خاصية التقاطع المحدود

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 79 صور
الموسوعة الحرة

بشكل عام، الطوبولوجيا هي فرع من فروع الرياضيات ، وهي عائلةأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}مجموعات جزئية من مجموعةX{\displaystyle X}يُقال إن لها خاصية التقاطع المحدود (FIP) إذا كانت أي عائلة فرعية محدودة منأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}تتميز المجموعة بتقاطع غير فارغ . وتتمتع بخاصية التقاطع المحدود القوي (SFIP) إذا كان لأي مجموعة فرعية محدودة تقاطع غير محدود. تُسمى المجموعات التي تتمتع بخاصية التقاطع المحدود أيضًا بالأنظمة المركزية والقواعد الفرعية للمرشحات . [ 1 ]

يمكن استخدام خاصية التقاطع المحدود لإعادة صياغة التراص الطوبولوجي بدلالة المجموعات المغلقة ؛ وهذا هو أبرز تطبيقاتها. تشمل التطبيقات الأخرى إثبات أن بعض المجموعات الكاملة غير قابلة للعد، وبناء المرشحات الفائقة .

تعريف

يتركX{\displaystyle X}كن مجموعة وأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}عائلة من المجموعات الفرعية منX{\displaystyle X}( مجموعة فرعية من مجموعة القوى لـX{\displaystyle X}). ثمأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يُقال إن المجموعة تتمتع بخاصية التقاطع المحدود إذا كان تقاطع عدد محدود من المجموعات الجزئية منأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}تكون المجموعة دائمًا غير فارغة؛ ويُقال إنها تتمتع بخاصية التقاطع المحدود القوي إذا كان هذا التقاطع دائمًا لانهائيًا. [ 1 ]

في دراسة المرشحات ، يُطلق على تقاطع مجموعة من المجموعات اسم النواة . تُسمى المجموعات ذات النواة الفارغة بالمجموعات الحرة ؛ أما تلك ذات النواة غير الفارغة فتُسمى بالمجموعات الثابتة . [ 2 ]

أمثلة ونماذج مضادة

لا يمكن أن تنتمي المجموعة الفارغة إلى أي عائلة ذات خاصية التقاطع المحدود.

لوأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}إذا كان للمصفوفة نواة غير فارغة، فإنها تتمتع بخاصية التقاطع المحدود بشكل بديهي. والعكس غير صحيح عمومًا (على الرغم من أنه صحيح بشكل بديهي عندماأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}(وهي مجموعة منتهية). على سبيل المثال، تتمتع عائلة جميع المجموعات الجزئية المنتهية من مجموعة لانهائية ثابتة - مرشح فريشيه - بخاصية التقاطع المحدود، على الرغم من أن نواتها فارغة. وبشكل أعم، يتمتع أي مرشح مناسب بخاصية التقاطع المحدود.

تُعد خاصية التقاطع المحدود أقوى بكثير من اشتراط أن يكون التقاطع الثنائي غير فارغ، على سبيل المثال، عائلة{{1،2}،{2،3}،{1،3}}{\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}}لها تقاطعات ثنائية غير فارغة، لكنها لا تمتلك خاصية التقاطع المحدود. وبشكل أعم، ليكنن{\displaystyle n}ليكن عددًا طبيعيًا،X{\displaystyle X}كن مجموعة معن{\displaystyle n}العناصر ودعأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يتألف من تلك المجموعات الفرعية منX{\displaystyle X}والتي تحتوي على جميع العناصر باستثناء عنصر واحد. ثم تقاطع أقل منن{\displaystyle n}مجموعات فرعية منأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يوجد تقاطع غير فارغ، ولكنأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يفتقر إلى خاصية التقاطع المحدود.

الإنشاءات الطرفية

لوأ0⊇أ1⊇أ2⋯{\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\cdots }إذا كانت متتالية متناقصة من المجموعات غير الفارغة، فإن العائلةأ={أ0،أ1،أ2،...}{\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \right\}}يتمتع بخاصية التقاطع المحدود (وهو نظام π ). إذا كان كلأأنا{\displaystyle A_{i}}إذا كانت لانهائية، فإنأ{\textstyle {\mathcal {A}}}كما أنها تقبل خاصية التقاطع القوي المحدود.

بشكل أعم، أي عائلة من المجموعات غير الفارغة المرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء تتمتع بخاصية التقاطع المحدود، وأي عائلة من المجموعات غير المحدودة المرتبة ترتيبًا كليًا بالاحتواء تتمتع بخاصية التقاطع المحدود القوي. في الوقت نفسه، قد تكون النواة فارغة: لنأخذ عائلة المجموعات الجزئية كمثال.[أ،+∞){\displaystyle [a,+\infty )}لأ∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }.

المجموعات والخصائص "العامة"

عائلة جميع المجموعات الفرعية لبوريل من[0،1]{\displaystyle [0,1]}تتمتع المجموعة ذات مقياس ليبيغ 1 بخاصية التقاطع المحدود، كما هو الحال بالنسبة لعائلة المجموعات المتقاطعة . [ 3 ] [ 4 ]

لوX=(0،1){\displaystyle X=(0,1)}ولكل عدد صحيح موجبأنا{\displaystyle i}، المجموعة الفرعيةXأنا{\displaystyle X_{i}}هي بالضبط جميع عناصرX{\displaystyle X}امتلاك رقم0{\displaystyle 0}فيأنا{\displaystyle i}إذا كان الرقم عند المنزلة العشرية رقم n ، فإن أي تقاطع محدود لـXأنا{\displaystyle X_{i}}ليس فارغًا  — فقط خذ0{\displaystyle 0}في تلك الأماكن المحدودة و1{\displaystyle 1}في الباقي. لكن تقاطعXأنا{\displaystyle X_{i}}للجميعأنا≥1{\displaystyle i\geq 1}فارغة، لأنه لا يوجد عنصر من(0،1){\displaystyle (0,1)}جميع أرقامه أصفار.

المرشحات والطوبولوجيات المُولَّدة

لوك⊆X{\displaystyle K\subseteq X}إذا كانت مجموعة غير فارغة، فإن العائلةأ={S⊆X:ك⊆S}{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}}يحتوي على FIP؛ وتسمى هذه العائلة بالمرشح الرئيسي علىX{\textstyle X}تم إنشاؤه بواسطةك{\textstyle K}المجموعة الفرعيةب={أنا⊆R:ك⊆أنا و أنا فاصل زمني مفتوح}{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ و }}I{\text{ فترة مفتوحة}}\}}يحتوي على FIP لنفس السبب تقريبًا: تحتوي النوى على المجموعة غير الفارغةك{\textstyle K}. لوك{\textstyle K}إذا كانت فترة مفتوحة، فإن المجموعةك{\textstyle K}وهو في الواقع يساوي نوىأ{\textstyle {\mathcal {A}}}أوب{\textstyle {\mathcal {B}}}وكذلك يُعد عنصرًا من عناصر كل مرشح. ولكن بشكل عام، لا يشترط أن تكون نواة المرشح عنصرًا من عناصر المرشح نفسه.

يتمتع المرشح المناسب بخاصية التقاطع المحدود. كل أساس فرعي للجوار عند نقطة في فضاء طوبولوجي يتمتع بخاصية التقاطع المحدود، وينطبق الشيء نفسه على كل أساس للجوار وكل مرشح للجوار عند نقطة (لأن كل منهما، على وجه الخصوص، هو أيضًا أساس فرعي للجوار).

العلاقة بأنظمة ومرشحات باي

النظام π هو عائلة من المجموعات المغلقة تحت تقاطعات منتهية لمجموعة واحدة أو أكثر من مجموعاتها. بالنسبة لعائلة من المجموعات ⁠أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}عائلة المجموعاتπ(أ)={أ1∩⋯∩أن:1≤ن<∞ و أ1،...،أن∈أ}،{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ و }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\},}وهي جميع التقاطعات المحدودة لمجموعة واحدة أو أكثر منأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}يُطلق عليه اسم نظام π الناتج عنأ{\textstyle {\mathcal {A}}}لأنه أصغر نظام π يمتلكأ{\textstyle {\mathcal {A}}}كمجموعة فرعية.

الإغلاق التصاعدي لـπ(أ){\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}فيX{\textstyle X}هي المجموعةπ(أ)↑X={S⊆X:P⊆S بالنسبة للبعض P∈π(أ)}.{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ لبعض }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}}لأي عائلةأ{\textstyle {\mathcal {A}}}خاصية التقاطع المحدود تعادل أيًا مما يلي :

  • النظام π الناتج عنأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}لا تحتوي على المجموعة الفارغة كعنصر؛ أي،∅∉π(أ).{\displaystyle \varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).}
  • المجموعةπ(أ){\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}له خاصية التقاطع المحدود.
  • المجموعةπ(أ){\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}هو مرشح مسبق (مناسب) [ 5 ] .
  • العائلةأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}هي مجموعة فرعية من مرشح مسبق (مناسب) . [ 1 ]
  • الإغلاق التصاعديπ(أ)↑X{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}هو مرشح (مناسب) علىX{\displaystyle X}في هذه الحالة ،π(أ)↑X{\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}يُطلق عليه اسم المرشح الموجود علىX{\displaystyle X}تم إنشاؤه بواسطةأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}لأنه الحد الأدنى (بالنسبة إلى⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}) تصفية علىX{\displaystyle X}الذي يحتويأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}كمجموعة فرعية.
  • أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}هي مجموعة فرعية من مرشح (مناسب) [ 5 ] . [ 1 ]

التطبيقات

تماسك

تُعد خاصية التقاطع المحدود مفيدة في صياغة تعريف بديل للتراص :

نظرية — الفضاء يكون متراصاً إذا وفقط إذا كانت كل عائلة من المجموعات الجزئية المغلقة التي لها خاصية التقاطع المحدود لها تقاطع غير فارغ . [ 6 ] [ 7 ]

تُستخدم هذه الصيغة للتراص في بعض براهين نظرية تيكونوڤ .

عدد لا يحصى من المساحات المثالية

من التطبيقات الشائعة الأخرى إثبات أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد . لاحظ أن المجموعة الجزئية من الفضاء الطوبولوجي تكون مثالية إذا كانت مغلقة وتتمتع بخاصية عدم وجود مجموعة جزئية مفتوحة تحتوي على نقطة واحدة .

نظرية — ليكنX{\displaystyle X}ليكن فضاء هاوسدورف غير فارغ، مثالي، ومضغوط .X{\displaystyle X}غير معدود .

أمثلة على حالات الفشل:

  1. يمكن أن تفشل النظرية بدون شرط هاوسدورف؛ فالمجموعة القابلة للعد التي تحتوي على نقطتين على الأقل والتي لها طوبولوجيا غير منفصلة تكون مثالية ومضغوطة، ولكنها ليست غير قابلة للعد.
  2. يمكن أن تفشل النظرية بدون شرط التراص، كما توضح مجموعة الأعداد النسبية .
  3. يمكن أن تفشل النظرية بدون الشرط المثالي، كما يتضح من أي فضاء محدود ذي طوبولوجيا منفصلة .
دليل

لإثبات ذلك بالتناقض ، افترض وجود تطبيق شامل ،و:شمال→X{\displaystyle f:\mathbb {N} \to X}، حيثشمال={1،2،3،...}{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}هي مجموعة الأعداد الطبيعية. ليكنيو0=X{\displaystyle U_{0}=X}المجموعة​يو0{\displaystyle U_{0}}غير فارغ ومفتوح. في الخطوة العامة لـأنا∈شمال{\displaystyle i\in \mathbb {N} }سنختار مجموعة مفتوحة غير فارغةيوأنا⊆يوأنا-1{\displaystyle U_{i}\subseteq U_{i-1}}إغلاقه لا يحتوي علىو(أنا){\displaystyle f(i)}نلاحظ أنيوأنا-1{\displaystyle U_{i-1}}تحتوي على نقطتين على الأقل لأنها غير فارغة ومفتوحة، وX{\displaystyle X}مثالي. اختر نقطةy{\displaystyle y}منيوأنا-1{\displaystyle U_{i-1}}وهذا يختلف عنو(أنا){\displaystyle f(i)}. وفقًا لشرط هاوسدورف، اختر مجموعات مفتوحة منفصلةV{\displaystyle V}ودبليو{\displaystyle W}التي تحتويy{\displaystyle y}و​و(أنا){\displaystyle f(i)}على التوالي. ثميوأنا=يوأنا-1∩V{\displaystyle U_{i}=U_{i-1}\cap V}يلبي المتطلبات المطلوبة.

المجموعة{يوأنا:أنا∈شمال}{\displaystyle \left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}يحقق خاصية التقاطع المحدود، وبالتالي فإن تقاطع إغلاقاته غير فارغ بسبب خاصية التراص لـX{\displaystyle X}. دعx{\displaystyle x}كن نقطة في هذا التقاطع. لأيأنا∈شمال{\displaystyle i\in \mathbb {N} }، لا يمكن أن يكون الأمر كذلكx=و(أنا){\displaystyle x=f(i)}لأنو(أنا){\displaystyle f(i)}لا ينتمي إلى إغلاقيوأنا{\displaystyle U_{i}}لكنx{\displaystyle x}يفعل ذلك. أي أننا أثبتنا ذلك.و{\displaystyle f}ليس هذا استنتاجاً شاملاً؛ بل هو تناقض. لا بد أن يكون كذلك.X{\displaystyle X}لا يمكن عدها.

النتيجة — كل فترة مغلقة[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}معأ<ب{\displaystyle a<b}هو غير قابل للعد. لذلك،R{\displaystyle \mathbb {R} }لا يمكن عدها.

النتيجة — كل مساحة هاوسدورف مثالية ومضغوطة محليًا لا يمكن عدها.

دليل

لوX{\displaystyle X}إذا كانت المجموعة متراصة أيضًا، فإن النظرية تستلزم ذلك مباشرة.X{\displaystyle X}غير معدود. إذاX{\displaystyle X}إذا لم يكن مضغوطًا، فإن ضغط النقطة الواحدة لـX{\displaystyle X}هي فضاء هاوسدورف مثالي ومضغوط، وبالتالي فهي غير قابلة للعد وفقًا للنظرية. وبما أن إزالة نقطة واحدة من مجموعة غير قابلة للعد لا تزال تُبقي على مجموعة غير قابلة للعد،X{\displaystyle X}وهو غير قابل للعد أيضاً.

المرشحات الفائقة

يتركX{\displaystyle X}أن تكون غير فارغة،F⊆2X.{\displaystyle F\subseteq 2^{X}.}F{\displaystyle F}إذا كانت لها خاصية التقاطع المحدود، فإنه يوجديو{\displaystyle U}مرشح فائق (في2X{\displaystyle 2^{X}}) بحيثF⊆يو.{\displaystyle F\subseteq U.} تُعرف هذه النتيجة باسم معضلة المرشح الفائق . [ 8 ]

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

الاقتباسات

  1. 1 2 3 4 جوشي 1983 ، ص 242-248.
  2. ↑ Dolecki & Mynard 2016 ، ص 27-29 ، 33-35.
  3. ↑ بورباكي 1987 ، ص 57-68.
  4. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 44-46.
  5. 1 2 المرشح أو المرشح المسبق في جهاز التلفزيون هومناسب أوغير منحل إذا لم يحتوِ على المجموعة الفارغة كعنصر. وكما هو الحال مع العديد من المؤلفين - وليس جميعهم - ستشترط هذه المقالة عدم الانحلال كجزء من تعريفات "التصفية المسبقة" و"التصفية".
  6. ↑ مونكرز 2000 ، ص 169.
  7. ↑ الفضاء يكون مضغوطًا إذا وفقط إذا كان لأي عائلة من المجموعات المغلقة التي تحتوي على fip تقاطع غير فارغ عند PlanetMath .
  8. ^ سيرماز، لازلو؛ هاجنال، أندراس (1994)، Matematikai logika (باللغة الهنغارية) ، بودابست: جامعة Eötvös Loránd.

مصادر عامة