مجموعة ضئيلة

في الرياضيات ، المجموعة المهملة هي مجموعة صغيرة بما يكفي لإهمالها لغرض معين. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك، إمكانية إهمال المجموعات المنتهية عند دراسة نهاية متتالية ، وإمكانية إهمال المجموعات الصفرية عند دراسة تكامل دالة قابلة للقياس .

تُعرّف المجموعات المهملة عدة مفاهيم مفيدة يُمكن تطبيقها في مواقف مختلفة، مثل الصدق في كل مكان تقريبًا . ولكي تُطبّق هذه المفاهيم، يكفي عمومًا أن تُشكّل المجموعات المهملة مثالًا مثاليًا ؛ أي أن تكون المجموعة الفارغة مهملة، واتحاد مجموعتين مهملتين مهملًا، وأي مجموعة جزئية من مجموعة مهملة مهملة. ولأغراض معينة، نحتاج أيضًا أن يكون هذا المثال المثالي مثالًا سيجما ، بحيث تكون الاتحادات القابلة للعد للمجموعات المهملة مهملة أيضًا. إذا كان كل من I و J مثالين مثاليين لمجموعات جزئية من المجموعة X نفسها ، فيمكننا حينها الحديث عن مجموعات جزئية مهملة من النوع I ومجموعات جزئية مهملة من النوع J.

إن عكس المجموعة المهملة هو خاصية عامة ، والتي لها أشكال مختلفة.

ليكن X مجموعة الأعداد الطبيعية N ، ولتكن أي مجموعة جزئية من N مهملة إذا كانت منتهية . عندئذٍ، تُشكّل المجموعات المهملة مثالًا. يمكن تطبيق هذه الفكرة على أي مجموعة غير منتهية ؛ ولكن إذا طُبّقت على مجموعة منتهية، فستكون كل مجموعة جزئية مهملة، وهو مفهوم غير مفيد.

أو ليكن X مجموعة غير قابلة للعد ، وليكن أي جزء من X مهملاً إذا كان قابلاً للعد . عندئذٍ تشكل المجموعات المهملة مثالاً سيجما.

ليكن X فضاءً قابلاً للقياس مزوداً بمقياس m، وليكن أي جزء من X مهملاً إذا كان m- صفرياً . عندئذٍ ، تُشكل المجموعات المهملة مثالياً سيجما. ويمكن استعادة أي مثالي سيجما على X بهذه الطريقة عن طريق وضع مقياس مناسب على X ، حتى وإن كان هذا المقياس شاذاً.

ليكن X مجموعة الأعداد الحقيقية R ، وليكن A مجموعة جزئية من R مهملة إذا كان لكل ε > 0، ^{[ 1 ]} توجد مجموعة منتهية أو قابلة للعد I1 _، I2 _، ... من الفترات (التي قد تتداخل) التي تحقق ما يلي : 

${\displaystyle A\subset \bigcup _{k}I_{k}}$

و

${\displaystyle \sum _{k}|I_{k}|<\epsilon .}$

هذه حالة خاصة من المثال السابق، باستخدام مقياس ليبيغ ، ولكن تم وصفها بعبارات أولية.

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا ، ولتكن مجموعة جزئية منه مهملة إذا كانت من الفئة الأولى ، أي إذا كانت اتحادًا قابلًا للعد لمجموعات غير كثيفة في أي مكان (حيث تكون المجموعة غير كثيفة في أي مكان إذا لم تكن كثيفة في أي مجموعة مفتوحة ). عندئذٍ، تُشكّل المجموعات المهملة مثالًا مثاليًا سيجما.

ليكن X مجموعة موجهة ، ولتكن مجموعة جزئية من X مهملة إذا كان لها حد أعلى . عندئذٍ ، تُشكل المجموعات المهملة مثاليًا. المثال الأول هو حالة خاصة من هذا باستخدام الترتيب المعتاد لـ N.

في بنية خشنة ، تكون المجموعات الخاضعة للتحكم ضئيلة.

ليكن X مجموعة ، وليكن I مجموعة مثالية من المجموعات الجزئية المهملة من X. إذا كانت p قضية تتعلق بعناصر X ، فإن p تكون صحيحة تقريبًا في كل مكان إذا كانت مجموعة النقاط التي تكون فيها p صحيحة هي متممة لمجموعة مهملة. أي أن p قد لا تكون صحيحة دائمًا، ولكنها نادرة الخطأ لدرجة يمكن تجاهلها لأغراض هذه الدراسة.

إذا كانت f و g دالتين من X إلى نفس الفضاء Y ، فإنهما متكافئتان إذا كانتا متساويتين تقريبًا في كل مكان. ولتوضيح الفقرة التمهيدية، لنفترض أن X هو N ، ولنفترض أن المجموعات المهملة هي المجموعات المنتهية. عندئذٍ ، تكون f و g متتابعتين. إذا كان Y فضاءً طوبولوجيًا، فإن f و g لهما نفس النهاية ، أو ليس لأي منهما نهاية . ( عند تعميم هذا على المجموعات الموجهة، نحصل على النتيجة نفسها، ولكن للشبكات ) . أو لنفترض أن X فضاء قياس، ولنفترض أن المجموعات المهملة هي المجموعات الصفرية. إذا كان Y هو خط الأعداد الحقيقية R ، فإن f و g إما أن لهما نفس التكامل، أو أن أيًا من التكاملين غير مُعرَّف.

• وظيفة ضئيلة
• خاصية عامة