المصفوفة المتساوية

في الجبر الخطي ، المصفوفة المتطابقة هي مصفوفة إذا ضُربت في نفسها، فإنها تُعطي نفسها. ^{[ 1 ] [ 2 ]} أي أن المصفوفة${\displaystyle A}$تكون متطابقة إذا وفقط إذا${\displaystyle A^{2}=A}$. لهذا المنتج${\displaystyle A^{2}}$سيتم تحديده ،${\displaystyle A}$يجب بالضرورة أن تكون مصفوفة مربعة . من هذا المنطلق، فإن المصفوفات المتساوية القوة هي عناصر متساوية القوة في حلقات المصفوفات .

أمثلة على${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات المتطابقة هي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$$

أمثلة على${\displaystyle 3\times 3}$المصفوفات المتطابقة هي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$$

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$إذا كان متماثلًا، فإن

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\displaystyle b=ab+bd,}$يعني${\displaystyle b(1-ad)=0}$لذا${\displaystyle b=0}$أو${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle c=ca+cd,}$يعني${\displaystyle c(1-ad)=0}$لذا${\displaystyle c=0}$أو${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}.}$

وبالتالي، فإن الشرط الضروري لـ${\displaystyle 2\times 2}$لكي تكون المصفوفة متطابقة القوة، يجب أن تكون إما قطرية أو أن يكون أثرها مساوياً لـ 1. بالنسبة للمصفوفات القطرية المتطابقة القوة،${\displaystyle a}$و${\displaystyle d}$يجب أن تكون القيمة إما 1 أو 0.

لو${\displaystyle b=c}$، المصفوفة${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$سيكون متطابقًا بشرط${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$إذن، فإن a تحقق المعادلة التربيعية

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,}$أو${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$

وهي دائرة مركزها (1/2، 0) ونصف قطرها 1/2. بدلالة الزاوية θ ،

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$هو دالة متكررة.

لكن،${\displaystyle b=c}$ليس شرطًا ضروريًا: أي مصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$مع${\displaystyle a^{2}+bc=a}$هو دالة متكررة.

تظهر المصفوفات المتساوية القوة بشكل متكرر في تحليل الانحدار والاقتصاد القياسي . على سبيل المثال، في طريقة المربعات الصغرى العادية ، تتمثل مشكلة الانحدار في اختيار متجه β لتقديرات المعاملات بحيث يتم تقليل مجموع مربعات البواقي (التنبؤات الخاطئة) e _i : في شكل مصفوفة،

التقليل${\displaystyle (yX\beta )^{\textsf {T}}(yX\beta )}$

أين${\displaystyle y}$هو متجه لملاحظات المتغير التابع ، و${\displaystyle X}$هي مصفوفة، كل عمود من أعمدتها يمثل عمودًا من المشاهدات على أحد المتغيرات المستقلة . والمُقدِّر الناتج هو

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

حيث يشير الرمز T العلوي إلى عملية النقل ، ويكون متجه البواقي هو ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\hat {e}}=yX{\hat {\beta }}=yX\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[IX\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}$

هنا كلاهما${\displaystyle M}$و${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$(والمعروفة الأخيرة باسم مصفوفة القبعة ) هي مصفوفات متماثلة ومتساوية القوة، وهي حقيقة تسمح بالتبسيط عند حساب مجموع مربعات البواقي:

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.}$

خاصية التكرار لـ${\displaystyle M}$يلعب دورًا في حسابات أخرى أيضًا، مثل تحديد تباين المُقدِّر${\displaystyle {\hat {\beta }}}$.

مؤثر خطي متساوي القوة${\displaystyle P}$هو عامل إسقاط على فضاء المدى${\displaystyle R(P)}$على طول فضاءه الصفري${\displaystyle N(P)}$⁠ .${\displaystyle P}$يكون عامل إسقاط متعامد إذا وفقط إذا كان متماثلًا ومتماثلًا .

• العجز الجنسي
• عديم القدرة
• الإسقاط (الجبر الخطي)
• مصفوفة القبعة