نظام الأحياء

في علم الطوبولوجيا والمجالات الرياضية ذات الصلة ، يُعرف نظام الجوار ، أو النظام الكامل للجوار ، ^{[ 1 ]} أو مرشح الجوار${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$من أجل نقطة${\displaystyle x}$في الفضاء الطوبولوجي ، تكون مجموعة جميع الجوارات${\displaystyle x.}$

جوار نقطة أو مجموعة

أنالجوار المفتوح لنقطة (أومجموعة جزئية ^{[ ملاحظة 1 ]} )${\displaystyle x}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$أي مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$الذي يحتوي${\displaystyle x.}$ أحي​${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$هي أي مجموعة جزئية${\displaystyle N\subseteq X}$التي تحتوي على بعض الأحياء المفتوحة لـ${\displaystyle x}$بشكل صريح،${\displaystyle N}$هو حي من${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle U}$مع${\displaystyle x\in U\subseteq N}$[ ^{2 ] [ 3 ] أو بعبارة} أخرى، جوار من${\displaystyle x}$هي أي مجموعة تحتوي على${\displaystyle x}$في بنيتها الطوبولوجية الداخلية .

من المهم الإشارة إلى أن "الجوار" لا يشترط أن يكون مجموعة مفتوحة؛ فالجوارات التي تصادف أنها مجموعات مفتوحة تُعرف باسم "الجوارات المفتوحة". ^{[ ملاحظة 2 ]} وبالمثل، يُطلق على الجوار الذي يكون أيضًا مجموعة مغلقة (أو متراصة ، أو متصلة ، وما إلى ذلك) اسمحي مغلق (على التوالي،حي سكني مكتظ ،(مثل الجوار المتصل ، إلخ). توجد أنواع أخرى كثيرة من الجوار تُستخدم في علم الطوبولوجيا والمجالات ذات الصلة، كالتحليلالوظيفي. غالبًا ما تُشكّل مجموعة جميع الجوارات التي تتمتع بخاصية "مفيدة" معينةأساسًا للجوار، مع أن هذه الجوارات ليست بالضرورة مفتوحة في كثير من الأحيان.الفضاءات المدمجة محليًاهي تلك الفضاءات التي تحتوي، عند كل نقطة، على أساس جوار يتكون بالكامل من مجموعات مدمجة.

فلتر الأحياء

نظام الجوار لنقطة (أو مجموعة فرعية غير فارغة )${\displaystyle x}$يوجد مرشح يسمى مرشح الجوار لـ${\displaystyle x.}$مرشح الجوار لنقطة${\displaystyle x\in X}$وهو نفسه مرشح الجوار لمجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{x\}.}$

لو${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كانت لها بنيتها الطوبولوجية الإقليدية المعتادة ، فإن جواراتها${\displaystyle 0}$هل كل تلك المجموعات الفرعية${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$والتي يوجد لها عدد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$على سبيل المثال، جميع المجموعات التالية هي جوارات لـ${\displaystyle 0}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$: $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ لكن لا توجد أي من المجموعات التالية تمثل جوارات لـ${\displaystyle 0}$: $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ أين${\displaystyle \mathbb {Q} }$يرمز إلى الأعداد النسبية .

لو${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$ثم لكل${\displaystyle u\in U,}$${\displaystyle U}$هو حي من${\displaystyle u}$في${\displaystyle X.}$ وبشكل أعم، إذا${\displaystyle N\subseteq X}$أي مجموعة و${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$يشير إلى البنية الطوبولوجية الداخلية لـ${\displaystyle N}$في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle N}$هو حي (في${\displaystyle X}$) لكل نقطة${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$وعلاوة على ذلك،${\displaystyle N}$ليست منطقة تابعة لأي نقطة أخرى. بعبارة أخرى ،${\displaystyle N}$هي منطقة مجاورة لنقطة${\displaystyle x\in X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

قواعد الأحياء

في أي فضاء طوبولوجي، يُعد نظام الجوار لنقطة ما أساسًا للجوار لتلك النقطة. وتشكل مجموعة جميع الجوارات المفتوحة عند نقطة ما أساسًا للجوار عند تلك النقطة. لأي نقطة${\displaystyle x}$في فضاء متري ، سلسلة الكرات المفتوحة حول${\displaystyle x}$بنصف قطر${\displaystyle 1/n}$تشكيل أساس قابل للعد في الجوار${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$وهذا يعني أن كل فضاء متري قابل للعد من الدرجة الأولى .

مساحة معينة${\displaystyle X}$مع الطوبولوجيا غير المنفصلة، ​​يكون نظام الجوار لأي نقطة${\displaystyle x}$لا يحتوي إلا على المساحة بأكملها،${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$.

في الطوبولوجيا الضعيفة على فضاء القياسات على فضاء${\displaystyle E,}$قاعدة حي حول${\displaystyle \nu }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ أين${\displaystyle f_{i}}$هي دوال متصلة ومحدودة من${\displaystyle E}$إلى الأعداد الحقيقية و${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$هي أعداد حقيقية موجبة.

الفضاءات شبه المعيارية والمجموعات الطوبولوجية

في فضاء شبه معياري ، أي فضاء متجهي ذو طوبولوجيا مستحثة بواسطة معيار شبه معياري ، يمكن إنشاء جميع أنظمة الجوار عن طريق ترجمة نظام الجوار للأصل. $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

وذلك لأن جمع المتجهات، بحسب الفرضية، عملية متصلة بشكل منفصل في الطوبولوجيا المستحثة. وبالتالي، تُحدد الطوبولوجيا بنظام الجوار عند نقطة الأصل. وبشكل أعم، يظل هذا صحيحًا كلما كان الفضاء زمرة طوبولوجية أو كانت الطوبولوجيا مُعرَّفة بواسطة شبه متري .

يفترض${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ودع${\displaystyle {\mathcal {N}}}$أن يكون أساسًا للحي لـ${\displaystyle u}$في${\displaystyle X.}$يصنع${\displaystyle {\mathcal {N}}}$إلى مجموعة موجهة عن طريق ترتيبها جزئيًا عن طريق تضمين المجموعة الفائقة${\displaystyle \,\supseteq .}$ثم${\displaystyle U}$ليست منطقة سكنية${\displaystyle u}$في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle {\mathcal {N}}}$الشبكة المفهرسة${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$في${\displaystyle X\setminus U}$بحيث${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$لكل${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$(مما يعني أن${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$في${\displaystyle X}$).

• الأساس (الطوبولوجيا) - مجموعة من المجموعات المفتوحة المستخدمة لتعريف الطوبولوجيا 
• تصفية مجموعة – عائلة من المجموعات الفرعية التي تمثل مجموعات "كبيرة". 
• المرشحات في علم الطوبولوجيا – استخدام المرشحات لوصف وتوصيف جميع المفاهيم والنتائج الطوبولوجية الأساسية 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي المحدب محليًا – فضاء ذو ​​طوبولوجيا مولدة بواسطة مجموعات محدبة 
• الجوار (في الرياضيات) - مجموعة مفتوحة تحتوي على نقطة معينة 
• القاعدة الفرعية - مجموعة من المجموعات الفرعية التي تولد بنية طوبولوجية 
• الحي الأنبوبي - حي من متعدد الشعب الفرعي 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1966]. الطوبولوجيا العامة: الفصول من 1 إلى 4 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. دوى : 10.1007/978-3-642-61701-0 . رقم ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ديكسمير، جاك (1984). الطوبولوجيا العامة . نصوص جامعية في الرياضيات. ترجمة: بربريان، إس كيه. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .