سيجما-مثالي

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية القياس ، يُعدّ المثالي σ ، أو المثالي سيجما ، في جبر سيجما ( σ ) مجموعة جزئية ذات خصائص إغلاق مرغوبة . وهو نوع خاص من المثالي ، ويُستخدم بكثرة في نظرية الاحتمالات .

يترك${\displaystyle (X,\Sigma )}$أن تكون مساحة قابلة للقياس (بمعنى${\displaystyle \Sigma }$هي جبر 𝜎 من مجموعات جزئية من${\displaystyle X}$). مجموعة فرعية${\displaystyle N}$ل${\displaystyle \Sigma }$يكون مثالياً من النوع 𝜎 إذا تحققت الخصائص التالية:

1. ${\displaystyle \varnothing \in N}$؛
2. متى${\displaystyle A\in N}$و${\displaystyle B\in \Sigma }$ثم${\displaystyle B\subseteq A}$يشير إلى${\displaystyle B\in N}$؛
3. لو${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq N}$ثم${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in N.}$

باختصار، يجب أن يحتوي المثالي سيجما على المجموعة الفارغة وأن يحتوي على مجموعات جزئية قابلة للقياس واتحادات قابلة للعد لعناصره. مفهوم المثالي π هو مفهوم مزدوج لمفهوم المرشح الكامل القابل للعد ( π- ) .

إذا كان هناك مقياس${\displaystyle \mu }$يُعطى في${\displaystyle (X,\Sigma ),}$مجموعة${\displaystyle \mu }$- مجموعات ضئيلة (${\displaystyle S\in \Sigma }$بحيث${\displaystyle \mu (S)=0}$) هو 𝜎 -مثالي.

يمكن تعميم هذا المفهوم ليشمل الطلبات المسبقة${\displaystyle (P,\leq ,0)}$مع عنصر سفلي${\displaystyle 0}$على النحو التالي:${\displaystyle I}$هو مثال 𝜎 لـ${\displaystyle P}$في اللحظة التي

(أنا')${\displaystyle 0\in I,}$

(ii')${\displaystyle x\leq y{\text{ و }}y\in I}$يشير إلى${\displaystyle x\in I,}$و

(iii') بالنظر إلى متتالية${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in I,}$يوجد بعض${\displaystyle y\in I}$بحيث${\displaystyle x_{n}\leq y}$لكل${\displaystyle n.}$

هكذا${\displaystyle I}$يحتوي على العنصر السفلي، وهو مغلق من الأسفل، ويحقق نظيرًا قابلًا للعد لخاصية كونه موجهًا لأعلى .

مثال 𝜎 لمجموعة​${\displaystyle X}$هو مثال 𝜎 لمجموعة القوى الخاصة بـ${\displaystyle X.}$أي أنه عندما لا يتم تحديد جبر 𝜎 ، يتم ببساطة أخذ مجموعة القوى الكاملة للمجموعة الأساسية. على سبيل المثال، المجموعات الجزئية الضئيلة لفضاء طوبولوجي هي تلك الموجودة في المثالي 𝜎 الناتج عن مجموعة المجموعات الجزئية المغلقة ذات الداخل الفارغ.

• حلقة دلتا – حلقة مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد 
• حقل المجموعات - مفهوم جبري في نظرية القياس، ويشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات 
• الربط (جبر سيجما) – البنية الجبرية لجبر المجموعات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظام 𝜆 (نظام دينكين) – عائلة مغلقة تحت المكملات والاتحادات المنفصلة القابلة للعد 
• دالة قابلة للقياس - نوع من الدوال الرياضية 
• نظام باي – عائلة من المجموعات المغلقة تحت التقاطع 
• حلقة المجموعات – عائلة مغلقة تحت الاتحادات والمكملات النسبية 
• فضاء العينة - مجموعة جميع النتائج أو المخرجات الممكنة لتجربة إحصائية أو عملية تجريبية 
• الجبر 𝜎 – البنية الجبرية لجبر المجموعات 
• حلقة 𝜎 – عائلة من المجموعات المغلقة تحت اتحادات قابلة للعد 
• خاصية الجمع سيجما – وظائف الربط: صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 

• باور، هاينز (2001): نظرية القياس والتكامل . Walter de Gruyter GmbH & Co. KG، 10785 برلين، ألمانيا.