العلاقة الثنائية

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ لقاء شبه شبكة ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، تربط العلاقة الثنائية بعض عناصر مجموعة تُسمى المجال ببعض عناصر مجموعة أخرى (قد تكون هي نفسها) تُسمى المجال المقابل . ^{[ 1 ]} تحديدًا، هي علاقة ثنائية على المجموعات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي مجموعة من الأزواج المرتبة${\displaystyle (x,y)}$، أين${\displaystyle x}$هو عنصر من${\displaystyle X}$و${\displaystyle y}$هو عنصر من${\displaystyle Y}$[ ^{2 ] إنه يرمز إلى} المفهوم الشائع للعلاقة: عنصر${\displaystyle x}$يرتبط بعنصر​${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا كان الزوج${\displaystyle (x,y)}$ينتمي إلى مجموعة الأزواج المرتبة التي تحدد العلاقة الثنائية.

من أمثلة العلاقات الثنائية علاقة " القسمة " على مجموعة الأعداد الأولية${\displaystyle \mathbb {P} }$ومجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$، حيث كل عدد أولي${\displaystyle p}$يرتبط بكل عدد صحيح${\displaystyle z}$هذا مضاعف لـ${\displaystyle p}$، ولكن ليس إلى عدد صحيح ليس من مضاعفات${\displaystyle p}$في هذه العلاقة، على سبيل المثال، العدد الأولي${\displaystyle 2}$يرتبط بأرقام مثل${\displaystyle -4}$،${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 6}$،${\displaystyle 10}$لكن ليس إلى${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle 9}$تمامًا مثل العدد الأولي${\displaystyle 3}$يرتبط بـ${\displaystyle 0}$،${\displaystyle 6}$، و${\displaystyle 9}$لكن ليس إلى${\displaystyle 4}$أو${\displaystyle 13}$.

تُسمى العلاقة الثنائية علاقة متجانسة عندما${\displaystyle X=Y}$تُسمى العلاقة الثنائية أيضًا علاقة غير متجانسة عندما لا يكون من الضروري أن${\displaystyle X=Y}$.

تُستخدم العلاقات الثنائية، وخاصة العلاقات المتجانسة، في العديد من فروع الرياضيات لنمذجة مجموعة واسعة من المفاهيم. وتشمل هذه المفاهيم، على سبيل المثال لا الحصر:

• العلاقات " أكبر من "، " يساوي "، و"يقسم" في الحساب ؛
• العلاقة " متطابق مع " في الهندسة ؛
• العلاقة "المجاورة لـ" في نظرية الرسم البياني ؛
• العلاقة " متعامد مع" في الجبر الخطي .

يمكن تعريف الدالة بأنها علاقة ثنائية تستوفي قيودًا إضافية. ^{[ 3 ]} كما تُستخدم العلاقات الثنائية بكثرة في علوم الحاسوب .

علاقة ثنائية على المجموعات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يمكن تحديدها كعنصر من عناصر مجموعة القوى للضرب الديكارتي${\displaystyle X\times Y.}$بما أن مجموعة القوى هي شبكة لتضمين المجموعات (${\displaystyle \subseteq }$)، يمكن التلاعب بالعلاقات باستخدام عمليات المجموعات ( الاتحاد ، والتقاطع ، والمكملة ) وجبر المجموعات .

في بعض أنظمة نظرية المجموعات البديهية ، تُعمَّم العلاقات لتشمل الأصناف ، وهي تعميمات للمجموعات. هذا التوسيع ضروري، من بين أمور أخرى، لنمذجة مفاهيم "عنصر من" أو "مجموعة جزئية من" في نظرية المجموعات، دون الوقوع في تناقضات منطقية مثل مفارقة راسل .

تُعد العلاقة الثنائية الحالة الخاصة الأكثر دراسة${\displaystyle n=2}$من${\displaystyle n}$علاقة -ary على المجموعات${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$، وهو مجموعة فرعية من الضرب الديكارتي${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$^{[ 2 ]}

مجموعات معطاة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، الضرب الديكارتي${\displaystyle X\times Y}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X{\text{ and }}y\in Y\},}$وتسمى عناصرها أزواجًا مرتبة .

علاقة ثنائية${\displaystyle R}$مجموعات متعددة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X\times Y.}$^{[ 2 ] [ 4 ]} المجموعة${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم المجال ^{[ 2 ]} أو مجموعة انطلاق${\displaystyle R}$والمجموعة${\displaystyle Y}$النطاق المشترك أو مجموعة الوجهات لـ${\displaystyle R}$من أجل تحديد خيارات المجموعات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يُعرّف بعض المؤلفين العلاقة الثنائية أو التطابق على أنه ثلاثية مرتبة${\displaystyle (X,Y,G)}$، أين${\displaystyle G}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X\times Y}$يُطلق عليه اسم رسم بياني للعلاقة الثنائية. العبارة${\displaystyle (x,y)\in R}$يقرأ "${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle R}$-متعلق بـ${\displaystyle y}$ويرمز إليه بـ${\displaystyle xRy}$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ أ ]} مجال التعريف أو المجال النشط ^{[ 2 ] لـ}${\displaystyle R}$هي مجموعة الكل${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle xRy}$لواحد على الأقل${\displaystyle y}$المجال المقابل للتعريف ، المجال المقابل النشط ، ^{[ 2 ]} صورة أو مدى${\displaystyle R}$هي مجموعة الكل${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle xRy}$لواحد على الأقل${\displaystyle x}$مجال​​${\displaystyle R}$هو اتحاد مجال تعريفه ومجال تعريفه المشترك. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

متى${\displaystyle X=Y,}$تُسمى العلاقة الثنائية علاقة متجانسة (أو علاقة داخلية ). للتأكيد على حقيقة أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا سُمح للعلاقة الثنائية بأن تكون مختلفة، فإنها تسمى أيضًا علاقة غير متجانسة . ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} البادئة hetero مشتقة من الكلمة اليونانية ἕτερος ( heteros ، "آخر، مختلف").

يُطلق على العلاقة غير المتجانسة اسم العلاقة المستطيلة ، ^{[ 14 ]} مما يشير إلى أنها لا تمتلك التناظر المربع للعلاقة المتجانسة على مجموعة حيث${\displaystyle A=B.}$وفي معرض تعليقهم على تطور العلاقات الثنائية بما يتجاوز العلاقات المتجانسة، كتب الباحثون: "...  لقد تطور شكل مختلف من النظرية يتعامل مع العلاقات منذ البداية على أنها غير متجانسة أو مستطيلة ، أي كعلاقات حيث تكون الحالة الطبيعية هي أنها علاقات بين مجموعات مختلفة." ^{[ 15 ]}

تُعدّ المصطلحات " التوافق " و ^" العلاقة الثنائية ^{" و} " العلاقة ذات الموضعين" مرادفات للعلاقة الثنائية، على الرغم من أن بعض المؤلفين يستخدمون مصطلح "العلاقة الثنائية" لأي مجموعة فرعية من حاصل الضرب الديكارتي.${\displaystyle X\times Y}$دون الإشارة إلى${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$وحصر مصطلح "المراسلة" في علاقة ثنائية بالإشارة إلى${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$.

في العلاقة الثنائية، يكون ترتيب العناصر مهماً؛ إذا${\displaystyle x\neq y}$ثم${\displaystyle yRx}$يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة بشكل مستقل عن${\displaystyle xRy}$. على سبيل المثال،${\displaystyle 3}$يقسم${\displaystyle 9}$، لكن${\displaystyle 9}$لم ينقسم${\displaystyle 3}$.

بعض أنواع العلاقات الثنائية المهمة${\displaystyle R}$مجموعات متعددة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مدرجة أدناه.

خصائص التفرد:

• دالة حقنية ^{[ 23 ]} (وتسمى أيضًا دالة وحيدة من اليسار ^{[ 24 ]} ): لكل${\displaystyle x,y\in X}$وكل شيء${\displaystyle z\in Y,}$لو${\displaystyle xRz}$و${\displaystyle yRz}$ثم${\displaystyle x=y}$بمعنى آخر، كل عنصر من عناصر المجال المقابل له عنصر واحد على الأكثر من عناصر الصورة الأصلية . بالنسبة لهذه العلاقة،${\displaystyle Y}$يُطلق عليه المفتاح الأساسي لـ${\displaystyle R}$^{[ 2 ]} على سبيل المثال، العلاقات الثنائية الخضراء والزرقاء في الرسم التخطيطي هي علاقات أحادية، لكن العلاقة الحمراء ليست كذلك (لأنها تربط بين كليهما) .${\displaystyle -1}$و${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle 1}$ولا الأسود (كما يتعلق بكليهما)${\displaystyle -1}$و${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle 0}$).
• وظيفي ^{[ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]} (يُسمى أيضًا فريدًا من اليمين ^{[ 24 ]} أو أحادي القيمة ^{[ 27 ]} ): لكل${\displaystyle x\in X}$وكل شيء${\displaystyle y,z\in Y,}$لو${\displaystyle xRy}$و${\displaystyle xRz}$ثم${\displaystyle y=z}$بمعنى آخر، يحتوي كل عنصر من عناصر المجال على عنصر صورة واحد على الأكثر . تُسمى هذه العلاقة الثنائية بالدالة الجزئية أو التعيين الجزئي . ^{[ 28 ]} بالنسبة لهذه العلاقة،${\displaystyle \{X\}}$يُطلق عليه المفتاح الأساسي لـ${\displaystyle R}$^{[ 2 ]} على سبيل المثال ، العلاقات الثنائية الحمراء والخضراء في الرسم التخطيطي وظيفية، لكن العلاقة الزرقاء ليست كذلك (كما تتعلق${\displaystyle 1}$لكلا${\displaystyle 1}$و${\displaystyle -1}$ولا الأسود (كما يتعلق الأمر)${\displaystyle 0}$لكلا${\displaystyle -1}$و${\displaystyle 1}$).
• العلاقة الأحادية : علاقة حقنية ووظيفية. على سبيل المثال، العلاقة الثنائية الخضراء في الرسم التخطيطي هي علاقة أحادية، بينما العلاقات الحمراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.
• علاقة واحد إلى متعدد : علاقة حقنية وليست وظيفية. على سبيل المثال، العلاقة الثنائية الزرقاء في الرسم التخطيطي هي علاقة واحد إلى متعدد، بينما العلاقات الحمراء والخضراء والسوداء ليست كذلك.
• علاقة متعددة إلى واحد : علاقة وظيفية وليست أحادية. على سبيل المثال، العلاقة الثنائية الحمراء في الرسم التخطيطي هي علاقة متعددة إلى واحد، بينما العلاقات الخضراء والزرقاء والسوداء ليست كذلك.
• العلاقات المتعددة : ليست علاقة حقنية ولا وظيفية. على سبيل المثال، العلاقة الثنائية السوداء في الرسم التخطيطي هي علاقة متعددة إلى متعددة، بينما العلاقات الحمراء والخضراء والزرقاء ليست كذلك.

خصائص الكلية (لا يمكن تحديدها إلا إذا كان المجال${\displaystyle X}$والمجال المشترك${\displaystyle Y}$(محددة):

• المجموع ^{[ 23 ]} (ويسمى أيضًا المجموع الأيسر ^{[ 24 ]} ): للجميع${\displaystyle x\in X}$يوجد${\displaystyle y\in Y}$بحيث${\displaystyle xRy}$بمعنى آخر، يحتوي كل عنصر من عناصر المجال على عنصر صورة واحد على الأقل . بمعنى آخر، مجال تعريف${\displaystyle R}$يساوي${\displaystyle X}$تختلف هذه الخاصية عن تعريف " متصل" (أو "كلي" كما يسميه بعض المؤلفين) في كتاب "الخصائص" . تُسمى هذه العلاقة الثنائية " دالة متعددة القيم" . على سبيل المثال، العلاقتان الثنائيتان الحمراء والخضراء في الرسم البياني كليتان، بينما العلاقة الزرقاء ليست كذلك (لأنها لا ترتبط).${\displaystyle -1}$ولا العدد الأسود (لأنه لا يرتبط بأي عدد حقيقي)، ولا بأي عدد حقيقي${\displaystyle 2}$(لأي عدد حقيقي). كمثال آخر،${\displaystyle >}$هي علاقة كلية على الأعداد الصحيحة . لكنها ليست علاقة كلية على الأعداد الصحيحة الموجبة، لأنه لا يوجد${\displaystyle y}$في الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث${\displaystyle 1>y}$[ ^{29 ]} ومع ذلك ^،${\displaystyle <}$هي علاقة كلية على الأعداد الصحيحة الموجبة، والأعداد النسبية، والأعداد الحقيقية. كل علاقة انعكاسية هي علاقة كلية: لأي عدد معطى${\displaystyle x}$، يختار${\displaystyle y=x}$.
• شامل ^{[ 23 ]} (يسمى أيضًا المجموع الأيمن ^{[ 24 ]} ): لكل${\displaystyle y\in Y}$يوجد${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle xRy}$بمعنى آخر، كل عنصر من عناصر المجال المقابل له عنصر صورة عكسية واحد على الأقل . بعبارة أخرى، المجال المقابل لتعريف${\displaystyle R}$يساوي${\displaystyle Y}$على سبيل المثال، العلاقات الثنائية الخضراء والزرقاء في الرسم البياني شاملة، لكن العلاقة الحمراء ليست كذلك (لأنها لا تربط أي عدد حقيقي بـ${\displaystyle -1}$ولا الأسود (لأنه لا يرتبط بأي عدد حقيقي بـ${\displaystyle 2}$).

خصائص التفرد والشمولية (لا يمكن تحديدها إلا إذا كان المجال${\displaystyle X}$والمجال المشترك${\displaystyle Y}$(محددة):

• الدالة (وتُسمى أيضًا الربط ^{[ 24 ]} ): علاقة ثنائية وظيفية وكاملة. بمعنى آخر، لكل عنصر من عناصر المجال صورة واحدة فقط . على سبيل المثال، العلاقات الثنائية بين الأحمر والأخضر في الرسم التخطيطي دوال، بينما العلاقات الثنائية بين الأزرق والأسود ليست كذلك.
  • الحُصْن : دالةٌ حَوْنِيَّة. على سبيل المثال، العلاقة الخضراء في الرسم التخطيطي هي حُصْنِيَّة، بينما العلاقة الحمراء ليست كذلك؛ والعلاقة بين الأسود والأزرق ليست دالة أصلاً.
  • الدالة الشاملة : هي دالة شاملة. على سبيل المثال، العلاقة الخضراء في الرسم البياني هي دالة شاملة، بينما العلاقة الحمراء ليست كذلك.
  • التقابل : دالةٌ تقابليةٌ وشاملة. بمعنى آخر، لكل عنصر في المجال صورةٌ واحدةٌ فقط ، ولكل عنصر في المجال المقابل صورةٌ واحدةٌ فقط . على سبيل المثال، العلاقة الثنائية الخضراء في الرسم البياني تقابلية، بينما العلاقة الحمراء ليست كذلك.

إذا كانت العلاقات بين الفئات المناسبة مسموحة:

• مجموعة شبيهة (تسمى أيضًا محلية ): لكل${\displaystyle x\in X}$، فئة الجميع${\displaystyle y\in Y}$بحيث${\displaystyle yRx}$، أي${\displaystyle \{y\in Y,yRx\}}$، هي مجموعة. على سبيل المثال، العلاقة${\displaystyle \in }$هي علاقة شبيهة بالمجموعات، وكل علاقة بين مجموعتين هي علاقة شبيهة بالمجموعات. ^{[ 30 ]} الترتيب المعتاد < على فئة الأعداد الترتيبية هو علاقة شبيهة بالمجموعات، بينما معكوسه > ليس كذلك.

لا يمكن فهم بعض "العلاقات" الرياضية، مثل "يساوي" و"مجموعة جزئية من" و"عضو في"، على أنها علاقات ثنائية كما هو مُعرَّف أعلاه، لأن نطاقاتها ونطاقاتها المقابلة لا يمكن اعتبارها مجموعات في الأنظمة المعتادة لنظرية المجموعات البديهية . على سبيل المثال، لنمذجة المفهوم العام "للمساواة" كعلاقة ثنائية${\displaystyle =}$، خذ المجال والمجال المقابل ليكون "فئة جميع المجموعات"، وهو ليس مجموعة في نظرية المجموعات المعتادة.

في معظم السياقات الرياضية، لا تُشكل الإشارات إلى علاقات المساواة والانتماء والمجموعة الجزئية أي ضرر، لأنها تُفهم ضمنيًا على أنها محصورة في مجموعة معينة ضمن السياق. والحل المعتاد لهذه المشكلة هو اختيار مجموعة "كبيرة بما يكفي".${\displaystyle A}$، الذي يحتوي على جميع العناصر ذات الأهمية، والعمل مع مراعاة القيود${\displaystyle =_{A}}$بدلاً من${\displaystyle =}$وبالمثل، فإن علاقة "مجموعة فرعية من"${\displaystyle \subseteq }$يجب تقييدها بحيث يكون لها نطاق ونطاق مشترك${\displaystyle P(A)}$(مجموعة القوى لمجموعة محددة)${\displaystyle A}$): يمكن الإشارة إلى علاقة المجموعة الناتجة بواسطة${\displaystyle \subseteq _{A}.}$كذلك، يجب تقييد علاقة "عضو في" لكي يكون لها نطاق${\displaystyle A}$والمجال المشترك${\displaystyle P(A)}$للحصول على علاقة ثنائية${\displaystyle \in _{A}}$هذه مجموعة. وقد أثبت برتراند راسل ذلك بافتراض${\displaystyle \in }$إن تعريفها على جميع المجموعات يؤدي إلى تناقض في نظرية المجموعات الساذجة ، انظر مفارقة راسل .

يتمثل حل آخر لهذه المشكلة في استخدام نظرية مجموعات ذات فئات مناسبة، مثل نظرية المجموعات NBG أو نظرية مجموعات مورس-كيلي ، والسماح بأن يكون المجال والمجال المقابل (وبالتالي الرسم البياني) فئات مناسبة : في مثل هذه النظرية، تكون علاقات المساواة والانتماء والمجموعة الجزئية علاقات ثنائية دون الحاجة إلى تعليق خاص. (يلزم إجراء تعديل طفيف على مفهوم الثلاثية المرتبة).${\displaystyle (X,Y,G)}$(كما هو معتاد، لا يمكن أن يكون الصنف المناسب عضوًا في مجموعة مرتبة؛ أو بالطبع يمكن للمرء أن يحدد العلاقة الثنائية مع الرسم البياني الخاص بها في هذا السياق.) ^{[ 31 ]} باستخدام هذا التعريف، يمكن للمرء على سبيل المثال تعريف علاقة ثنائية على كل مجموعة ومجموعة القوى الخاصة بها.

علاقة متجانسة على مجموعة${\displaystyle X}$هي علاقة ثنائية على${\displaystyle X}$وهي نفسها، أي أنها مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle X\times X.}$^{[ 14 ] [ 32 ] [ 33 ]} ويُطلق عليها أيضًا ببساطة علاقة (ثنائية) على${\displaystyle X}$.

علاقة متجانسة${\displaystyle R}$على مجموعة${\displaystyle X}$يمكن تعريفها برسم بياني بسيط موجه يسمح بالحلقات ، حيث${\displaystyle X}$هي مجموعة الرؤوس و${\displaystyle R}$هي مجموعة الحواف (توجد حافة من رأس)${\displaystyle x}$إلى رأس${\displaystyle y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle xRy}$). مجموعة جميع العلاقات المتجانسة${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$على مجموعة${\displaystyle X}$هي مجموعة الطاقة${\displaystyle 2^{X\times X}}$وهو جبر بولياني مُعزز بانعكاس عملية تحويل علاقة إلى علاقتها العكسية . مع الأخذ في الاعتبار تركيب العلاقات كعملية ثنائية على${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$، فهي تشكل شبه مجموعة مع الانعكاس .

بعض الخصائص المهمة التي تميز العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$على مجموعة${\displaystyle X}$قد يكون لديهم ما يلي:

• انعكاسي : للجميع${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle xRx}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \geq }$هي علاقة انعكاسية، لكن > ليست كذلك.
• غير انعكاسي : للجميع${\displaystyle x\in X,}$لا${\displaystyle xRx}$. على سبيل المثال،${\displaystyle >}$هي علاقة غير انعكاسية، ولكن${\displaystyle \geq }$ليس كذلك.
• متناظر : للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$لو${\displaystyle xRy}$ثم${\displaystyle yRx}$على سبيل المثال، "هو قريب بالدم لـ" هي علاقة متناظرة.
• متناظر عكسيًا : لجميع${\displaystyle x,y\in X,}$لو${\displaystyle xRy}$و${\displaystyle yRx}$ثم${\displaystyle x=y.}$على سبيل المثال،${\displaystyle \geq }$هي علاقة غير متناظرة. ^{[ 34 ]}
• غير متماثل : للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$لو${\displaystyle xRy}$ثم لا${\displaystyle yRx}$تكون العلاقة غير متناظرة إذا وفقط إذا كانت مضادة للتناظر وغير انعكاسية في آن واحد. ^{[ 35 ]} على سبيل المثال، > علاقة غير متناظرة، لكن${\displaystyle \geq }$ليس كذلك.
• متعدٍ : للجميع${\displaystyle x,y,z\in X,}$لو${\displaystyle xRy}$و${\displaystyle yRz}$ثم${\displaystyle xRz}$تكون العلاقة المتعدية غير انعكاسية إذا وفقط إذا كانت غير متناظرة. ^{[ 36 ]} على سبيل المثال، "هو سلف لـ" هي علاقة متعدية، بينما "هو والد لـ" ليست كذلك.
• متصل : للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$لو${\displaystyle x\neq y}$ثم${\displaystyle xRy}$أو${\displaystyle yRx}$.
• اتصال قوي : للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$أو${\displaystyle yRx}$.
• كثيف : للجميع${\displaystyle x,y\in X,}$لو${\displaystyle xRy,}$ثم بعض${\displaystyle z\in X}$يوجد بحيث${\displaystyle xRz}$و${\displaystyle zRy}$.

الترتيب الجزئي هو علاقة انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية. الترتيب الجزئي الصارم هو علاقة غير انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية. الترتيب الكلي هو علاقة انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية، ومتصلة. ^{[ 37 ]} الترتيب الكلي الصارم هو علاقة غير انعكاسية، غير متناظرة، ومتعدية، ومتصلة. علاقة التكافؤ هي علاقة انعكاسية، متناظرة، ومتعدية. على سبيل المثال، "${\displaystyle x}$يقسم${\displaystyle y}$"هو ترتيب جزئي، وليس ترتيبًا كليًا على الأعداد الطبيعية"${\displaystyle \mathbb {N} ,}$"${\displaystyle x<y}$"هو أمر صارم وكامل بشأن${\displaystyle \mathbb {N} ,}$و "${\displaystyle x}$موازٍ لـ${\displaystyle y}$"هي علاقة تكافؤ على مجموعة جميع الخطوط في المستوى الإقليدي ".

تنطبق جميع العمليات المحددة في القسم §  العمليات أيضًا على العلاقات المتجانسة. بالإضافة إلى ذلك، فإن العلاقة المتجانسة على مجموعة${\displaystyle X}$قد تخضع لعمليات إغلاق مثل:

إغلاق انعكاسي

أصغر علاقة انعكاسية على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle R}$،

إغلاق متعدٍ

أصغر علاقة متعدية على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle R}$،

إغلاق التكافؤ

أصغر علاقة تكافؤ على${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle R}$.

لقد سهّلت التطورات في المنطق الجبري استخدام العلاقات الثنائية. يشمل حساب العلاقات جبر المجموعات ، الذي تم توسيعه بتركيب العلاقات واستخدام العلاقات العكسية .${\displaystyle R\subseteq S,}$وهذا يعني أن${\displaystyle aRb}$يشير إلى${\displaystyle aSb}$، يهيئ المشهد في شبكة من العلاقات. ولكن بما أن${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$رمز التضمين زائد عن الحاجة. ومع ذلك، فإن تركيب العلاقات ومعالجة المؤثرات وفقًا لقواعد شرودر ، يوفر حسابًا للعمل في مجموعة القوى لـ${\displaystyle A\times B.}$

على عكس العلاقات المتجانسة، فإن عملية تركيب العلاقات هي دالة جزئية فقط . وقد أدت ضرورة مطابقة الهدف مع مصدر العلاقات المركبة إلى اقتراح أن دراسة العلاقات غير المتجانسة هي فرع من فروع نظرية الفئات، كما هو الحال في فئة المجموعات ، باستثناء أن تشاكلات هذه الفئة هي علاقات. كائنات الفئة Rel هي مجموعات، وتتكون تشاكلات العلاقات كما هو مطلوب في أي فئة . ^{[ 38 ]}

تم وصف العلاقات الثنائية من خلال شبكات المفاهيم المستحثة الخاصة بها : مفهوم${\displaystyle C\subset R}$يستوفي خاصيتين:

• المصفوفة المنطقية لـ${\displaystyle C}$هو الناتج الخارجي للمتجهات المنطقية${\displaystyle C_{ij}=u_{i}v_{j},\quad u,v}$المتجهات المنطقية .
• ${\displaystyle C}$هو أقصى ما يمكن، ولا يوجد في أي منتج خارجي آخر. وبالتالي، فهو غير موجود في أي منتج خارجي آخر.${\displaystyle C}$يوصف بأنه مستطيل غير قابل للتكبير .

بالنسبة لعلاقة معينة${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$تشكل مجموعة المفاهيم، التي تتوسع من خلال روابطها وتقاطعاتها، "شبكة مفاهيم مستحثة"، مع الإدماج.${\displaystyle \sqsubseteq }$تكوين طلب مسبق .

تُذكر نظرية ماكنيل للإكمال (1937) (التي تنص على إمكانية تضمين أي ترتيب جزئي في شبكة كاملة) في مقال استعراضي نُشر عام 2013 بعنوان "تفكيك العلاقات على شبكات المفاهيم " . [ ^{39 ] التفكيك} هو

${\displaystyle R=fEg^{\textsf {T}}}$، أين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي دوال ، تُسمى في هذا السياق بالتطبيقات أو العلاقات الوظيفية الكلية اليسرى. شبكة المفاهيم المستحثة متماثلة مع إكمال القطع للترتيب الجزئي${\displaystyle E}$ذلك ينتمي إلى التفكيك الأدنى${\displaystyle (f,g,E)}$العلاقة${\displaystyle R}$"

سيتم النظر في حالات محددة أدناه:${\displaystyle E}$يتوافق إجمالي الطلب مع نوع فيريرز، و${\displaystyle E}$الهوية تتوافق مع ثنائية الوظيفة، وهي تعميم لعلاقة التكافؤ على مجموعة.

يمكن تصنيف العلاقات وفقًا لتصنيف شاين الذي يحسب عدد المفاهيم اللازمة لتغطية علاقة ما. ^{[ 40 ]} يوفر التحليل الهيكلي للعلاقات باستخدام المفاهيم منهجًا لاستخراج البيانات . ^{[ 41 ]}

• الفرضية : إذا${\displaystyle R}$هي علاقة شاملة و${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$وهي منقولتها، إذن${\displaystyle I\subseteq R^{\textsf {T}}R}$أين${\displaystyle I}$هو${\displaystyle m\times m}$علاقة الهوية.
• الفرضية : إذا${\displaystyle R}$إذا كانت علاقة متسلسلة ،${\displaystyle I\subseteq RR^{\textsf {T}}}$أين${\displaystyle I}$هو${\displaystyle n\times n}$علاقة الهوية.

كل علاقة${\displaystyle R}$يُنشئ طلبًا مسبقًا${\displaystyle R\backslash R}$وهو الباقي الأيسر . ^{[ 53 ]} من حيث العكس والمكملات،${\displaystyle R\backslash R\equiv {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.}$تشكيل قطر${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}$، الصف المقابل من${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$وعمود من${\displaystyle {\bar {R}}}$ستكون لها قيم منطقية متعاكسة، لذا فإن القطر الرئيسي كله أصفار.

${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\implies I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}=R\backslash R}$، لهذا السبب${\displaystyle R\backslash R}$هي علاقة انعكاسية .

لإثبات خاصية التعدي ، يجب أن${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$تذكر أن${\displaystyle X=R\backslash R}$هي أكبر علاقة بحيث${\displaystyle RX\subseteq R.}$ثم

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$(يكرر)

${\displaystyle \equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$(قاعدة شرودر)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}}$(مكمل)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$(تعريف)

علاقة الاحتواء Ω على مجموعة القوى لـ${\displaystyle U}$ويمكن الحصول على ذلك بهذه الطريقة من علاقة العضوية${\displaystyle \in }$على مجموعات فرعية من${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \Omega ={\overline {\ni {\bar {\in }}}}=\in \backslash \in .}$^{[ 52 ] : 283}

بالنظر إلى العلاقة${\displaystyle R}$، وهامشها هو العلاقة الفرعية المعرفة على النحو التالي $${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.}$$

متى${\displaystyle R}$إذا كانت علاقة هوية جزئية، أو علاقة ثنائية الوظيفة، أو علاقة قطرية كتلية، فإن${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=R}$وإلا${\displaystyle \operatorname {fringe} }$يقوم المعامل باختيار علاقة فرعية حدودية موصوفة من حيث مصفوفتها المنطقية:${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$هل هو القطر الجانبي إذا${\displaystyle R}$هو ترتيب خطي مثلثي علوي أيمن أو ترتيب صارم .${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$هل تُعتبر حافة الكتلة إذا${\displaystyle R}$غير انعكاسي (${\displaystyle R\subseteq {\bar {I}}}$) أو المربع المثلثي في ​​أعلى اليمين.${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)}$هي سلسلة من المستطيلات الحدودية عندما${\displaystyle R}$هو من نوع فيريرز.

على الجانب الآخر،${\displaystyle \operatorname {fringe} (R)=\emptyset }$متى${\displaystyle R}$هو نظام كثيف ، خطي، صارم. ^{[ 52 ]}

بفرض وجود مجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، مجموعة العلاقات الثنائية بينهما${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$يمكن تجهيزها بعملية ثلاثية${\displaystyle [a,b,c]=ab^{\textsf {T}}c}$أين${\displaystyle b^{\mathsf {T}}}$يشير إلى العلاقة العكسية لـ${\displaystyle b}$في عام 1953، استخدم فيكتور فاغنر خصائص هذه العملية الثلاثية لتعريف أنصاف الأكوام ، والأكوام، والأكوام المعممة. ^{[ 54 ] [ 55 ]} ويبرز التباين بين العلاقات غير المتجانسة والمتجانسة من خلال هذه التعريفات: