نظام شتاينر

في الرياضيات التوافقية ، يعتبر نظام شتاينر (المسمى على اسم جاكوب شتاينر ) نوعًا من تصميم الكتل ، وتحديدًا تصميم t مع λ = 1 و t = 2 أو (مؤخرًا) t ≥ 2.

نظام شتاينر ذو المعاملات t و k و n ، ويُكتب S( t , k , n )، هو مجموعة S مكونة من n عنصرًا ، بالإضافة إلى مجموعة من المجموعات الجزئية S المكونة من k عنصرًا (تُسمى الكتل )، بحيث تحتوي كل مجموعة جزئية من S مكونة من t عنصرًا على كتلة واحدة فقط. وبصيغة بديلة لتصميمات الكتل، يُمكن اعتبار S( t , k , n ) تصميمًا من النوع t- ( n , k , 1).

هذا التعريف حديث نسبياً. كان التعريف الكلاسيكي لأنظمة شتاينر يشترط أيضاً أن يكون k = t + 1. وكان يُطلق على النظام S(2,3, n ) اسم نظام شتاينر ثلاثي (أو ثلاثي ) ، بينما يُطلق على النظام S(3,4, n ) اسم نظام شتاينر رباعي ، وهكذا. ومع تعميم التعريف، لم يعد نظام التسمية هذا مُلتزماً به بدقة.

لطالما تمحورت إحدى المشكلات العالقة في نظرية التصميم حول ما إذا كانت هناك أنظمة شتاينر غير تافهة (أي t < k < n ) حيث t ≥ 6؛ وما إذا كان هناك عدد لا نهائي منها بقيم t = 4 أو 5. ^{[ 1 ]} وقد أثبت بيتر كيفاش وجود كلا النظامين في عام 2014. إلا أن برهانه غير بنائي ، وحتى عام 2019، لم تُعرف أي أنظمة شتاينر فعلية لقيم t الكبيرة . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

أنواع أنظمة شتاينر

المستوى الإسقاطي المحدود من الرتبة $q$ ، مع الخطوط ككتل، هو $S(2,$ $q$ $+ 1,$ q $2$ $+$ $q$ $+ 1)$ ، لأنه يحتوي على $q$ $2$ $+$ $q$ $+ 1$ نقطة، ويمر كل خط عبر $q$ $+$ $1$ نقطة، ويقع كل زوج من النقاط المتميزة على خط واحد فقط.

المستوى الأفيني المحدود من الرتبة $q$ ، حيث تمثل الخطوط كتلًا، هو $S(2,$ $q$ $,$ $q²$ $)$ . يمكن الحصول على مستوى أفيني من الرتبة $q من مستوى إسقاطي من نفس الرتبة بإزالة كتلة واحدة وجميع النقاط$ $الموجودة$ فيها من المستوى الإسقاطي. قد يؤدي اختيار كتل مختلفة للإزالة بهذه الطريقة إلى مستويات أفينية غير متماثلة.

يُطلق على النظام S(3,4, n ) اسم نظام شتاينر الرباعي . الشرط اللازم والكافي لوجود النظام S(3,4, n ) هو أن n $\equiv$ 2 أو 4 (mod 6). يُستخدم الاختصار SQS( n ) غالبًا لهذه الأنظمة. حتى التماثل، يكون كل من SQS(8) وSQS(10) فريدين، بينما يوجد 4 أنظمة SQS(14) و1,054,163 نظام SQS(16). ^{[ 5 ]}

يُطلق على النظام S(4,5, n ) اسم نظام شتاينر الخماسي . والشرط الضروري لوجود مثل هذا النظام هو أن n $\equiv$ 3 أو 5 (mod 6) وهو ما ينبع من اعتبارات تنطبق على جميع أنظمة شتاينر الكلاسيكية. وثمة شرط ضروري إضافي هو أن n $\not \equiv$ 4 (mod 5)، وهو ناتج عن حقيقة أن عدد الكتل يجب أن يكون عددًا صحيحًا. الشروط الكافية غير معروفة. يوجد نظام خماسي شتاينر فريد من الرتبة 11، ولكن لا يوجد نظام من الرتبة 15 أو 17. ^{[ 6 ]} توجد أنظمة معروفة للرتب 23، 35، 47، 71، 83، 107، 131، 167، و243. أصغر رتبة غير معروفة الوجود (حتى عام 2011) هي 21.

أنظمة شتاينر الثلاثية

يُطلق على النظام S(2,3, n ) اسم نظام شتاينر الثلاثي ، وتُسمى كتلُه ثلاثيات . من الشائع استخدام الاختصار STS( n ) لنظام شتاينر الثلاثي من الرتبة n . يبلغ العدد الإجمالي للأزواج n(n-1)/2 ، منها ثلاثة أزواج تظهر في ثلاثية، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للثلاثيات هو n ( n - 1)/6. يُبين هذا أن n يجب أن يكون على الصورة 6k+1 أو 6k+3 لبعض قيم k . وقد أثبت راج تشاندرا بوس ^[⁷^] وت. سكوليم ^[⁸^] أن هذا الشرط على n كافٍ لوجود S(2,3, n ) . يُعد المستوى الإسقاطي من الرتبة 2 ( مستوى فانو ) نظام شتاينر ثلاثي من الرتبة 7، والمستوى الأفيني من الرتبة 3 نظام شتاينر ثلاثي من الرتبة 9. حتى التماثل، فإن STS(7) وSTS(9) فريدتان، وهناك اثنان من STS(13)، و80 من STS(15)، و11,084,874,829 من STS(19). ^[⁹^]

يمكننا تعريف عملية ضرب على المجموعة S باستخدام نظام شتاينر الثلاثي بوضع aa = a لكل a في S ، و ab = c إذا كانت { a , b , c } ثلاثية. هذا يجعل S شبه زمرة تبادلية متساوية القوة . ولها خاصية إضافية هي أن ab = c يستلزم bc = a و ca = b . ^[^{ملاحظة 1}^] على العكس، أي شبه زمرة (منتهية) بهذه الخصائص تنشأ من نظام شتاينر الثلاثي. تُسمى شبه الزمر التبادلية متساوية القوة التي تحقق هذه الخاصية الإضافية شبه زمر شتاينر . ^[¹⁰^]

أنظمة شتاينر القابلة للحل

يمكن تقسيم بعض أنظمة S(2,3,n) إلى مجموعات (n-1)/2، تحتوي كل منها على (n/3) من الثلاثيات المنفصلة. يُطلق على هذا النوع من الأنظمة اسم "الأنظمة القابلة للحل "، وتُسمى هذه الأنظمة "أنظمة كيركمان الثلاثية" نسبةً إلى توماس كيركمان ، الذي درس هذه الأنظمة القابلة للحل قبل شتاينر. وقد بحث ديل ميسنر وإيرل كرامر وآخرون في مجموعات من أنظمة شتاينر الثلاثية المنفصلة (أي لا يوجد نظامان من أنظمة شتاينر في هذه المجموعة يشتركان في ثلاثية واحدة). ومن المعروف (بايز 1917، كرامر وميسنر 1974) أنه يمكن توليد سبعة أنظمة S(2,3,9) مختلفة لتغطية جميع الثلاثيات الـ 84 في مجموعة مكونة من 9 عناصر. وكان معروفًا لديهم أيضًا أن هناك 15360 طريقة مختلفة لإيجاد مثل هذه المجموعات السبع من الحلول، والتي تختزل إلى حلين غير متماثلين تحت إعادة التسمية، بتعدد 6720 و 8640 على التوالي.

طرح جيمس سيلفستر في عام 1860 السؤال المقابل لإيجاد ثلاثة عشر نظامًا منفصلاً مختلفًا من أنظمة S(2,3,15)، وذلك كامتداد لمسألة تلميذات كيركمان ، وتحديدًا ما إذا كان بإمكان تلميذات كيركمان السير لمدة فصل دراسي كامل مدته 13 أسبوعًا دون تكرار أي مجموعة ثلاثية من الفتيات طوال الفصل. وقد حلّ آر إتش إف دينستون هذا السؤال في عام 1974، ^{[ 11 ]} حيث بنى الأسبوع الأول على النحو التالي:

اليوم الأول ABJ CEM FKL HIN DGO اليوم الثاني ACH DEI FGM JLN BKO اليوم الثالث ADL BHM GIK CFN EJO اليوم الرابع AEG BIL CJK DMN FHO اليوم الخامس AFI BCD GHJ EKN LMO اليوم السادس AKM DFJ EHL BGN CIO اليوم السابع BEF CGL DHK IJM ANO

بالنسبة للفتيات المصنفات من A إلى O، تم بناء حل كل أسبوع لاحق من حل الأسبوع السابق مباشرةً عن طريق تغيير A إلى B، وB إلى C، ... وL إلى M، ثم إعادة M إلى A، مع الإبقاء على N وO دون تغيير. حل الأسبوع 13، بعد إعادة التصنيف هذه، يعود إلى حل الأسبوع 1. ذكر دينستون في بحثه أن البحث الذي استخدمه استغرق 7 ساعات على جهاز كمبيوتر Elliott 4130 في جامعة ليستر ، وأنهى البحث فورًا عند إيجاد الحل المذكور أعلاه، دون السعي لإثبات التفرد. لا يزال عدد الحلول غير المتماثلة لمسألة سيلفستر غير معروف حتى عام 2021.

ملكيات

يتضح من تعريف S $(t, k, n)$ أن $1<t<k<n$ (على الرغم من أن المساواة ممكنة من الناحية الفنية، إلا أنها تؤدي إلى أنظمة تافهة.)

إذا كان $النظام S(t, k, n)$ موجودًا، فإن أخذ جميع الكتل التي تحتوي على عنصر معين واستبعاد ذلك العنصر يُعطي نظامًا مشتقًا $S(t - 1, k - 1, n - 1)$ . لذلك، فإن وجود $S(t - 1, k - 1, n - 1)$ شرط ضروري لوجود $S(t, k, n)$ .

عدد المجموعات الفرعية المكونة $من t$ عنصرًا في $S$ هو ${\tbinom {n}{t}}$ ، بينما عدد المجموعات الفرعية المكونة من $t$ عنصرًا في كل كتلة هو ${\tbinom {k}{t}}$ بما أن كل مجموعة جزئية مكونة $من t$ عنصرًا تقع ضمن كتلة واحدة فقط، فإننا نحصل على ${\tbinom {n}{t}}=b{\tbinom {k}{t}}$ ، أو

b={\frac {\tbinom {n}{t}}{\tbinom {k}{t}}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-t+1)}{k(k-1)\cdots (k-t+1)}},

حيث $b$ هو عدد الكتل. وبالمثل، فإن التفكير في المجموعات الفرعية المكونة من $t$ عنصرًا والتي تحتوي على عنصر معين يعطينا ${\tbinom {n-1}{t-1}}=r{\tbinom {k-1}{t-1}}$ ، أو

r={\frac {\tbinom {n-1}{t-1}}{\tbinom {k-1}{t-1}}}

=

{\frac {(n-t+1)\cdots (n-2)(n-1)}{(k-t+1)\cdots (k-2)(k-1)}},

حيث يمثل $r$ عدد الكتل التي تحتوي على أي عنصر معين. ومن هذه التعريفات ينتج المعادلة $bk=rn$ يُعدّ كون $b$ و $r$ عددين صحيحين شرطًا ضروريًا لوجود $S(t, k, n)$ . وكما هو الحال في أي تصميم كتلي، فإن متباينة فيشر $b\geq n$ ينطبق هذا على أنظمة شتاينر.

بفرض معلمات نظام شتاينر $S(t, k, n)$ ومجموعة جزئية بحجم $t'\leq t$ إذا احتوت مجموعة فرعية على كتلة واحدة على الأقل، فيمكن حساب عدد الكتل التي تتقاطع مع تلك المجموعة الفرعية في عدد ثابت من العناصر عن طريق إنشاء مثلث باسكال . ^{[ 12 ]} على وجه الخصوص، فإن عدد الكتل التي تتقاطع مع كتلة ثابتة في أي عدد من العناصر مستقل عن الكتلة المختارة.

عدد الكتل التي تحتوي على أي مجموعة من النقاط مكونة من i عنصر هو:

\lambda _{i}=\left.{\binom {ni}{ti}}\right/{\binom {ki}{ti}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,

يمكن إثبات أنه إذا كان هناك نظام شتاينر $S(2, k, n)$ ، حيث $k$ هو قوة عدد أولي أكبر من 1، فإن $n$ $\equiv$ 1 أو $k (mod k (k - 1))$ . على وجه الخصوص، يجب أن يكون لنظام شتاينر الثلاثي $S(2, 3, n) قيمة$ $n تساوي 6m + 1 أو 6m + 3.$ وكما ذكرنا سابقًا، هذا هو القيد الوحيد على أنظمة شتاينر الثلاثية، أي أنه لكل عدد طبيعي $m$ ، يوجد النظامان $S(2, 3, 6m + 1)$ و $S(2, 3, 6m + 3)$ .

تاريخ

عُرِّفت أنظمة شتاينر الثلاثية لأول مرة على يد ويسلي إس. بي. وولهاوس عام 1844 في سؤال الجائزة رقم 1733 من مجلة "ليديز آند جنتلمن داياري". ^{[ 13 ]} وقد حلّ توماس كيركمان ( 1847 ) المسألة المطروحة . وفي عام 1850، طرح كيركمان صيغةً معدلةً من المسألة تُعرف باسم " مسألة تلميذة كيركمان" ، والتي تطلب إيجاد أنظمة ثلاثية تتمتع بخاصية إضافية (قابلية الحل). وبدون علمه بعمل كيركمان، أعاد جاكوب شتاينر ( 1853 ) تقديم الأنظمة الثلاثية، ونظرًا لانتشار هذا العمل على نطاق أوسع، سُميت الأنظمة تكريمًا له.

في عام 1910، قدم جيفري توماس بينيت تمثيلاً بيانياً لأنظمة شتاينر الثلاثية. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

مجموعات ماثيو

ترتبط العديد من أمثلة أنظمة شتاينر ارتباطًا وثيقًا بنظرية الزمر . وعلى وجه الخصوص، تنشأ الزمر البسيطة المنتهية التي تسمى زمر ماثيو كزمر تماثل ذاتي لأنظمة شتاينر:

مجموعة ماثيو M ₁₁ هي مجموعة التشاكل الذاتي لنظام شتاينر S(4,5,11)
مجموعة ماثيو M ₁₂ هي مجموعة التشاكلات الذاتية لنظام شتاينر S(5,6,12)
مجموعة ماثيو M ₂₂ هي المجموعة الفرعية الوحيدة ذات الدليل 2 لمجموعة التشاكلات الذاتية لنظام شتاينر S(3,6,22).
مجموعة ماثيو M ₂₃ هي مجموعة التشاكل الذاتي لنظام شتاينر S(4,7,23)
مجموعة ماثيو M ₂₄ هي مجموعة التشاكل الذاتي لنظام شتاينر S(5,8,24).

نظام شتاينر S(5, 6, 12)

يوجد نظام شتاينر فريد S(5,6,12)؛ مجموعة التشاكل الذاتي الخاصة به هي مجموعة ماثيو M ₁₂ ، وفي هذا السياق يُشار إليها بـ W ₁₂ .

إنشاء خط إسقاطي

يعود الفضل في هذا البناء إلى كارمايكل (1937). ^{[ 17 ]}

أضف عنصرًا جديدًا، ولنسمّه $\infty$ ، إلى العناصر الأحد عشر للحقل المنتهي $F$ ₁₁ (أي الأعداد الصحيحة modulo 11). يمكن تعريف هذه المجموعة، $S$ ، المكونة من 12 عنصرًا، رسميًا بنقاط الخط الإسقاطي على $F$ _11. لنسمِّ المجموعة الجزئية المحددة التالية، ذات الحجم 6،

\{\infty ,1,3,4,5,9\},

"كتلة" (تحتوي على $\infty$ بالإضافة إلى المربعات الخمسة غير الصفرية في $F$ ₁₁ ). من هذه الكتلة، نحصل على الكتل الأخرى لنظام S(5,6,12) عن طريق تطبيق التحويلات الكسرية الخطية بشكل متكرر :

z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},

حيث $a و b و c و d$ تنتمي إلى $F$ ₁₁ و $ad - bc = 1.$ وباستخدام الاصطلاحات المعتادة لتعريف $f (- d / c) = \infty$ و $f (\infty) = a / c$ ، فإن هذه الدوال تُسقط المجموعة $S$ على نفسها. بلغة الهندسة، هي إسقاطات الخط الإسقاطي. وهي تُشكل زمرةً تحت التركيب، وهي الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,11) من الرتبة 660. يوجد خمسة عناصر فقط من هذه الزمرة تُبقي الكتلة الابتدائية ثابتةً مجموعةً تلو الأخرى، ^{[ 18 ]} وهي تلك التي تحقق $b=c=0$ و $ad =1$ بحيث يكون $f(z) = a 2 z$ . وبالتالي، سيكون هناك 660/5 = 132 صورةً لتلك الكتلة. ونتيجةً لخاصية التعدي المضاعف لهذه الزمرة المؤثرة على هذه المجموعة، فإن أي مجموعة جزئية من خمسة عناصر من $S$ ستظهر في صورة واحدة فقط من هذه الصور الـ 132 ذات الحجم ستة.

بناء القطط الصغيرة

يُمكن الحصول على بنية بديلة لـ W ₁₂ باستخدام "القطة" لـ RT Curtis، ^{[ 19 ]} والتي صُممت لتكون "آلة حاسبة يدوية" لكتابة الكتل واحدة تلو الأخرى. تعتمد طريقة القطة على إكمال الأنماط في شبكة أرقام 3×3، والتي تُمثل هندسة أفينية على الفضاء المتجهي F ₃ xF ₃ ، وهو نظام S(2,3,9).

البناء من تحليل الرسم البياني K ₆

تُنتج العلاقات بين عوامل الرسم البياني الكامل K⁶ مجموعة S(5,6,12). ^{[ 20 ]} يحتوي الرسم البياني K⁶ على 6 رؤوس، و15 ضلعًا، و15 _{تطابقًا}تامًا ، و6 تحليلات مختلفة من _النوع 1 (طرق لتقسيم الأضلاع إلى تطابقات تامة منفصلة). تُشكل مجموعة الرؤوس (المُصنفة 123456) ومجموعة التحليلات (المُصنفة ABCDEF ) كتلة واحدة لكل منهما. يشترك كل زوج من التحليلات في تطابق تام واحد فقط. لنفترض أن التحليلين A و B يشتركان في التطابق مع الأضلاع 12 و34 و56. أضف ثلاث كتل جديدة : AB⁶ (3456)، و AB⁶ (56)، و AB⁶ (34) ، واستبدل كل ضلع في التطابق المشترك بتصنيفات التحليل بالتتابع. وبالمثل، أضف ثلاث كتل أخرى هي 12 CDEF و34 CDEF و56 CDEF ، مع استبدال رموز التحليل برموز الحواف المقابلة للمطابقة المشتركة. كرر هذه العملية لجميع أزواج التحليلات الخمسة عشر لإضافة 90 كتلة جديدة. وأخيرًا، خذ المجموعة الكاملة من ${\tbinom {12}{6}}=924$ يتم اختيار مجموعات من 6 عناصر من أصل 12، ثم تُستبعد أي مجموعة تحتوي على 5 عناصر أو أكثر مشتركة مع أي من الكتل الـ 92 المُولّدة حتى الآن. يتبقى 40 كتلة بالضبط، مما ينتج عنه 132 كتلة من المجموعة _S (5,6,12) بمجموع 2 + 90 + 40. تنجح هذه الطريقة لوجود تماثل خارجي على المجموعة المتناظرة S⁶ ، والذي يربط الرؤوس بالتحليلات والحواف بالتقسيمات. يؤدي تبديل الرؤوس إلى تبديل التحليلات بشكل مختلف، وفقًا للتماثل الخارجي.

نظام شتاينر S(5, 8, 24)

نظام شتاينر S(5, 8, 24)، المعروف أيضًا بتصميم ويت أو هندسة ويت ، وُصف لأول مرة من قِبل كارمايكل ( 1931 ) وأُعيد اكتشافه من قِبل ويت ( 1938 ) . يرتبط هذا النظام بالعديد من الزمر البسيطة المتفرقة وبالشبكة الاستثنائية ذات الأبعاد 24 المعروفة باسم شبكة ليتش . زمرة التشاكل الذاتي لـ S(5, 8, 24) هي زمرة ماثيو M ₂₄ ، وفي هذا السياق يُرمز للتصميم بـ W ₂₄ ("W" اختصارًا لـ "ويت").

التوليد المعجمي المباشر

يتم توليد جميع المجموعات الفرعية المكونة من 8 عناصر من مجموعة مكونة من 24 عنصرًا بترتيب معجمي ، ويتم تجاهل أي مجموعة فرعية من هذا القبيل تختلف عن مجموعة فرعية موجودة بالفعل في أقل من أربعة مواضع.

إذن، قائمة الثمانيات للعناصر 01، 02، 03، ...، 22، 23، 24 هي:

:: 01 02 03 04 05 06 07 08 :: 01 02 03 04 09 10 11 12 :: 01 02 03 04 13 14 15 16 :: . :: . (تم حذف الأجزاء الثمانية التالية البالغ عددها 753) :: . :: 13 14 15 16 17 18 19 20 :: 13 14 15 16 21 22 23 24 :: 17 18 19 20 21 22 23 24

يظهر كل عنصر منفرد 253 مرة في مكان ما ضمن ثمانية عناصر. يظهر كل زوج 77 مرة. يظهر كل ثلاثي 21 مرة. يظهر كل رباعي 5 مرات. يظهر كل خماسي مرة واحدة. لا يظهر كل سداسي أو سباعي أو ثماني عناصر.

البناء من كود غولاي الثنائي

يتم توليد 4096 كلمة رمزية من رمز Golay الثنائي ذي 24 بت ، وتتوافق 759 كلمة رمزية بوزن Hamming قدره 8 مع نظام S(5,8,24).

يمكن إنشاء رمز غولاي بعدة طرق، مثل توليد جميع السلاسل الثنائية ذات 24 بت بترتيب معجمي، ثم حذف السلاسل التي تختلف عن سلسلة سابقة لها بأقل من 8 مواضع . وتكون النتيجة كالتالي:

 000000000000000000000000 000000000000000011111111 000000000000111100001111 . (تم حذف السلاسل التالية ذات 24 بت، وعددها 4090). 111111111111000011110000 111111111111111100000000 11111111111111111111111

تشكل الكلمات المشفرة مجموعة تحت عملية XOR .

إنشاء خط إسقاطي

يعود الفضل في هذا البناء إلى كارمايكل (1931). ^{[ 21 ]}

أضف عنصرًا جديدًا، ولنسمّه $\infty$ ، إلى عناصر الحقل المنتهي $F$ ₂₃ البالغ عددها 23 (أي الأعداد الصحيحة modulo 23). يمكن تعريف هذه المجموعة، $S$ ، المكونة من 24 عنصرًا، رسميًا بنقاط الخط الإسقاطي على $F$ _23. لنسمِّ المجموعة الجزئية المحددة التالية، ذات الحجم 8،

\{\infty ,0,1,3,12,15,21,22\},

"كتلة". (يمكننا أخذ أي ثمانية أجزاء من رمز غولاي الثنائي الموسع ، والذي يُنظر إليه على أنه رمز متبقي تربيعي). من هذه الكتلة، نحصل على الكتل الأخرى لنظام S(5,8,24) عن طريق تطبيق التحويلات الكسرية الخطية بشكل متكرر :

z'=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},

حيث $a و b و c و d$ تنتمي إلى $F$ ₂₃ و $ad - bc = 1.$ وباستخدام الاصطلاحات المعتادة لتعريف $f (- d / c) = \infty$ و $f (\infty) = a / c$ ، فإن هذه الدوال تُسقط المجموعة $S$ على نفسها. بلغة الهندسة، هي إسقاطات الخط الإسقاطي. تُشكل هذه الدوال زمرةً تحت التركيب، وهي الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,23) من الرتبة 6072. يوجد ثمانية عناصر بالضبط في هذه الزمرة تُبقي الكتلة الأولية ثابتةً مجموعةً تلو الأخرى. لذا، سيكون هناك 6072/8 = 759 صورةً لتلك الكتلة. تُشكل هذه الصور ثمانيات S(5,8,24).

البناء من مولد الأوكتاد المعجزة

مولد الأوكتاد المعجزة ( MOG) هو أداة لتوليد الأوكتادات، مثل تلك التي تحتوي على مجموعات فرعية محددة. يتكون من مصفوفة 4×6 مع أوزان معينة مُخصصة للصفوف. على وجه الخصوص، يجب أن تخضع المجموعة الفرعية المكونة من 8 عناصر لثلاثة قواعد لكي تكون أوكتادًا من S(5,8,24). أولًا، يجب أن يكون لكل عمود من الأعمدة الستة نفس التكافؤ ، أي يجب أن يحتوي كل منها على عدد فردي من الخلايا أو عدد زوجي منها. ثانيًا، يجب أن يكون للصف العلوي نفس التكافؤ لكل عمود. ثالثًا، تُضرب الصفوف على التوالي بالأوزان 0 و1 و2 و3 على الحقل المنتهي من الرتبة 4 ، ويتم حساب مجاميع الأعمدة الستة، باستخدام تعريفات حساب الحقل المنتهي في عمليتي الضرب والجمع . يجب أن تشكل مجاميع الأعمدة الناتجة كلمة سداسية صحيحة من الشكل ( a , b , c , a + b + c , 3a + 2b + c , 2a + 3b + c ) حيث a و b و c هي أيضًا من الحقل المنتهي من الرتبة 4. إذا لم تتطابق أزواج مجاميع الأعمدة مع زوجية مجموع الصفوف، أو مع بعضها البعض، أو إذا لم يكن هناك a و b و c بحيث تشكل مجاميع الأعمدة كلمة سداسية صحيحة، فإن تلك المجموعة الفرعية من 8 ليست ثمانية من S(5,8,24).

تعتمد نظرية المجموعات المتعددة (MOG) على إنشاء تقابل (كونويل، 1910، "الفضاء الثلاثي PG(3,2) ومجموعته") بين الطرق الخمس والثلاثين لتقسيم مجموعة ثمانية إلى مجموعتين رباعيتين مختلفتين، والخطوط الخمسة والثلاثين للفضاء الثلاثي فانو PG(3,2). كما ترتبط هندسيًا (كولينان، "ثبات التناظر في خاتم الماس"، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات A193-194، فبراير 1979) بالطرق الخمس والثلاثين المختلفة لتقسيم مصفوفة 4×4 إلى أربع مجموعات مختلفة، كل منها مكونة من أربع خلايا، بحيث إذا كانت مصفوفة 4×4 تمثل فضاءً أفينيًا محدودًا رباعي الأبعاد ، فإن المجموعات تُشكل مجموعة من الفضاءات الفرعية المتوازية.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ هذه الخاصية تعادل القول بأن (xy)y = x لجميع x و y في شبه المجموعة التبادلية المتطابقة.

الاقتباسات

↑ "موسوعة نظرية التصميم: التصاميم t" . Designtheory.org. 2004-10-04 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-08-17 .
↑ كيفاش، بيتر (2014). "وجود التصاميم". arXiv : 1401.3665 [ math.CO ].
↑ إريكا كليراخ (9 يونيو 2015). "حل معضلة التصميم، بدون تصاميم" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يونيو 2015 .
↑ كالاي، جيل. "التصاميم موجودة!" (بي دي إف) . ندوة بورباكي.
^ كولبورن ودينيتز 2007 ، ص.106
^ أوستيرجارد وبوتونن 2008
↑ بوز، آر سي (1939). "حول بناء تصاميم الكتل غير المكتملة المتوازنة" . حوليات علم تحسين النسل . 9 (4): 353-399 . doi : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02219.x .
↑ ت. سكوليم. بعض الملاحظات حول الأنظمة الثلاثية لشتاينر. الرياضيات الإسكندنافية 6 (1958)، 273-280.
^ كولبورن ودينيتز 2007 ، ص.60
^ كولبورن ودينيتز 2007 ، ص. 497، التعريف 28.12
↑ دينستون، آر إتش إف (سبتمبر 1974). "ورقة دينستون، الوصول المفتوح" . الرياضيات المتقطعة . 9 (3): 229-233 . doi : 10.1016/0012-365X(74)90004-1 .
↑ أسموس وكي 1992 ، ص 8.
^ ليندنر ورودجر 1997 ، ص.3
↑ بيكر، إتش إف (13 نوفمبر 1943). "نعي. الدكتور جي تي بينيت، زميل الجمعية الملكية". مجلة نيتشر . 152 (3863): 558-559 . doi : 10.1038/152558a0 .
↑ بينيت، جي تي (1911). "الستة المزدوجة" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية في لندن . 2 (1): 336-351 . doi : 10.1112/plms/s2-9.1.336 .
↑ بينيت، جي تي (1912). "نظام خطوط السطح المكعب" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 2 (1): 479-484 . doi : 10.1112/plms/s2-10.1.479 .
↑ كارمايكل 1956 ، ص 431
↑ بيث، يونغنيكل ولينز 1986 ، ص 196
↑ كورتيس 1984
↑ "كتاب EAGTS المدرسي" .
↑ كارمايكل 1931

مراجع

أسماس، إي إف؛ كي، جيه دي (1992)، التصاميم ورموزها ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-41361-9
بيث، توماس؛ يونغنيكل، ديتر ؛ لينز، هانفريد (1986)، نظرية التصميم ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدجالطبعة الثانية (1999) ISBN 978-0-521-44432-3.
كارمايكل، روبرت (1931)، "التشكيلات التكتيكية للرتبة الثانية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 53 (1): 217-240 ، doi : 10.2307/2370885 ، JSTOR 2370885
كارمايكل، روبرت د. (1956) [1937]، مقدمة في نظرية الزمر ذات الرتبة المنتهية ، دوفر، ISBN 978-0-486-60300-1{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كولبورن، تشارلز جيه؛ دينيتز، جيفري إتش (1996)، دليل التصاميم التوافقية ، بوكا راتون: تشابمان آند هول/ سي آر سي، رقم ISBN 978-0-8493-8948-1، Zbl 0836.00010
كولبورن، تشارلز جيه؛ دينيتز، جيفري إتش (2007)، دليل التصاميم التوافقية ( الطبعة الثانية)، بوكا راتون: تشابمان آند هول/ سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-506-1Zbl 1101.05001
كورتيس، آر تي (1984)، "نظام شتاينر S(5,6,12)، ومجموعة ماثيو M ₁₂ و"القطة الصغيرة""، في أتكينسون، مايكل د. (محرر)، نظرية الزمر الحاسوبية (دورهام، 1982) ، لندن: أكاديميك برس، ص 353-358 ، ISBN 978-0-12-066270-8، MR 0760669
هيوز، د. ر.؛ بايبر، ف. س. (1985)، نظرية التصميم ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 173-176 ، رقم ISBN 978-0-521-35872-9.
كيركمان، توماس ب. (1847)، "حول مسألة في التوافيق"، مجلة كامبريدج ودبلن الرياضية ، الجزء الثاني : 191-204 .
ليندنر، سي سي؛ رودجر، سي إيه (1997)، نظرية التصميم ، بوكا راتون: مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-8493-3986-8
أوسترجارد، باتريك آر جيه؛ بوتونين، أولي (2008)، "لا يوجد نظام شتاينر S(4,5,17)"، مجلة نظرية التوافيق ، السلسلة أ، 115 (8): 1570-1573 ، doi : 10.1016/j.jcta.2008.04.005
Steiner، J. (1853)، “Combinatorische Aufgabe” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1853 (45): 181–182 ، دوى : 10.1515/crll.1853.45.181 ، S2CID 199547187 .
ويت، إرنست (1938)، “Die 5-Fach Transitiven Gruppen von Mathieu”، Abh. الرياضيات. سيم. جامعة. هامبورغ ، 12 : 256–264 ، دوى : 10.1007/BF02948947 ، S2CID 123658601

روابط خارجية

رولاند، تود ووايزستين، إريك دبليو. “نظام شتاينر” . عالم الرياضيات .
روموف، بي تي (2001) [1994]، "نظام شتاينر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
أنظمة شتاينر من تصميم أندرياس إي. بروير
تطبيق S(5,8,24) بواسطة الدكتور ألبرتو ديلجادو، وجاب هارت، ومايكل كولكبيك
برنامج S(5, 8, 24) وقائمة البيانات من تأليف يوهان إي. ميبوس

[10] هذه الخاصية تعادل القول بأن (xy)y = x لجميع x و y في شبه المجموعة التبادلية المتطابقة.

[1] "موسوعة نظرية التصميم: التصاميم t" . Designtheory.org. 2004-10-04 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-08-17 .

[2] كيفاش، بيتر (2014). "وجود التصاميم". arXiv : 1401.3665 [ math.CO ].

[3] إريكا كليراخ (9 يونيو 2015). "حل معضلة التصميم، بدون تصاميم" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يونيو 2015 .

[4] كالاي، جيل. "التصاميم موجودة!" (بي دي إف) . ندوة بورباكي.

[5] كولبورن ودينيتز 2007 ، ص.106

[6] أوستيرجارد وبوتونن 2008

[7] بوز، آر سي (1939). "حول بناء تصاميم الكتل غير المكتملة المتوازنة" . حوليات علم تحسين النسل . 9 (4): 353-399 . doi : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02219.x .

[8] ت. سكوليم. بعض الملاحظات حول الأنظمة الثلاثية لشتاينر. الرياضيات الإسكندنافية 6 (1958)، 273-280.

[Handbook-9] كولبورن ودينيتز 2007 ، ص.60

[11] كولبورن ودينيتز 2007 ، ص. 497، التعريف 28.12

[denniston-12] دينستون، آر إتش إف (سبتمبر 1974). "ورقة دينستون، الوصول المفتوح" . الرياضيات المتقطعة . 9 (3): 229-233 . doi : 10.1016/0012-365X(74)90004-1 .

[FOOTNOTEAssmusKey19928-13] أسموس وكي 1992 ، ص 8.

[14] ليندنر ورودجر 1997 ، ص.3

[15] بيكر، إتش إف (13 نوفمبر 1943). "نعي. الدكتور جي تي بينيت، زميل الجمعية الملكية". مجلة نيتشر . 152 (3863): 558-559 . doi : 10.1038/152558a0 .

[16] بينيت، جي تي (1911). "الستة المزدوجة" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية في لندن . 2 (1): 336-351 . doi : 10.1112/plms/s2-9.1.336 .

[17] بينيت، جي تي (1912). "نظام خطوط السطح المكعب" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 2 (1): 479-484 . doi : 10.1112/plms/s2-10.1.479 .

[18] كارمايكل 1956 ، ص 431

[19] بيث، يونغنيكل ولينز 1986 ، ص 196

[20] كورتيس 1984

[21] "كتاب EAGTS المدرسي" .

[22] كارمايكل 1931

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

أنواع أنظمة شتاينر

أنظمة شتاينر الثلاثية

أنظمة شتاينر القابلة للحل

ملكيات

تاريخ

مجموعات ماثيو

نظام شتاينر S(5, 6, 12)

إنشاء خط إسقاطي

بناء القطط الصغيرة

البناء من تحليل الرسم البياني K 6

نظام شتاينر S(5, 8, 24)

التوليد المعجمي المباشر

البناء من كود غولاي الثنائي

إنشاء خط إسقاطي

البناء من مولد الأوكتاد المعجزة

انظر أيضاً

ملحوظات

الاقتباسات

مراجع

روابط خارجية

البناء من تحليل الرسم البياني K ₆