نظام باي

في الرياضيات ، نظام π (أو نظام باي ) على مجموعة$أوميغا$هي مجموعة${\displaystyle P}$من مجموعات فرعية معينة من$أوميغا$بحيث

• ${\displaystyle P}$غير فارغ .
• لو${\displaystyle A,B\in P}$ثم${\displaystyle A\cap B\in P.}$

إنه،${\displaystyle P}$هي عائلة غير فارغة من المجموعات الجزئية من$أوميغا$أي أنها مغلقة تحت التقاطعات المنتهية غير الفارغة . ^{[ ملاحظة 1 ]} تكمن أهمية أنظمة π في أنه إذا اتفق مقياسان احتماليان على نظام π ، فإنهما يتفقان أيضًا على جبر 𝜎 الناتج عن ذلك النظام . علاوة على ذلك، إذا تحققت خصائص أخرى، مثل تساوي التكاملات، لنظام π ، فإنها تتحقق أيضًا لجبر 𝜎 الناتج . هذا هو الحال عندما تكون مجموعة المجموعات الجزئية التي تتحقق فيها الخاصية نظام 𝜆 . تُعد أنظمة π مفيدة أيضًا للتحقق من استقلال المتغيرات العشوائية.

يُعدّ هذا الأمر مرغوبًا فيه لأنه عمليًا، غالبًا ما تكون أنظمة π أسهل في التعامل معها من جبر 𝜎 . على سبيل المثال، قد يكون من الصعب التعامل مع جبر 𝜎 المُولّد بواسطة عدد لا نهائي من المجموعات.${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$لذا، بدلاً من ذلك، يمكننا دراسة اتحاد جميع الجبر 𝜎 المولد بواسطة عدد محدود من المجموعات${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$يشكل هذا نظامًا π يُولّد جبر 𝜎 المطلوب . مثال آخر هو مجموعة جميع فترات خط الأعداد الحقيقية ، بالإضافة إلى المجموعة الفارغة، وهو نظام π يُولّد جبر بوريل 𝜎 المهم جدًا للمجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية.

النظام π هو مجموعة غير فارغة من المجموعات${\displaystyle P}$أي أنها مغلقة تحت التقاطعات المحدودة غير الفارغة، وهو ما يكافئ${\displaystyle P}$تحتوي على تقاطع أي عنصرين من عناصرها. إذا كانت كل مجموعة في هذا النظام π مجموعة جزئية من$أوميغا$ثم يُطلق عليه نظام π$أوميغا .$

لأي عائلة غير خالية${\displaystyle \Sigma }$من مجموعات فرعية من$أوميغا$يوجد نظام π${\displaystyle {\mathcal {I}} _ {\Sigma },}$يُطلق عليه نظام π الناتج عن${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$، أي أصغر نظام π فريد من نوعه$أوميغا$يحتوي على كل عنصر من${\displaystyle \Sigma .}$ وهو يساوي تقاطع جميع أنظمة π التي تحتوي${\displaystyle \Sigma ,}$ويمكن وصفها صراحةً بأنها مجموعة جميع التقاطعات المحدودة غير الفارغة الممكنة لعناصر من${\displaystyle \Sigma$ :} $${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ و }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$$

تتمتع عائلة المجموعات غير الفارغة بخاصية التقاطع المحدود إذا وفقط إذا كان نظام π الذي تولده لا يحتوي على المجموعة الفارغة كعنصر.

• لأي أعداد حقيقية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b,}$الفترات${\displaystyle (-\infty ,a]}$تشكل نظام π ، والفترات${\displaystyle (a,b]}$تشكل نظام π إذا تم تضمين المجموعة الفارغة أيضًا.
• إن طوبولوجيا (مجموعة من المجموعات الفرعية المفتوحة ) لأي فضاء طوبولوجي هي نظام π .
• كل مرشح هو نظام π . كل نظام π لا يحتوي على المجموعة الفارغة هو مرشح مسبق (يُعرف أيضًا باسم قاعدة المرشح).
• لأي دالة قابلة للقياس${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$المجموعة ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$يُعرّف نظام π ، ويُسمى نظام π الناتج عن${\displaystyle f.}$(بدلاً عن ذلك،${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$يُعرّف نظام π الناتج عن${\displaystyle f.}$)
• لو${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$هي أنظمة π لـ${\displaystyle \Omega _{1}}$و${\displaystyle \Omega _{2},}$على التوالي، ثم${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$هو نظام π للجداء الديكارتي${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• كل جبر 𝜎 هو نظام π .

نظام 𝜆 على​$أوميغا$هي مجموعة${\displaystyle D}$من مجموعات فرعية من$أوميغا$مُرضٍ

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• لو${\displaystyle A\in D}$ثم${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• لو${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$هي سلسلة من المجموعات الفرعية المنفصلة (ثنائياً) في${\displaystyle D}$ثم${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty}A_{n}\in D.}$

صحيحٌ أن أي جبر 𝜎 يحقق خصائص كونه نظام π ونظام 𝜆 في آنٍ واحد ، إلا أنه ليس صحيحًا أن أي نظام π هو نظام 𝜆 ، كما أنه ليس صحيحًا أن أي نظام π هو جبر 𝜎 . مع ذلك، يُعدّ تصنيف أي نظام مجموعات يجمع بين خصائص نظام 𝜆 ونظام π جبر 𝜎 تصنيفًا مفيدًا . ويُستخدم هذا التصنيف كخطوة في إثبات نظرية π - 𝜆 .

تُستخدم أنظمة باي (π- systems) بشكل أكثر شيوعًا في دراسة نظرية الاحتمالات مقارنةً بمجال نظرية القياس بشكل عام. ويعود ذلك أساسًا إلى مفاهيم احتمالية مثل الاستقلال ، وإن كان قد يكون أيضًا نتيجةً لكون نظرية باي- π قد برهنها عالم الاحتمالات يوجين دينكين . وعادةً ما تُثبت كتب نظرية القياس القياسية النتائج نفسها باستخدام الفئات الرتيبة ، بدلًا من أنظمة باي (π -systems).

العائلات${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من مجموعات أكثر${\displaystyle \Omega }$ v ت هـ
ينطبق بالضرورة على${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$أو، هو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب:	إخراج​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
نظام π
شبه حلقي										أبداً
شبه الجبر (شبه الحقل)										أبداً
فصل دراسي رتيب						فقط إذا${\displaystyle A_{i}\searrow }$	فقط إذا${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
نظام 𝜆 (نظام دينكين)				فقط إذا${\displaystyle A\subseteq B}$			فقط إذا${\displaystyle A_{i}\nearrow }$أو أنها منفصلة			أبداً
الحلقة (نظرية الترتيب)
الحلقة (نظرية القياس)										أبداً
حلقة دلتا										أبداً
𝜎-ring										أبداً
الجبر (مجال)										أبداً
الجبر π (حقل π)										أبداً
فلتر
فلتر مناسب				أبداً	أبداً				أبداً
مرشح أولي (قاعدة المرشح)
قاعدة بيانات التصفية الفرعية
الطوبولوجيا المفتوحة							(حتى التعسفي)${\displaystyle \cup }$)			أبداً
الطوبولوجيا المغلقة						(حتى التعسفي)${\displaystyle \cap }$)				أبداً
ينطبق بالضرورة على${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$أو، هو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب:	موجهة للأسفل	التقاطعات المحدودة	الاتحادات المحدودة	المكملات النسبية	يكمل في${\displaystyle \Omega }$	التقاطعات القابلة للعد	النقابات القابلة للعد	يتضمن${\displaystyle \Omega }$	يتضمن${\displaystyle \varnothing }$	خاصية التقاطع المحدود
بالإضافة إلى ذلك، فإن شبه الحلقة هي نظام π حيث يكون كل مكمل${\displaystyle B\setminus A}$يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ الجبر الجزئي هو حلقة جزئية حيث كل مكمل${\displaystyle \Omega \setminus A}$يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$هي عناصر اعتباطية من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ويفترض أن${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

• حلقة دلتا – حلقة مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد 
• حقل المجموعات - مفهوم جبري في نظرية القياس، ويشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات 
• مثالي على مجموعة - عائلة غير فارغة من المجموعات مغلقة تحت الاتحادات والمجموعات الجزئية المنتهية 
• الاستقلال (نظرية الاحتمالات) - عندما لا يؤثر وقوع حدث ما على احتمالية وقوع حدث آخر 
• نظام 𝜆 (نظام دينكين) – عائلة مغلقة تحت المكملات والاتحادات المنفصلة القابلة للعد 
• نظرية الفئة الرتيبة – نظرية القياس ونظرية الاحتمالات 
• التوزيع الاحتمالي – دالة رياضية لاحتمالية حدوث نتيجة معينة في تجربة ما 
• حلقة المجموعات – عائلة مغلقة تحت الاتحادات والمكملات النسبية 
• الجبر سيجما – البنية الجبرية لجبر المجموعات 
• 𝜎-مثالي – الأسرة المغلقة ضمن مجموعات فرعية والاتحادات القابلة للعد 
• حلقة 𝜎 – عائلة من المجموعات المغلقة تحت اتحادات قابلة للعد 

• غوت، آلان (2005). الاحتمالات: دورة دراسات عليا . نصوص سبرينغر في الإحصاء. نيويورك: سبرينغر. doi : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• ويليامز، ديفيد (1991). الاحتمالات مع المارتينجالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-40605-6.
• دوريت، ريتشارد (2019). الاحتمالات: النظرية والأمثلة (ملف PDF) . سلسلة كامبريدج في الرياضيات الإحصائية والاحتمالية. المجلد  49 (  الطبعة الخامسة). كامبريدج، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-1-108-47368-2OCLC 1100115281. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 نوفمبر 2020 .