مجموعة فرعية

في الرياضيات، تُعتبر المجموعة A مجموعة جزئية من المجموعة B إذا وفقط إذا كانت جميع عناصر A عناصر في B ؛ وعندها تُعتبر B مجموعة شاملة لـ A. من الممكن أن تتساوى A و B ؛ إذا لم تتساوى، فإن A تكون مجموعة جزئية فعلية من B. تُسمى العلاقة بين كون مجموعة ما مجموعة جزئية من مجموعة أخرى بالاحتواء (أو الاحتواء الجزئي ). يمكن التعبير عن كون A مجموعة جزئية من B أيضًا بـ B تتضمن (أو تحتوي) A أو A مُحتواة في B. المجموعة الجزئية k هي مجموعة جزئية تحتوي على k عنصرًا.

عند تحديد الكمية،${\displaystyle A\subseteq B}$يتم تمثيله على النحو التالي:${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right).}$^{[ 1 ]}

يمكن إثبات هذا القول${\displaystyle A\subseteq B}$بتطبيق أسلوب إثبات يُعرف باسم حجة العنصر ^{[ 2 ]} :

لنفترض أن المجموعتين A و B معطيتان. المطلوب إثباته هو${\displaystyle A\subseteq B,}$

1. لنفترض أن a عنصر معين ولكنه مختار بشكل عشوائي من A
2. أثبت أن a عنصر من B.

يمكن اعتبار صحة هذه التقنية نتيجة للتعميم الشامل : تُظهر التقنية${\displaystyle (c\in A)\Rightarrow (c\in B)}$بالنسبة لعنصر c مختار عشوائيًا . وبالتالي، فإن التعميم الشامل يستلزم${\displaystyle \forall x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right),}$وهو ما يعادل${\displaystyle A\subseteq B,}$كما هو مذكور أعلاه.

إذا كانت A و B مجموعتين، وكان كل عنصر من A هو أيضاً عنصر من B ، فإن:

• A هي مجموعة جزئية من B ، ويرمز لها بـ${\displaystyle A\subseteq B}$أو ما يعادل ذلك،
• B هي مجموعة شاملة لـ A ، ويرمز لها بـ${\displaystyle B\supseteq A.}$

إذا كانت A مجموعة جزئية من B ، ولكن A لا تساوي B (أي يوجد عنصر واحد على الأقل من B ليس عنصرًا من A )، فإن:

• A هي مجموعة جزئية فعلية (أو صارمة ) من B ، ويرمز لها بـ${\displaystyle A\subsetneq B}$أو ما يعادل ذلك،
• B هي مجموعة جزئية فعلية (أو صارمة ) من A ، ويرمز لها بـ${\displaystyle B\supsetneq A.}$

المجموعة الفارغة ، مكتوبة${\displaystyle \{\}}$أو${\displaystyle \varnothing ,}$ليس لها عناصر، وبالتالي فهي مجموعة جزئية فارغة من أي مجموعة X.

• خاصية الانعكاسية : بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle A}$،${\displaystyle A\subseteq A}$^{[ 3 ]}
• التعدي : إذا${\displaystyle A\subseteq B}$و${\displaystyle B\subseteq C}$، ثم${\displaystyle A\subseteq C}$
• التناظر العكسي : إذا${\displaystyle A\subseteq B}$و${\displaystyle B\subseteq A}$، ثم${\displaystyle A=B}$.

يستخدم بعض المؤلفين الرموز${\displaystyle \subset }$و${\displaystyle \supset }$للإشارة إلى المجموعة الجزئية والمجموعة الشاملة على التوالي؛ أي بنفس معنى و بدلاً من الرموز${\displaystyle \subseteq }$و${\displaystyle \supseteq }$[ ^{4 ]} على سبيل المثال، بالنسبة لهؤلاء المؤلفين، ينطبق على كل مجموعة A ما يلي ^:${\displaystyle A\subset A.}$( علاقة انعكاسية ).

يفضل مؤلفون آخرون استخدام الرموز${\displaystyle \subset }$و${\displaystyle \supset }$للإشارة إلى المجموعة الجزئية الصحيحة (وتسمى أيضًا المجموعة الجزئية الصارمة) والمجموعة الشاملة الصحيحة على التوالي؛ أي بنفس معنى و بدلاً من الرموز${\displaystyle \subsetneq }$و${\displaystyle \supsetneq .}$^{[ 5 ]} هذا الاستخدام يجعل${\displaystyle \subseteq }$و${\displaystyle \subset }$على غرار رموز المتباينات${\displaystyle \leq }$و${\displaystyle <.}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle x\leq y,}$إذن ، قد تكون قيمة x مساوية لـ y أو لا ، ولكن إذا${\displaystyle x<y,}$إذن، من المؤكد أن x لا يساوي y ، وهو أقل من y ( علاقة غير انعكاسية ). وبالمثل، باستخدام الاصطلاح التالي:${\displaystyle \subset }$هي مجموعة جزئية فعلية، إذا${\displaystyle A\subseteq B,}$قد يكون A مساوياً لـ B أو لا ، ولكن إذا${\displaystyle A\subset B,}$إذن ، من المؤكد أن A لا تساوي B.

• المجموعة A = {1, 2} هي مجموعة جزئية فعلية من B = {1, 2, 3}، وبالتالي فإن كلا التعبيرين صحيحان.${\displaystyle A\subseteq B}$و${\displaystyle A\subsetneq B}$صحيح.
• المجموعة D = {1, 2, 3} هي مجموعة جزئية (ولكنها ليست مجموعة جزئية فعلية) من المجموعة E = {1, 2, 3}، وبالتالي${\displaystyle D\subseteq E}$صحيح، و${\displaystyle D\subsetneq E}$ليس صحيحاً (خطأ).
• المجموعة { x : x عدد أولي أكبر من 10} هي مجموعة جزئية فعلية من { x : x عدد فردي أكبر من 10}
• مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة جزئية فعلية من مجموعة الأعداد النسبية ؛ وبالمثل، فإن مجموعة النقاط على قطعة مستقيمة هي مجموعة جزئية فعلية من مجموعة النقاط على خط مستقيم . هذان مثالان تكون فيهما كل من المجموعة الجزئية والمجموعة الكاملة غير منتهية، وللمجموعة الجزئية نفس عدد العناصر (المفهوم الذي يُقابل حجم المجموعة الكاملة، أي عدد عناصرها)؛ قد تتعارض هذه الحالات مع الحدس الأولي.
• مجموعة الأعداد النسبية هي مجموعة جزئية فعلية من مجموعة الأعداد الحقيقية . في هذا المثال، كلتا المجموعتين غير منتهية، لكن المجموعة الأخيرة لها عدد عناصر (أو قوة ) أكبر من المجموعة الأولى.

مثال آخر في مخطط أويلر :

• 
  A هي مجموعة جزئية فعلية من B.
• 
  C هي مجموعة جزئية من B ولكنها ليست مجموعة جزئية فعلية منها.

مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle S}$يُطلق عليها اسم مجموعة القوى الخاصة بها ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$[ ^{6 ]​}

علاقة الإدراج${\displaystyle \subseteq }$هو ترتيب جزئي على المجموعة${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$محدد بواسطة${\displaystyle A\leq B\iff A\subseteq B}$قد نقوم أيضاً بطلب جزئي${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$عن طريق تضمين المجموعة العكسي من خلال التعريف${\displaystyle A\leq B{\text{ إذا وفقط إذا }}B\subseteq A.}$

بالنسبة لمجموعة الطاقة${\displaystyle \operatorname {\mathcal {P}} (S)}$بالنسبة لمجموعة S ، يكون الترتيب الجزئي للتضمين - حتى تماثل الترتيب - هو حاصل الضرب الديكارتي لـ${\displaystyle k=|S|}$( عدد عناصر S ) نسخ من الترتيب الجزئي على${\displaystyle \{0,1\}}$والتي${\displaystyle 0<1.}$ويمكن توضيح ذلك من خلال تعداد${\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},}$، والارتباط بكل مجموعة فرعية${\displaystyle T\subseteq S}$(أي كل عنصر من عناصر${\displaystyle 2^{S}}$) المجموعة المكونة من k عنصرًا من${\displaystyle \{0,1\}^{k},}$والتي تكون إحداثيتها رقم i مساوية لـ 1 إذا وفقط إذا${\displaystyle s_{i}}$هو عضو في T.​

مجموعة الكل${\displaystyle k}$- مجموعات فرعية من${\displaystyle A}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle {\tbinom {A}{k}}}$، قياسًا على ترميز معاملات ذات الحدين ، الذي يحسب عدد${\displaystyle k}$- مجموعات فرعية من${\displaystyle n}$مجموعة من n عنصر. في نظرية المجموعات ، يُرمز لها بالرمز n.${\displaystyle [A]^{k}}$وهو أمر شائع أيضاً، خاصة عندما${\displaystyle k}$هو عدد أصلي متسامي .

• تكون المجموعة A مجموعة جزئية من B إذا وفقط إذا كان تقاطعهما يساوي A. بشكل رسمي:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ إذا وفقط إذا }}A\cap B=A.}$

• تكون المجموعة A مجموعة جزئية من B إذا وفقط إذا كان اتحادهما يساوي B. بشكل رسمي:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ إذا وفقط إذا }}A\cup B=B.}$

• تكون المجموعة المنتهية A مجموعة جزئية من B إذا وفقط إذا كان عدد عناصر تقاطعهما يساوي عدد عناصر A. بصورة رسمية:

${\displaystyle A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.}$

• تُعرّف علاقة المجموعات الجزئية ترتيبًا جزئيًا على المجموعات. في الواقع، تُشكّل المجموعات الجزئية لمجموعة معينة جبرًا منطقيًا في ظل علاقة المجموعات الجزئية، حيث يتم تحديد الانضمام والالتقاء من خلال التقاطع والاتحاد ، وتُعدّ علاقة المجموعات الجزئية نفسها علاقة احتواء منطقية .
• الاحتواء هو الترتيب الجزئي المتعارف عليه ، بمعنى أن كل مجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle (X,\preceq )}$هي متماثلة مع مجموعة من المجموعات المرتبة حسب الاحتواء. الأعداد الترتيبية مثال بسيط: إذا تم تعريف كل عدد ترتيبي n مع المجموعة${\displaystyle [n]}$من بين جميع الأعداد الترتيبية الأقل من أو تساوي n ،${\displaystyle a\leq b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

• مجموعة جزئية محدبة - في الهندسة، هي مجموعة يكون تقاطعها مع كل خط قطعة مستقيمة واحدة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• ترتيب التضمين – ترتيب جزئي ينشأ كعلاقة تضمين مجموعة جزئية على مجموعة من الكائنات 
• علم الأجزاء - دراسة الأجزاء والكل الذي تشكله 
• المنطقة – مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من فضاء طوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مسألة مجموع المجموعات الجزئية – مسألة اتخاذ القرار في علوم الحاسوب 
• الاحتواء الشامل – نظام من العناصر الخاضعة لبعضها البعض 
• الفضاء الفرعي – مجموعة رياضية ذات بنية إضافية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المجموعة الجزئية الكلية – فضاء المتجهات في التحليل الوظيفي 

• جيتش، توماس (2002). تعيين النظرية . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-44085-2.

• الوسائط المتعلقة بالمجموعات الفرعية في ويكيميديا ​​كومنز
• وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة فرعية" . عالم الرياضيات .