نظام دينكين

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 125 صور
الموسوعة الحرة

نظام دينكين ، [ 1 ] المسمى نسبةً إلى يوجين دينكين ، هو مجموعة من المجموعات الجزئية لمجموعة شاملة أخرىΩأوميغاتُحقق أنظمة دينكين مجموعة من البديهيات الأضعف من تلك الخاصة بجبر π . ويُشار إليها أحيانًا باسم أنظمة π (وقد استخدم دينكين نفسه هذا المصطلح) أو نظام d . [ 2 ] لهذه العائلات من المجموعات تطبيقات في نظرية القياس والاحتمالات .

أحد التطبيقات الرئيسية لأنظمة 𝜆 هو نظرية π - 𝜆 ، انظر أدناه.

تعريف

يتركΩأوميغالتكن مجموعة، ولتكند{\displaystyle D}لتكن مجموعة من المجموعات الفرعية منΩأوميغا(إنه،د{\displaystyle D}هي مجموعة جزئية من مجموعة القوى لـΩأوميغا). ثمد{\displaystyle D}يُعتبر نظام دينكين إذا

  1. Ω∈د؛{\displaystyle \Omega \in D;}
  2. د{\displaystyle D}تكون المجموعة مغلقة تحت مكملات المجموعات الجزئية في المجموعات الفائقة: إذاأ،ب∈د{\displaystyle A,B\in D}وأ⊆ب،{\displaystyle A\subseteq B,}ثمب∖أ∈د؛{\displaystyle B\setminus A\in D;}
  3. د{\displaystyle D}مغلق في ظل اتحادات متزايدة قابلة للعد : إذاأ1⊆أ2⊆أ3⊆⋯{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots }هي متتالية متزايدة [ ملاحظة 1 ] من المجموعات فيد{\displaystyle D}ثم⋃ن=1∞أن∈د.{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}

من السهل التحقق [ ملاحظة 2 ] من أن أي نظام Dynkinد{\displaystyle D}يرضي:

  1. ∅∈د؛{\displaystyle \varnothing \in D;}
  2. د{\displaystyle D}مغلق بموجب المكملات فيΩ{\displaystyle \Omega }: لوأ∈د،{\textstyle A\in D,}ثمΩ∖أ∈د؛{\displaystyle \Omega \setminus A\in D;}
    • أخذأ:=Ω{\displaystyle A:=\Omega }يُظهر ذلك أن∅∈د.{\displaystyle \varnothing \in D.}
  3. د{\displaystyle D}مغلق تحت اتحادات قابلة للعد لمجموعات منفصلة مثنى مثنى : إذاأ1،أ2،أ3،...{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }هي سلسلة من المجموعات المنفصلة ثنائياً فيد{\displaystyle D}(بمعنى أنأأنا∩أج=∅{\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }للجميعأنا≠ج{\displaystyle i\neq j}) ثم⋃ن=1∞أن∈د.{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}
    • وللتوضيح، تنطبق هذه الخاصية أيضًا على المتتاليات المنتهيةأ1،...،أن{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}من المجموعات المنفصلة مثنى مثنى (عن طريق وضعأأنا:=∅{\displaystyle A_{i}:=\varnothing }للجميعأنا>ن{\displaystyle i>n}).

في المقابل، من السهل التحقق من أن مجموعة من المجموعات التي تحقق الشروط من 4 إلى 6 هي فئة دينكين. [ ملاحظة 3 ] لهذا السبب، اعتمدت مجموعة صغيرة من المؤلفين الشروط من 4 إلى 6 لتعريف نظام دينكين.

من الحقائق المهمة أن أي نظام دينكين يكون أيضًا نظام π (أي مغلقًا تحت التقاطعات المحدودة) هو جبر π . ويمكن التحقق من ذلك بملاحظة أن الشرطين 2 و3، بالإضافة إلى الإغلاق تحت التقاطعات المحدودة، يستلزمان الإغلاق تحت الاتحادات المحدودة، وهو ما يستلزم بدوره الإغلاق تحت الاتحادات القابلة للعد.

بالنظر إلى أي مجموعةج{\displaystyle {\mathcal {J}}}من مجموعات فرعية منΩ،{\displaystyle \Omega ,}يوجد نظام دينكين فريد يُشار إليه بـد{ج}{\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}وهو الحد الأدنى فيما يتعلق بالاحتواءج.{\displaystyle {\mathcal {J}}.}أي إذاد~{\displaystyle {\tilde {D}}}أي نظام Dynkin يحتوي علىج،{\displaystyle {\mathcal {J}},}ثمد{ج}⊆د~.{\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.}د{ج}{\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}يُطلق عليه نظام دينكين الذي تم إنشاؤه بواسطةج.{\displaystyle {\mathcal {J}}.} على سبيل المثال،د{∅}={∅،Ω}.{\displaystyle D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.} كمثال آخر، لنفترضΩ={1،2،3،4}{\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}}وج={1}{\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}؛ ثمد{ج}={∅،{1}،{2،3،4}،Ω}.{\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.}

نظرية Sierpiński – Dynkin π-

مبرهنة سيربينسكي-دينكين π - 𝜆 : [ 3 ] إذاP{\displaystyle P}هو نظام باي ود{\displaystyle D}هو نظام دينكين معP⊆د،{\displaystyle P\subseteq D,}ثمσ{P}⊆د.{\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}

بمعنى آخر، الجبر 𝜎 الناتج عنP{\displaystyle P}يحتوي علىد.{\displaystyle D.}وبالتالي فإن نظام دينكين يحتوي على نظام π إذا وفقط إذا كان يحتوي على جبر π الناتج عن نظام π هذا .

أحد تطبيقات نظرية π - 𝜆 لسيربينسكي-دينكين هو تفرد المقياس الذي يقيم طول فترة زمنية (المعروف باسم مقياس ليبيغ ):

يترك(Ω،ب،ℓ){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )}ليكن [0,1] الفترة [0,1] مع قياس ليبيغ على مجموعات بوريل .م{\displaystyle m}سيكون ذلك إجراءً آخر علىΩ{\displaystyle \Omega }مُرضٍم[(أ،ب)]=ب-أ،{\displaystyle m[(a,b)]=b-a,}ودعد{\displaystyle D}كن عائلة المجموعاتS{\displaystyle S}بحيثم[S]=ℓ[S].{\displaystyle m[S]=\ell [S].} يتركأنا:={(أ،ب)،[أ،ب)،(أ،ب]،[أ،ب]:0<أ≤ب<1}،{\displaystyle I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},}ولاحظ ذلكأنا{\displaystyle I}مغلق تحت التقاطعات المحدودة، ذلكأنا⊆د،{\displaystyle I\subseteq D,}وذلكب{\displaystyle {\mathcal {B}}}هي الجبر 𝜎 الناتج عنأنا.{\displaystyle I.} قد يتبين أند{\displaystyle D}يستوفي الشروط المذكورة أعلاه لنظام دينكين. ومن نظرية سيربينسكي-دينكين π - 𝜆 ، يتبين أند{\displaystyle D}بل يشمل ذلك كل شيءب{\displaystyle {\mathcal {B}}}وهذا يعادل إثبات أن مقياس ليبيغ فريد علىب{\displaystyle {\mathcal {B}}}.

تطبيق على التوزيعات الاحتمالية

تُبرر نظرية π - 𝜆 التعريف الشائع لتوزيع الاحتمالات لمتغير عشوائيX:(Ω،F،P)→R{\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }من حيث دالة التوزيع التراكمي . تذكر أن التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يُعرَّف على النحو التالي: FX(أ)=P⁡[X≤أ]،أ∈R،{\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,} بينما يبدو أن القانون الأكثر عمومية للمتغير هو مقياس الاحتمالية لX(ب)=P⁡[X-1(ب)] للجميع ب∈ب(R)،{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),} أينب(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}هي جبر بوريل 𝜎. المتغيرات العشوائيةX:(Ω،F،P)→R{\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }وY:(Ω~،F~،P~)→R{\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }(على فضاءين احتماليين قد يكونان مختلفين ) متساويان في التوزيع (أو القانون )، ويرمز لهما بـX=دY،{\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}إذا كانت لهما نفس دوال التوزيع التراكمي؛ أي، إذاFX=FY.{\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}ينبع الدافع وراء هذا التعريف من الملاحظة التي مفادها أنه إذاFX=FY،{\displaystyle F_{X}=F_{Y},}إذن هذا يعني بالضبط أنلX{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}ولY{\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}الاتفاق على نظام π{(-∞،أ]:أ∈R}{\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}والذي ينتجب(R)،{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}وبناءً على المثال أعلاه :لX=لY.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}

وينطبق الأمر نفسه على التوزيع المشترك لمتجه عشوائي. على سبيل المثال، لنفترضX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}متغيران عشوائيان معرفان على نفس فضاء الاحتمال(Ω،F،P)،{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}مع أنظمة π المتولدة على التواليأناX{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}وأناY.{\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}دالة التوزيع التراكمي المشترك لـ(X،Y){\displaystyle (X,Y)}يكون FX،Y(أ،ب)=P⁡[X≤أ،Y≤ب]=P⁡[X-1((-∞،أ])∩Y-1((-∞،ب])]، للجميع أ،ب∈R.{\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}

لكن،أ=X-1((-∞،أ])∈أناX{\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}وب=Y-1((-∞،ب])∈أناY.{\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}لأن أناX،Y={أ∩ب:أ∈أناX، و ب∈أناY}{\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}} هو نظام π يتم توليده بواسطة الزوج العشوائي(X،Y)،{\displaystyle (X,Y),}تُستخدم نظرية π - 𝜆 لإثبات أن دالة التوزيع التراكمي المشترك تكفي لتحديد القانون المشترك لـ(X،Y).{\displaystyle (X,Y).}بعبارة أخرى،(X،Y){\displaystyle (X,Y)}و(دبليو،Z){\displaystyle (W,Z)}يكون لهما نفس التوزيع إذا وفقط إذا كان لهما نفس دالة التوزيع التراكمي المشترك.

في نظرية العمليات العشوائية ، عمليتان(Xت)ت∈تي،(Yت)ت∈تي{\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}من المعروف أن التوزيعات متساوية إذا وفقط إذا اتفقت على جميع التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة؛ أي، لجميعت1،...،تن∈تي،ن∈شمال،{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}(Xت1،...،Xتن)=د(Yت1،...،Yتن).{\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}

إن إثبات ذلك هو تطبيق آخر لنظرية π - 𝜆. [ 4 ]

انظر أيضاً

  • جبر المجموعات – الهويات والعلاقات التي تتضمن المجموعات 
  • حلقة دلتا – حلقة مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد 
  • حقل المجموعات - مفهوم جبري في نظرية القياس، ويشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات 
  • فئة الرتابة – نظرية القياس ونظرية الاحتمالات. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
  • نظام باي – عائلة من المجموعات المغلقة تحت التقاطع 
  • حلقة المجموعات – عائلة مغلقة تحت الاتحادات والمكملات النسبية 
  • الجبر سيجما – البنية الجبرية لجبر المجموعات 
  • 𝜎-مثالي – الأسرة المغلقة ضمن مجموعات فرعية والاتحادات القابلة للعد 
  • حلقة 𝜎 – عائلة من المجموعات المغلقة تحت اتحادات قابلة للعد 

ملحوظات

  1. ↑ سلسلة من المجموعاتأ1،أ2،أ3،...{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }يُطلق عليه اسم الزيادة إذاأن⊆أن+1{\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}للجميعن≥1.{\displaystyle n\geq 1.}
  2. ↑ افترضد{\displaystyle {\mathcal {D}}}يحقق (1) و(2) و(3). برهان (5) : تُستنتج الخاصية (5) من (1) و(2) باستخدامب:=Ω.{\displaystyle B:=\Omega .}سيتم استخدام اللمة التالية لإثبات (6). اللمة : إذاأ،ب∈د{\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}إذا كانت منفصلةأ∪ب∈د.{\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {D}}.}برهان اللمة :أ∩ب=∅{\displaystyle A\cap B=\varnothing }يشير إلىب⊆Ω∖أ،{\displaystyle B\subseteq \Omega \setminus A,}أينΩ∖أ⊆Ω{\displaystyle \Omega \setminus A\subseteq \Omega }بحسب (5). الآن، تشير (2) إلى أند{\displaystyle {\mathcal {D}}}يتضمن(Ω∖أ)∖ب=Ω∖(أ∪ب){\displaystyle (\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)}بحيث يضمن (5) أنأ∪ب∈د،{\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {D}},}وهذا يثبت اللمة. برهان (6) : افترض أنأ1،أ2،أ3،...{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }هي مجموعات منفصلة مثنى مثنى فيد.{\displaystyle {\mathcal {D}}.}لكل عدد صحيحن>0،{\displaystyle n>0,}تشير اللمة إلى أندن:=أ1∪⋯∪أن∈د{\displaystyle D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}}أين لأند1⊆د2⊆د3⊆⋯{\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots }(3) يزداد، ويضمن أند{\displaystyle {\mathcal {D}}}يحتوي على اتحادهمد1∪د2∪⋯=أ1∪أ2∪⋯،{\displaystyle D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,}حسب الرغبة.◼{\displaystyle \blacksquare }
  3. ↑ افترضد{\displaystyle {\mathcal {D}}}يحقق (4) و(5) و(6). برهان (2) : إذاأ،ب∈د{\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}مُرضٍأ⊆ب{\displaystyle A\subseteq B}ثم (5) يستلزمΩ∖ب∈د{\displaystyle \Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}}ومنذ ذلك الحين(Ω∖ب)∩أ=∅،{\displaystyle (\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,}(6) يعني أند{\displaystyle {\mathcal {D}}}يتضمن(Ω∖ب)∪أ=Ω∖(ب∖أ){\displaystyle (\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)}وبذلك يضمن الشرط (4) في النهاية أنΩ∖(Ω∖(ب∖أ))=ب∖أ{\displaystyle \Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A}هو فيد.{\displaystyle {\mathcal {D}}.}إثبات (3) : افترضأ1⊆أ2⊆⋯{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }هي سلسلة متزايدة من المجموعات الفرعية فيد،{\displaystyle {\mathcal {D}},}يتركد1=أ1،{\displaystyle D_{1}=A_{1},}ودعدأنا=أأنا∖أأنا-1{\displaystyle D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}}لكلأنا>1،{\displaystyle i>1,}حيث يضمن (2) أند2،د3،...{\displaystyle D_{2},D_{3},\ldots }جميعهم ينتمون إلىد.{\displaystyle {\mathcal {D}}.}منذد1،د2،د3،...{\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},\ldots }(6) يضمن أن اتحادها منفصل تمامًاد1∪د2∪د3∪⋯=أ1∪أ2∪أ3∪⋯{\displaystyle D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots }ينتمي إلىد،{\displaystyle {\mathcal {D}},}وهذا يثبت (3).◼{\displaystyle \blacksquare }

مراجع

  1. ↑ دينكين، إي.، "أسس نظرية عمليات ماركوف"، موسكو، 1959
  2. ↑ أليبرانتيس، شارالامبوس؛ بوردر، كيم سي. (2006). التحليل اللانهائي الأبعاد: دليل المسافر (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN 978-3-540-29587-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أغسطس 2010 .
  3. ↑ سينغوبتا. "محاضرات في نظرية القياس، المحاضرة 6: نظرية دينكين π − λ" (ملف PDF) . Math.lsu . تم الاطلاع عليه في 3 يناير 2023 .
  4. ↑ كالينبيرغ، أسس الاحتمالات الحديثة، ص 48

للمزيد من القراءة

تتضمن هذه المقالة مواد من نظام Dynkin على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .