إذا وفقط إذا $\langle {\mathcal {F}} _ {1}\cup {\mathcal {F}} _ {2}\rangle$ مناسب. ^{[ 23 ]}

قواعد التصفية

يترك ${\mathcal {F}}$ كن مرشحًا على $X$ قاعدة ترشيح من ${\mathcal {F}}$ هي عائلة من المجموعات الجزئية ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ بحيث ${\mathcal {F}}$ هو الإغلاق التصاعدي لـ ${\mathcal {B}}$ ، أي، ${\mathcal {F}}$ يتكون من تلك المجموعات الفرعية $Y\subseteq X$ والتي $A\subseteq Y$ بالنسبة للبعض $A\in {\mathcal {B}}$ [ ⁶^]

يُعد هذا الإغلاق التصاعدي بمثابة مرشح إذا وفقط إذا ${\mathcal {B}}$ متجه للأسفل ، أي ${\mathcal {B}}$ غير فارغ وللجميع $A,B\in {\mathcal {B}}$ يوجد $C\in {\mathcal {B}}$ بحيث $C\subseteq A\cap B$ [ ⁶^]^[¹³^{] عندما}^يكون هذا هو الحال، ${\mathcal {B}}$ يُطلق عليه أيضًا اسم المرشح المسبق ، ويكون الإغلاق التصاعدي مساويًا للمرشح المُنشأ. $\langle {\mathcal {B}}\rangle$ [ ¹⁶^{] ومن ثم ،} كونها قاعدة ترشيح لـ ${\mathcal {F}}$ تُعد خاصية أقوى من كونها قاعدة ترشيح فرعية لـ ${\mathcal {F}}$ .

أمثلة

متى $X$ هو فضاء طوبولوجي و $x\in X$ ، قاعدة ترشيح لمرشح الجوار الخاص بـ $x$ تُعرف بأنها قاعدة محلية لـ $x$ وبالمثل، قاعدة ترشيح فرعية لمرشح الجوار لـ $x$ تُعرف باسم قاعدة فرعية محلية لـ $x$ الأحياء المفتوحة لـ $x$ دائماً ما يتم تشكيل قاعدة محلية لـ $x$ ، بحسب تعريف مرشح الجوار. في $X=\mathbb {R} ^{n}$ الكرات المغلقة ذات نصف القطر الموجب حول $x$ كما تشكل قاعدة محلية لـ $x$ .
يترك $X$ لتكن مجموعة غير منتهية ولتكن ${\mathcal {F}}$ تتكون من مجموعات فرعية من $X$ والتي تحتوي على جميع النقاط باستثناء نقطة واحدة. ثم ${\mathcal {F}}$ هي قاعدة ترشيح فرعية لمرشح فريشيه على $X$ ، والتي تتكون من المجموعات الجزئية المنتهية . إغلاقها تحت التقاطعات المنتهية هو مرشح فريشيه الكامل، ولكن توجد قواعد أصغر لمرشح فريشيه تحتوي على القاعدة الفرعية ${\mathcal {F}}$ ، مثل المجموعة التي تشكلها المجموعات الفرعية من $X$ والتي تحتوي على جميع النقاط باستثناء عدد فردي محدود. في الواقع، لكل قاعدة من قواعد مرشح فريشيه، يؤدي حذف أي مجموعة جزئية إلى الحصول على قاعدة أخرى لمرشح فريشيه.
لو $X$ هو فضاء طوبولوجي ، والمجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة من $X$ تشكيل قاعدة تصفية على $X$ لأنها مغلقة تحت التقاطع المحدود. يتكون المرشح الذي تولده من مكملات المجموعات الجزئية غير الكثيفة في أي مكان . $X=\mathbb {R} ^{n}$ ، إن تقييد المجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة الصفرية ينتج عنه قاعدة ترشيح أخرى لنفس المرشح.
وبالمثل، إذا $X$ هي فضاء طوبولوجي، تشكل التقاطعات القابلة للعد للمجموعات الفرعية المفتوحة الكثيفة قاعدة ترشيح تولد مرشح المجموعات الفرعية القابلة للعد .
يترك $X$ كن مجموعة ودع $(x_{i})_{i\in I}$ لتكن شبكة ذات قيم في $X$ أي عائلة نطاقها $I$ هي مجموعة موجهة . قاعدة التصفية لذيول $(x_{i})$ تتكون من المجموعات $\{x_{j},j\geq i\}$ ل $i\in I$ ؛ يتم إغلاقها نحو الأسفل بواسطة اتجاهية $I$ يُطلق على المرشح المُنشأ اسم مرشح الاحتمالات أو مرشح ذيول $(x_{n})$ مرشح تسلسلي ^{[ 26 ]} أوالمرشح الأولي هو مرشح يُستخدم لتحديد احتمالية حدوث شيء ما في شبكة ما. يُعد هذا المثال أساسيًا في تطبيقالمرشحات في علم الطوبولوجيا.^[¹³^]^[²⁷^]
كل نظام π هو قاعدة مرشح.

أثر مرشح على مجموعة فرعية

لو ${\mathcal {F}}$ هو فلتر على $X$ و $Y\subseteq X$ ، أثر ${\mathcal {F}}$ على $Y$ يكون $\{A\cap Y,A\in {\mathcal {F}}\}$ وهو عبارة عن مرشح. ^{[ 15 ]}

صورة لمرشح بواسطة دالة

يترك $f:X\to Y$ أن تكون دالة.

متى ${\mathcal {F}}$ هي عائلة من المجموعات الفرعية من $X$ ، صورتها بواسطة $f$ يُعرَّف بأنه

$f({\mathcal {F}})=\{\{f(x),x\in A\},A\in {\mathcal {F}}\}$

فلتر الصور بواسطة $f$ مرشح ${\mathcal {F}}$ على $X$ يُعرَّف بأنه المرشح المُنشأ $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ [ ²⁸^] إذا $f$ إذا كانت شاملة، $f({\mathcal {F}})$ هو بالفعل مرشح. في الحالة العامة، $f({\mathcal {F}})$ هي قاعدة ترشيح، وبالتالي $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ وهو إغلاقها التصاعدي. ^{[ 29 ]} علاوة على ذلك، إذا ${\mathcal {B}}$ هي قاعدة ترشيح لـ ${\mathcal {F}}$ ثم $f({\mathcal {B}})$ هي قاعدة ترشيح لـ $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ .

بذور ${\mathcal {F}}$ و $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ ترتبط ببعضها البعض من خلال $f\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\subseteq \bigcap \langle f({\mathcal {F}})\rangle$ .

منتج المرشحات

بالنظر إلى عائلة من المجموعات $(X_{i})_{i\in I}$ وفلتر ${\mathcal {F}}_{i}$ على كل $X_{i}$ فلتر المنتج $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ مجموعة المنتجات $\prod _{i\in I}X_{i}$ يُعرَّف بأنه المرشح الذي تم إنشاؤه بواسطة المجموعات $\pi _{i}^{-1}(A)$ ل $i\in I$ و $A\in {\mathcal {F}}_{i}$ ، أين $\pi _{i}:\left(\prod _{j\in I}X_{j}\right)\to X_{i}$ هو الإسقاط من مجموعة المنتج على $i$ المكون رقم -th. ^{[ 12 ]}^{[ 30 ]} هذا البناء مشابه لطوبولوجيا المنتج .

إذا كان كل ${\mathcal {B}}_{i}$ هو فلتر يعتمد على ${\mathcal {F}}_{i}$ ، قاعدة ترشيح من $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ يتم تحديده بواسطة المجموعات $\prod _{i\in I}A_{i}$ أين $(A_{i})$ هي عائلة من النوع الذي $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ للجميع $i\in I$ و $A_{i}=X_{i}$ بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من $i\in I$ [ ¹²^]^[³¹^]

انظر أيضاً

الأسس البديهية للفضاءات الطوبولوجية ، لتعريف الفضاءات الطوبولوجية من حيث المرشحات
المرشحات في علم الطوبولوجيا – استخدام المرشحات لوصف وتوصيف جميع المفاهيم والنتائج الطوبولوجية الأساسية
فضاء التقارب ، وهو تعميم للفضاءات الطوبولوجية باستخدام المرشحات
مُحدد كمية المرشح
مرشح فائق – مرشح مثالي بأقصى كفاءة
المرشح العام ، وهو نوع من المرشحات المستخدمة في فرض نظرية المجموعات

ملحوظات

↑ تقاطع المجموعات الجزئية الصفرية من $X$ يكون $X$ نفسها.
↑ من الواضح أن الفلتر على $X$ يوجد فلتر للطلبات على ${\mathcal {P}}(X)$ أما العكس، فليكن ${\mathcal {F}}$ كن مرشحًا للطلبات ${\mathcal {P}}(X)$ هي مغلقة من الأعلى بحكم التعريف. نتحقق من الإغلاق تحت التقاطعات المحدودة. إذا $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ هي عائلة منتهية من المجموعات الجزئية من ${\mathcal {F}}$ ، وله حد أدنى في ${\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق الهابط، وهو ما يمثل نوعًا ما $B\in {\mathcal {F}}$ بحيث $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ . ثم $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ ، لذلك $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق التصاعدي.

الاقتباسات

↑ كارتان 1937أ .
↑ كارتان 1937ب .
1 2 3 4 سيزار 1978 ، ص. 56.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 100.
1 2 ويلارد 2004 ، ص. 78.
1 2 3 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 29.
↑ جوشي 1983 ، ص 241.
↑ Köthe 1983 ، ص 11.
↑ شوبرت 1968 ، ص 48.
1 2 شوبرت 1968 ، ص 49.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 102.
1 2 3 4 بورباكي 1987 ، ص 57-68.
1 2 3 4 5 جوشي 1983 ، ص 242.
1 2 3 4 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 30.
1 2 Schechter 1996 ، ص. 103.
1 2 3 شيشتر 1996 ، ص. 104.
↑ جيتش، توماس (2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 74. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 .
^ شيشتر 1996 ، ص 100-130.
↑ ويلانسكي 2013 ، ص 44.
1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 33.
↑ شيشتر 1996 ، ص 16.
1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 34.
1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 31.
↑ شوبرت 1968 ، ص 50.
↑ Császár 1978 ، ص 57.
↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 35.
↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 5.
↑ جوشي 1983 ، ص 246.
↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 37.
↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 39.
↑ Köthe 1983 ، ص 14.

مراجع

بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد. 4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 .
بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 .
بوريس، ستانلي ؛ سانكابانافار، هانامانتاغودا ب. (2012). دورة في الجبر الشامل (ملف PDF) . سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 127-135 . ISBN 978-0-9880552-0-9تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية في 1 أبريل 2022.
كارتان، هنري (1937 أ). "نظرية المرشحات" . Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 205 : 595 – 598.
كارتان، هنري (1937ب). "المرشحات والمرشحات الفائقة" . Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 205 : 777- 779.
كزار، أكوس (1978). الطوبولوجيا العامة . ترجمة كزار، كلارا. بريستول إنجلترا: آدم هيلجر المحدودة، الصفحات من 55 إلى 59. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 .
دوليكي، سيمون ؛ مينارد، فريدريك (2016). أسس التقارب في علم الطوبولوجيا . نيوجيرسي: دار النشر العالمية العلمية. الصفحات 29-39 . ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
جوشي، ك. د. (1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . نيويورك: جون وايلي وأولاده المحدودة. ص 241-248 . ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. ص 11 – 15. ردمك 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
كوتراس، كوستاس د.؛ مويزيس، كريستوس؛ نوميكوس، كريستوس؛ تسابرونيس، كونستانتينوس؛ زيكوس، يورغوس (20 أكتوبر 2021). "حول المرشحات الضعيفة والمرشحات الفائقة: نظرية المجموعات من (ولأجل) تمثيل المعرفة". مجلة المنطق التابعة لمجموعة IGPL . 31 : 68-95 . doi : 10.1093/jigpal/jzab030 .
ماكيفر ر.، ديفيد (1 يوليو 2004). "المرشحات في التحليل والطوبولوجيا" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 9 أكتوبر 2007.(يقدم مراجعة تمهيدية للمرشحات في الطوبولوجيا وفي الفضاءات المترية.)
ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. الصفحات 2-5 . ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. الصفحات 100-105 . ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
شوبرت، هورست (1968). الطوبولوجيا . لندن: ماكدونالد وشركاه. ص 48-51 . ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . الصفحات 77-84 . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .

العائلات ${\mathcal {F}}$ من مجموعات أكثر $\Omega$ v ت هـ
ينطبق بالضرورة على ${\mathcal {F}}\colon$ أو، هو ${\mathcal {F}}$ مغلق بموجب:	إخراج $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	FIP
نظام $π$
شبه حلقي										أبداً
شبه الجبر (شبه الحقل)										أبداً
فصل دراسي رتيب						فقط إذا $A_{i}\searrow$	فقط إذا $A_{i}\nearrow$
نظام 𝜆 (نظام دينكين)				فقط إذا $A\subseteq B$			فقط إذا $A_{i}\nearrow$ أو أنها منفصلة			أبداً
الحلقة (نظرية الترتيب)
الحلقة (نظرية القياس)										أبداً
حلقة دلتا										أبداً
𝜎-ring										أبداً
الجبر (مجال)										أبداً
الجبر π (حقل π)										أبداً
فلتر
فلتر مناسب				أبداً	أبداً				أبداً
مرشح أولي (قاعدة المرشح)
قاعدة بيانات التصفية الفرعية
الطوبولوجيا المفتوحة							(حتى التعسفي) $\cup$ )			أبداً
الطوبولوجيا المغلقة						(حتى التعسفي) $\cap$ )				أبداً
ينطبق بالضرورة على ${\mathcal {F}}\colon$ أو، هو ${\mathcal {F}}$ مغلق بموجب:	موجه للأسفل	التقاطعات المحدودة	الاتحادات المحدودة	المكملات النسبية	يكمل في $\Omega$	التقاطعات القابلة للعد	النقابات القابلة للعد	يتضمن $\Omega$	يتضمن $\varnothing$	خاصية التقاطع المحدود
بالإضافة إلى ذلك، فإن *شبه الحلقة* هي نظام $π$ حيث يكون كل مكمل $B\setminus A$ يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في ${\mathcal {F}}.$ الجبر *الجزئي* هو حلقة جزئية حيث كل مكمل $\Omega \setminus A$ يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ هي عناصر اعتباطية من ${\mathcal {F}}$ ويفترض أن ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

[6] تقاطع المجموعات الجزئية الصفرية من $X$ يكون $X$ نفسها.

[25] من الواضح أن الفلتر على $X$ يوجد فلتر للطلبات على ${\mathcal {P}}(X)$ أما العكس، فليكن ${\mathcal {F}}$ كن مرشحًا للطلبات ${\mathcal {P}}(X)$ هي مغلقة من الأعلى بحكم التعريف. نتحقق من الإغلاق تحت التقاطعات المحدودة. إذا $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ هي عائلة منتهية من المجموعات الجزئية من ${\mathcal {F}}$ ، وله حد أدنى في ${\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق الهابط، وهو ما يمثل نوعًا ما $B\in {\mathcal {F}}$ بحيث $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ . ثم $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ ، لذلك $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ عن طريق الإغلاق التصاعدي.

[FOOTNOTECartan1937a-1] كارتان 1937أ .

[FOOTNOTECartan1937b-2] كارتان 1937ب .

[FOOTNOTECsászár197856-3] 1 2 3 4 سيزار 1978 ، ص. 56.

[FOOTNOTESchechter1996100-4] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 100.

[FOOTNOTEWillard200478-5] 1 2 ويلارد 2004 ، ص. 78.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201629-7] 1 2 3 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 29.

[FOOTNOTEJoshi1983241-8] جوشي 1983 ، ص 241.

[FOOTNOTEKöthe198311-9] Köthe 1983 ، ص 11.

[FOOTNOTESchubert196848-10] شوبرت 1968 ، ص 48.

[FOOTNOTESchubert196849-11] 1 2 شوبرت 1968 ، ص 49.

[FOOTNOTESchechter1996102-12] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 102.

[FOOTNOTEBourbaki198757–68-13] 1 2 3 4 بورباكي 1987 ، ص 57-68.

[FOOTNOTEJoshi1983242-14] 1 2 3 4 5 جوشي 1983 ، ص 242.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201630-15] 1 2 3 4 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 30.

[FOOTNOTESchechter1996103-16] 1 2 Schechter 1996 ، ص. 103.

[FOOTNOTESchechter1996104-17] 1 2 3 شيشتر 1996 ، ص. 104.

[18] جيتش، توماس (2006). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . برلين، نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 74. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 .

[FOOTNOTESchechter1996100–130-19] شيشتر 1996 ، ص 100-130.

[FOOTNOTEWilansky201344-20] ويلانسكي 2013 ، ص 44.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201633-21] 1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 33.

[FOOTNOTESchechter199616-22] شيشتر 1996 ، ص 16.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201634-23] 1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 34.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201631-24] 1 2 Dolecki & Mynard 2016 ، ص. 31.

[FOOTNOTESchubert196850-26] شوبرت 1968 ، ص 50.

[FOOTNOTECsászár197857-27] Császár 1978 ، ص 57.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201635-28] Dolecki & Mynard 2016 ، ص 35.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20115-29] ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 5.

[FOOTNOTEJoshi1983246-30] جوشي 1983 ، ص 246.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201637-31] Dolecki & Mynard 2016 ، ص 37.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201639-32] Dolecki & Mynard 2016 ، ص 39.

[FOOTNOTEKöthe198314-33] Köthe 1983 ، ص 14.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ أ ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

12

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

16

17

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

21 ]

22

23 ]

[ ب ]

[ 24 ]

25

[ 26 ]

[

28

[ 29 ]

[ 30 ]

[