فضاء العينة

في نظرية الاحتمالات ، تُعرف فضاء العينة (ويُسمى أيضًا فضاء وصف العينة ، ^{[ 1 ]} أو فضاء الإمكانية ، ^{[ 2 ]} أو فضاء النتائج ^{[ 3 ]} ) لتجربة أو محاكمة عشوائية بأنه مجموعة جميع النتائج أو المخرجات الممكنة لتلك التجربة. ^{[ 4 ]} يُرمز عادةً لفضاء العينة باستخدام رمز المجموعة ، وتُدرج النتائج المرتبة الممكنة، أو نقاط العينة، ^{[ 5 ]} كعناصر في المجموعة. من الشائع الإشارة إلى فضاء العينة بالرموز S أو Ω أو U (اختصارًا لـ " المجموعة الشاملة "). قد تكون عناصر فضاء العينة أعدادًا أو كلمات أو حروفًا أو رموزًا. كما يمكن أن تكون منتهية أو غير منتهية قابلة للعد أو غير منتهية غير قابلة للعد . ^{[ 6 ]}

تُعتبر مجموعة جزئية من فضاء العينة حدثًا ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle E}$إذا تم تضمين نتيجة التجربة في${\displaystyle E}$ثم الحدث${\displaystyle E}$حدث ذلك. ^{[ 7 ]}

على سبيل المثال، إذا كانت التجربة عبارة عن رمي عملة معدنية واحدة، فإن فضاء العينة هو المجموعة${\displaystyle \{H,T\}}$، حيث النتيجة${\displaystyle H}$هذا يعني أن العملة المعدنية تظهر صورة والنتيجة${\displaystyle T}$يعني ذلك أن العملة عليها صورة. ^{[ 8 ]} الأحداث المحتملة هي${\displaystyle E=\{\}}$،${\displaystyle E=\{H\}}$،${\displaystyle E=\{T\}}$، و${\displaystyle E=\{H,T\}}$بالنسبة لرمي عملتين معدنيتين، فإن فضاء العينة هو${\displaystyle \{HH,HT,TH,TT\}}$، حيث تكون النتيجة${\displaystyle HH}$إذا كانت كلتا العملتين تحملان صورة،${\displaystyle HT}$إذا كانت العملة الأولى صورة والثانية كتابة،${\displaystyle TH}$إذا كانت العملة الأولى ذات صورة والأخرى ذات كتابة، و${\displaystyle TT}$إذا كانت كلتا العملتين تحملان صورة. ^{[ 9 ]} يُعطى حدث أن تكون إحدى العملتين على الأقل تحمل صورة بواسطة${\displaystyle E=\{HH,HT,TH\}}$.

بالنسبة لرمي نرد سداسي الأوجه مرة واحدة، حيث تكون النتيجة المطلوبة هي عدد النقاط الظاهرة، فإن فضاء العينة هو${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$[ ^{10 ]​}

فضاء عينة محدد جيدًا وغير فارغ${\displaystyle S}$يُعدّ أحد المكونات الثلاثة في النموذج الاحتمالي ( فضاء الاحتمالات ). أما العنصران الأساسيان الآخران فهما مجموعة محددة جيدًا من الأحداث الممكنة (فضاء الأحداث)، والتي عادةً ما تكون مجموعة القوى لـ${\displaystyle S}$لو${\displaystyle S}$منفصلة أو جبر سيجما على${\displaystyle S}$إذا كانت متصلة، ويتم تعيين احتمال لكل حدث ( دالة قياس الاحتمال ). ^{[ 11 ]}

يمكن تمثيل فضاء العينة بصريًا بمستطيل، حيث تُمثل النقاط داخل المستطيل نتائج فضاء العينة. ويمكن تمثيل الأحداث بأشكال بيضاوية، حيث تُشكل النقاط المحصورة داخل الشكل البيضاوي الحدث. ^{[ 12 ]}

مجموعة$أوميغا$مع النتائج${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}}$(أي${\displaystyle \Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}}$يجب أن تستوفي بعض الشروط لكي تكون فضاء عينة: ^{[ 13 ]}

• يجب أن تكون النتائج متنافية ، أي إذا${\displaystyle s_{j}}$يحدث ذلك، ثم لا يحدث شيء آخر${\displaystyle s_{i}}$سيحدث ذلك،${\displaystyle \forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j}$[ ^{6 ]​}
• يجب أن تكون النتائج شاملة بشكل جماعي ، أي أنه في كل تجربة (أو محاولة عشوائية) سيحدث دائمًا نتيجة ما.${\displaystyle s_{i}\in \Omega }$ل${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$[ ^{6 ]​}
• فضاء العينة ($أوميغا$يجب أن تتمتع ) بالدقة المناسبة اعتمادًا على ما يهتم به المجرب. يجب إزالة المعلومات غير ذات الصلة من فضاء العينة ويجب اختيار التجريد الصحيح.

فعلى سبيل المثال، في تجربة رمي قطعة نقدية، فإن أحد فضاءات العينة الممكنة هو${\displaystyle \Omega _{1}=\{H,T\}}$، أين${\displaystyle H}$هي النتيجة التي تظهر عند رمي العملة على الوجه و${\displaystyle T}$هذا مخصص للذيل. يمكن أن تكون مساحة العينة المحتملة الأخرى هي${\displaystyle \Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}}$. هنا،${\displaystyle R}$يشير إلى يوم ممطر و${\displaystyle NR}$هو يوم لا تمطر فيه السماء. بالنسبة لمعظم التجارب،${\displaystyle \Omega _{1}}$سيكون خيارًا أفضل من${\displaystyle \Omega _{2}}$، لأن المجرب على الأرجح لا يهتم بكيفية تأثير الطقس على رمي العملة.

في العديد من التجارب، قد يتوفر أكثر من فضاء عينة محتمل، وذلك بحسب النتيجة التي تهم المجرب. على سبيل المثال، عند سحب بطاقة من مجموعة أوراق لعب قياسية مكونة من 52 بطاقة ، يمكن أن يكون أحد احتمالات فضاء العينة هو الرتب المختلفة (من الآس إلى الملك)، بينما يمكن أن يكون احتمال آخر هو أنواع البطاقات (النوادي، والماس، والقلوب، والبستوني). ^{[ 4 ] [ 14 ]} مع ذلك، يمكن لوصف أكثر شمولاً للنتائج أن يحدد كلاً من قيمة البطاقة ونوعها، ويمكن إنشاء فضاء عينة يصف كل بطاقة على حدة كحاصل ضرب ديكارتي لفضاءي العينة المذكورين أعلاه (سيحتوي هذا الفضاء على 52 نتيجة متساوية الاحتمال). كما توجد فضاءات عينة أخرى ممكنة، مثل الوضع الصحيح أو الوضع المقلوب، إذا تم قلب بعض البطاقات أثناء الخلط.

تفترض بعض معالجات الاحتمالات أن نتائج التجربة المختلفة تُعرَّف دائمًا بحيث تكون متساوية الاحتمالية. ^{[ 15 ]} لأي فضاء عينة مع${\displaystyle N}$النتائج متساوية الاحتمال، ويتم تخصيص احتمال لكل نتيجة${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$^{[ 16 ]} مع ذلك ، توجد تجارب لا يمكن وصفها بسهولة بمساحة عينة من النتائج المتساوية الاحتمال - على سبيل المثال، إذا قام شخص ما برمي دبوس إبهام عدة مرات ولاحظ ما إذا كان قد سقط ورأسه لأعلى أو لأسفل، فلا يوجد تناظر فيزيائي يشير إلى أن النتيجتين متساويتان في الاحتمال. ^{[ 17 ]}

على الرغم من أن معظم الظواهر العشوائية لا تتساوى احتمالات نتائجها، إلا أنه من المفيد تحديد فضاء العينة بحيث تكون احتمالات النتائج متساوية تقريبًا على الأقل، لأن هذا الشرط يُبسط بشكل كبير حساب احتمالات الأحداث داخل فضاء العينة. إذا حدثت كل نتيجة على حدة بنفس الاحتمال، فإن احتمال أي حدث يصبح ببساطة: ^{[ 18 ] : 346-347}

${\displaystyle \mathrm {P} ({\text{event}})={\frac {\text{عدد النتائج في الحدث}}{\text{عدد النتائج في فضاء العينة}}}}$

على سبيل المثال، إذا تم رمي نردين متوازنين بستة أوجه لتوليد عددين صحيحين موزعين بشكل منتظم ،${\displaystyle D_{1}}$و${\displaystyle D_{2}}$، كل منها في النطاق من 1 إلى 6، شاملةً، أزواج النتائج المرتبة الـ 36 الممكنة${\displaystyle (D_{1},D_{2})}$تشكل فضاء عينة من الأحداث متساوية الاحتمال. في هذه الحالة، تنطبق الصيغة المذكورة أعلاه، مثل حساب احتمال الحصول على مجموع معين لرميتين في نتيجة معينة. احتمال الحدث الذي يكون فيه المجموع${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$هو خمسة هو${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$، حيث أن أربعة من أزواج النتائج الستة والثلاثين المتساوية الاحتمالية مجموعها خمسة.

إذا كانت فضاء العينة هو جميع المجاميع الممكنة الناتجة عن رمي نردين سداسيين، فإنه لا يزال من الممكن تطبيق الصيغة المذكورة أعلاه لأن رمي النرد عادل، ولكن عدد النتائج في حدث معين سيختلف. يمكن أن يكون المجموع اثنين مع النتيجة${\displaystyle \{(1,1)\}}$إذن، الاحتمال هو${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$بالنسبة لمجموع سبعة، تكون نتائج الحدث هي${\displaystyle \{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}}$إذن، الاحتمال هو${\displaystyle {\frac {6}{36}}}$[ ^{19 ]​}

في مدخلٍ مبسطٍ للاحتمالات ، يُطلق عادةً على أي مجموعة جزئية من فضاء العينة اسم حدث . ^{[ 9 ]} إلا أن هذا يُثير إشكالياتٍ عندما يكون فضاء العينة متصلاً، مما يستدعي تعريفًا أكثر دقةً للحدث. وبموجب هذا التعريف، تُعتبر فقط المجموعات الجزئية القابلة للقياس من فضاء العينة، والتي تُشكّل جبرًا سيجما على فضاء العينة نفسه، أحداثًا.

من الأمثلة على فضاء العينة اللانهائي قياس عمر المصباح الكهربائي. سيكون فضاء العينة المقابل هو [ 0, ∞) . ^{[ 9 ]}

• مساحة المعلمات
• فضاء الاحتمالات
• الفضاء (الرياضيات)
• مجموعة (رياضيات)
• الحدث (نظرية الاحتمالات)
• الجبر سيجما

• الوسائط المتعلقة بمساحة العينة في ويكيميديا ​​كومنز