بنية خشنة

في المجالات الرياضية للهندسة والطوبولوجيا ، فإن البنية الخشنة على مجموعة X هي مجموعة من المجموعات الفرعية من حاصل الضرب الديكارتي X × X ذات خصائص معينة تسمح بتحديد البنية واسعة النطاق للفضاءات المترية والفضاءات الطوبولوجية .

يركز علم الهندسة والطوبولوجيا التقليديان على البنية الدقيقة للفضاء: فخصائص مثل استمرارية الدالة تعتمد على ما إذا كانت الصور العكسية للمجموعات المفتوحة الصغيرة ، أو الجوارات ، مفتوحة بدورها. أما خصائص الفضاء واسعة النطاق - مثل محدودية الفضاء أو درجات حريته - فلا تعتمد على هذه الخصائص. يوفر علم الهندسة والطوبولوجيا التقريبي أدوات لقياس خصائص الفضاء واسعة النطاق ، وكما يحتوي المقياس أو الطوبولوجيا على معلومات حول البنية الدقيقة للفضاء، فإن البنية التقريبية تحتوي على معلومات حول خصائصه واسعة النطاق.

في الواقع، لا يمثل الهيكل الخشن النظير واسع النطاق للهيكل الطوبولوجي، بل يمثل الهيكل المنتظم .

أبنية خشنة علىمجموعة${\displaystyle X}$هي مجموعة${\displaystyle \mathbf {E} }$من مجموعات فرعية من${\displaystyle X\times X}$(وبالتالي تندرج تحت التصنيف الأكثر عمومية للعلاقات الثنائية على${\displaystyle X}$) مُسَمًّىمجموعة التحكم s، وبالتالي${\displaystyle \mathbf {E} }$يمتلك علاقة التطابق ، وهو مغلق تحت أخذ المجموعات الجزئية والمعكوسات والاتحادات المنتهية، وهو مغلق تحت تركيب العلاقات . وبالتحديد:

1. الهوية/القطري :

   القطر​${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$هو عضو في${\displaystyle \mathbf {E} }$— علاقة الهوية.

2. مغلق عند أخذ المجموعات الفرعية :

   لو${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$و${\displaystyle F\subseteq E,}$ثم${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$

3. مغلق عند أخذ المعكوسات :

   لو${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ثم المعكوس (أو المنقول )${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$هو عضو في${\displaystyle \mathbf {E} }$— العلاقة العكسية.

4. تم إغلاق النقابات المتعاقدة :

   لو${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ثم اتحادهم${\displaystyle E\cup F}$هو عضو في${\displaystyle \mathbf {E} .}$

5. مغلق بموجب اتفاقية :

   لو${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$ثم منتجهم${\displaystyle E\circ F=\{(x,y):{\text{ يوجد }}z\in X{\text{ بحيث }}(x,z)\in E{\text{ و }}(z,y)\in F\}}$هو عضو في${\displaystyle \mathbf {E} }$— تكوين العلاقات .

مجموعة${\displaystyle X}$يتميز ببنية خشنة${\displaystyle \mathbf {E} }$هومساحة خشنة .

يترك${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$مجموعة مضبوطة. لمجموعة فرعية${\displaystyle K}$ل${\displaystyle X,}$المجموعة${\displaystyle E[K]}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E{\text{ لبعض }}k\in K\}.}$نحن نحددقسم من${\displaystyle E}$بواسطة${\displaystyle x}$أن تكون المجموعة${\displaystyle E[\{x\}],}$ويشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle E_{x}.}$الرمز${\displaystyle E^{y}}$يشير إلى المجموعة${\displaystyle E^{-1}[\{y\}].}$هذه أشكال من الإسقاطات .

مجموعة فرعية${\displaystyle B}$ل${\displaystyle X}$يقال إنهمجموعة محدودة إذا${\displaystyle B\times B}$هي مجموعة مضبوطة.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle S}$وبنية خشنة${\displaystyle X,}$نقول إن الخرائط${\displaystyle f:S\to X}$و${\displaystyle g:S\to X}$نكونأغلق إذا${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$هي مجموعة مضبوطة.

للهياكل الخشنة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$نقول ذلك${\displaystyle f:X\to Y}$هوخريطة خشنة إذا كان لكل مجموعة محدودة${\displaystyle B}$ل${\displaystyle Y}$المجموعة${\displaystyle f^{-1}(B)}$محصور في${\displaystyle X}$ولكل مجموعة خاضعة للتحكم${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X}$المجموعة${\displaystyle (f\times f)(E)}$يتم التحكم فيه في${\displaystyle Y.}$^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يقال إنهامتكافئ تقريبًا إذا وُجدت خرائط خشنة${\displaystyle f:X\to Y}$و${\displaystyle g:Y\to X}$بحيث${\displaystyle f\circ g}$قريب من${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$و${\displaystyle g\circ f}$قريب من${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$

• البنية خشنة محدودة علىفضاء متري${\displaystyle (X,d)}$هي المجموعة${\displaystyle \mathbf {E} }$من جميع المجموعات الفرعية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X\times X}$بحيث${\displaystyle \sup _{(x,y)\in E}d(x,y)}$هي محدودة . مع هذا الهيكل، الشبكة الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$وهو ما يعادل تقريبًا${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n .
• مساحة${\displaystyle X}$أين${\displaystyle X\times X}$يُطلق على ما يتم التحكم فيه اسمالفضاء المحدود . هذا الفضاء مكافئ تقريبًا لنقطة. الفضاء المتري ذو البنية المحدودة يكون محدودًا (كفضاء عام) إذا وفقط إذا كان محدودًا (كفضاء متري).
• يتألف الهيكل الخشن البسيط من القطر ومجموعاته الجزئية فقط. في هذا الهيكل، يكون التطبيق تكافؤًا خشنًا إذا وفقط إذا كان تقابلًا (بين المجموعات).
• ال${\displaystyle C_{0}}$بنية خشنة على فضاء متري${\displaystyle (X,d)}$هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X\times X}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد طقم صغير الحجم${\displaystyle K}$ل${\displaystyle E}$بحيث${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$للجميع${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$أو بدلاً من ذلك، مجموعة جميع المجموعات الفرعية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X\times X}$بحيث${\displaystyle {\overline {\{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}}}$صغير الحجم.
• البنية خشنة منفصلة على مجموعة${\displaystyle X}$يتكون من القطر${\displaystyle \Delta }$بالإضافة إلى المجموعات الفرعية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X\times X}$والتي تحتوي على عدد محدود فقط من النقاط${\displaystyle (x,y)}$خارج الخط القطري.
• لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً طوبولوجيًا، فإنبنية خشنة غير منفصلة على${\displaystyle X}$يتكون من جميع المجموعات الفرعية المناسبة من${\displaystyle X\times X,}$بمعنى جميع المجموعات الفرعية${\displaystyle E}$بحيث${\displaystyle E[K]}$و${\displaystyle E^{-1}[K]}$تكون مضغوطة نسبياً كلما${\displaystyle K}$وهي صغيرة الحجم نسبياً.

يترك${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:B\times B\in \mathbf {E} \}}$لتكن مجموعة جميع المجموعات المحدودة في فضاء خشن${\displaystyle X}$قل إن بنية خشنة${\displaystyle \mathbf {E} }$على${\displaystyle X}$تكون متصلة بشكل خشن ^{[ 1 ]} إذا${\displaystyle \{(x,y)\}\in \mathbf {E} }$للجميع${\displaystyle (x,y)\in X\times X}$. ثم${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو علم الولادة${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {E} }$متصلة بشكل غير دقيق. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$لديه نقطتان على الأقل و${\displaystyle \mathbf {E} }$إذا كانت البنية الخشنة تافهة،${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ليست علماً بالبنية. الهياكل الخشنة المحدودة والمنفصلة وغير المنفصلة متصلة بشكل خشن.

• علم الحدود – تعميم رياضي لمفهوم الحدود 
• التناظر شبه المتساوي – دالة بين فضاءين متريين تحافظ فقط على هندستهما واسعة النطاق 
• الفضاء المنتظم – الفضاء الطوبولوجي ذو مفهوم الخصائص المنتظمة 

• جون رو، محاضرات في الهندسة التقريبية ، سلسلة محاضرات جامعية، المجلد 31، الجمعية الأمريكية للرياضيات: بروفيدنس، رود آيلاند، 2003. تصحيحات لمحاضرات في الهندسة التقريبية
• رو، جون (يونيو-يوليو 2006). "ما هو... الفضاء الخشن؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 53 (6): 669. تاريخ الاسترجاع: 16 يناير 2008 .