نظرية الفئة الرتيبة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية القياس والاحتمالات ، تربط نظرية الفئة الرتيبة بين الفئات الرتيبة وجبر 𝜎 . تنص النظرية على أن أصغر فئة رتيبة تحتوي على جبر من المجموعاتجي{\displaystyle G}هو بالضبط أصغر جبر 𝜎 يحتوي على جي.{\displaystyle G.}يُستخدم كنوع من الاستقراء المتسامي لإثبات العديد من النظريات الأخرى، مثل نظرية فوبيني .

تعريف الفئة الرتيبة

أالفئة الرتيبة هيعائلة(أي فئة)م{\displaystyle M}مجموعة من المجموعات المغلقة تحت اتحادات رتيبة قابلة للعد وأيضًا تحت تقاطعات رتيبة قابلة للعد. وهذا يعني تحديدًام{\displaystyle M}له الخصائص التالية:

  1. لوأ1،أ2،...∈م{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in M}وأ1⊆أ2⊆⋯{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }ثم⋃أنا=1∞أأنا∈م،{\textstyle {\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }}A_{i}\in M,}و
  2. لوب1،ب2،...∈م{\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in M}وب1⊇ب2⊇⋯{\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots }ثم⋂أنا=1∞بأنا∈م.{\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }}B_{i}\in M.}

نظرية الفئة الرتيبة للمجموعات

نظرية الفئة الرتيبة للمجموعات — ليكنجي{\displaystyle G}ليكن جبرًا للمجموعات، ولنُعرّفم(جي){\displaystyle M(G)}أن تكون أصغر فئة رتيبة تحتوي علىجي.{\displaystyle G.}ثمم(جي){\displaystyle M(G)}وهي تحديدًا الجبر 𝜎 الناتج عنجي{\displaystyle G}؛ إنهσ(جي)=م(جي).{\displaystyle \sigma (G)=M(G).}

نظرية الفئة الرتيبة للدوال

نظرية الفئة الرتيبة للدوال — ليكنأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}ليكن نظام π يحتوي علىΩ{\displaystyle \Omega \,}ودعح{\displaystyle {\mathcal {H}}}كن مجموعة من الدوال منΩأوميغالR{\displaystyle \mathbb {R} }بالخصائص التالية:

  1. لوأ∈أ{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}ثم1أ∈ح{\displaystyle \mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}}أين1أ{\displaystyle \mathbf {1} _{A}}تشير إلى دالة المؤشر لـأ.{\displaystyle A.}
  2. لوو،ز∈ح{\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}}وج∈R{\displaystyle c\in \mathbb {R} }ثمو+ز{\displaystyle f+g}وجو∈ح.{\displaystyle cf\in {\mathcal {H}}.}
  3. لوون∈ح{\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {H}}}هي متتالية من الدوال غير السالبة التي تتزايد لتصبح دالة محدودةو{\displaystyle f}ثمو∈ح.{\displaystyle f\in {\mathcal {H}}.}

ثمح{\displaystyle {\mathcal {H}}}تحتوي على جميع الدوال المحدودة القابلة للقياس بالنسبة إلىσ(أ)،{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}),}وهو الجبر 𝜎 الناتج عنأ.{\displaystyle {\mathcal {A}}.}

دليل

ينبع هذا الاستدلال من كتاب ريك دوريت "الاحتمالات: النظرية والأمثلة". [ 1 ]

دليل

الافتراضΩ∈أ،{\displaystyle \Omega \,\in {\mathcal {A}},}(2) و(3) تعنيان أنجي={أ:1أ∈ح}{\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}}هو نظام 𝜆. وفقًا للمعادلة (1) ونظرية π −𝜆 ،σ(أ)⊆جي.{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {G}}.} يشير البيان (2) إلى أنح{\displaystyle {\mathcal {H}}}تحتوي على جميع الدوال البسيطة، وبالتالي فإن (3) تعني أنح{\displaystyle {\mathcal {H}}}يحتوي على جميع الدوال المحدودة القابلة للقياس بالنسبة إلىσ(أ).{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}).}

النتائج والتطبيقات

وكنتيجة لذلك، إذاجي{\displaystyle G}إذا كانت حلقة من المجموعات ، فإن أصغر فئة رتيبة تحتوي عليها تتطابق مع حلقة 𝜎 منجي.{\displaystyle G.}

من خلال استدعاء هذه النظرية، يمكن للمرء استخدام الفئات الرتيبة للمساعدة في التحقق من أن مجموعة معينة من المجموعات الفرعية هي جبر 𝜎 .

يمكن أن تكون نظرية الفئة الرتيبة للدوال أداة قوية تسمح بتعميم العبارات المتعلقة بفئات الدوال البسيطة بشكل خاص لتشمل الدوال المحدودة والقابلة للقياس بشكل تعسفي.

انظر أيضاً

  • نظام دينكين – الأسرة مغلقة تحت المكملات والاتحادات المنفصلة القابلة للعد 
  • نظرية π - π – العائلة مغلقة تحت المكملات والاتحادات المنفصلة القابلة للعد. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
  • نظام باي – عائلة من المجموعات المغلقة تحت التقاطع 
  • الجبر سيجما – البنية الجبرية لجبر المجموعات 

الاقتباسات

  1. ↑ دوريت ، ريك (2010). الاحتمالات: النظرية والأمثلة (  الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 276. ISBN  978-0521765398.

مراجع