Matrix of ones

In mathematics, a matrix of ones or all-ones matrix is a matrix with every entry equal to one.^[1] For example:

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

Some sources call the all-ones matrix the unit matrix,^[2] but that term may also refer to the identity matrix, a different type of matrix.

A vector of ones or all-ones vector is matrix of ones having row or column form; it should not be confused with unit vectors.

For an n × n matrix of ones J, the following properties hold:

• The trace of J equals n,^[3] and the determinant equals 0 for n ≥ 2, but equals 1 if n = 1.
• The characteristic polynomial of J is ${\displaystyle (xn)x^{n-1}}$.
• The minimal polynomial of J is ${\displaystyle x^{2}-nx}$.
• The rank of J is 1 and the eigenvalues are n with multiplicity 1 and 0 with multiplicity n − 1.^[4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ for ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$^[5]
• J is the neutral element of the Hadamard product.^[6]

When J is considered as a matrix over the real numbers, the following additional properties hold:

• J is positive semi-definite matrix.
• The matrix ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ is idempotent.^[5]
• The matrix exponential of J is ${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

تظهر مصفوفة العناصر الكاملة (جميعها آحاد) في مجال التوافقية الرياضية ، وتحديدًا عند تطبيق الأساليب الجبرية على نظرية المخططات . على سبيل المثال، إذا كانت A هي مصفوفة التجاور لمخطط G غير الموجه ذي n رأس ، و J هي مصفوفة العناصر الكاملة (جميعها آحاد) من نفس البُعد، فإن G يكون مخططًا منتظمًا إذا وفقط إذا كانت AJ = JA . ^{[ 7 ]} كمثال ثانٍ، تظهر هذه المصفوفة في بعض البراهين الجبرية الخطية لصيغة كايلي ، التي تُعطي عدد الأشجار الممتدة لمخطط كامل ، باستخدام نظرية شجرة المصفوفة .  

يمكن استخدام الجذور التربيعية المنطقية لمصفوفة من الآحاد، أي المصفوفات المنطقية التي مربعها مصفوفة من الآحاد، لتوصيف الزمر المركزية . الزمر المركزية هي هياكل جبرية تحقق خاصية التطابق .${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$. تحتوي الزمر المركزية المحدودة على عدد مربع من العناصر، والمصفوفات المنطقية المقابلة موجودة فقط لتلك الأبعاد. ^{[ 8 ]}

• المصفوفة الصفرية ، هي مصفوفة تكون جميع عناصرها أصفارًا
• مصفوفة ذات مدخل واحد