مصفوفة أسية

في الرياضيات ، الدالة الأسية للمصفوفة هي دالة مصفوفية على المصفوفات المربعة ، وهي مماثلة للدالة الأسية العادية . تُستخدم لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية. في نظرية زمر لي، تُعطي الدالة الأسية للمصفوفة التحويل الأسي بين جبر لي المصفوفي وزمرة لي المناظرة له .

لتكن $X$ مصفوفة حقيقية أو مركبة من الرتبة $n \times n$ . الدالة الأسية لـ $X$ ، والتي يُرمز لها بـ $e^$ $X$ أو $exp($ $X$ $)$ ، هي مصفوفة من الرتبة $n$ $\times$ $n$ معطاة بمتسلسلة القوى.

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$

أين $X^{0}$ تُعرَّف بأنها مصفوفة الوحدة $I$ بنفس الأبعاد مثل $X$ و $X^{k}=XX^{k-1}$ للأعداد الصحيحة $k>0$ ⁠ .^{[ 1 ]} تتقارب السلسلة دائمًا، لذا فإن الدالة الأسية لـ $X$ محددة جيدًا.

وبعبارة أخرى، $e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}$

$بالنسبة لـ k$ ذات القيم الصحيحة ، حيث $I$ هي مصفوفة الوحدة $n \times n$ .

وبصورة مكافئة، يتم توفير الدالة الأسية للمصفوفة من خلال الحل $Y(t)=e^{Xt}$ معادلة تفاضلية (مصفوفية)

${\frac {d}{dt}}Y(t)=X\,Y(t),\quad Y(0)=I,$ تم تقييمها عند $t = 1$ .

عندما تكون $X$ مصفوفة قطرية من الرتبة $n \times n$ ، فإن $exp($ $X$ $)$ ستكون مصفوفة قطرية من الرتبة $n$ $\times$ $n$ حيث يكون كل عنصر قطري مساوياً للدالة الأسية العادية المطبقة على العنصر القطري المقابل لـ $X.$

ملكيات

الخصائص الأولية

لتكن $X$ و $Y$ مصفوفتين مركبتين من الرتبة $n \times n،$ وليكن $a$ و $b$ عددين مركبين اختياريين. نرمز لمصفوفة الوحدة من الرتبة $n \times n$ بالرمز $I$ ، وللمصفوفة الصفرية بالرمز 0. تحقق الدالة الأسية للمصفوفة الخصائص التالية. ^[²^]

نبدأ بالخصائص التي تُعد نتائج مباشرة لتعريفها كمتسلسلة قوى:

$e 0 = I$
$exp($ X $T$ $)$ $= (exp$ $X$ $)$ $T$ $،$ حيث يشير $X T$ إلى منقولة X.
exp $($ $X$ $*$ $) = (exp$ $X$ $)$ $*$ ، حيث $X *$ تشير إلى النقل المرافق لـ $X.$
إذا كانت $Y$ قابلة للعكس فإن $e YXY -1 = Ye X Y -1 .$
لو $XY=YX$ ثم $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$ .

إن برهان هذه المتطابقة الأخيرة هو نفسه برهان متسلسلة القوى القياسي للمتطابقة المقابلة للدالة الأسية للأعداد الحقيقية. أي، طالما أن $X$ و $Y$ لا يغير ذلك من الأمر شيئاً في النقاش، سواء كان التنقل يومياً أو يومياً. $X$ و $Y$ هي أعداد أو مصفوفات. لا تتحقق هذه المتطابقة عادةً إذا $X$ و $Y$ لا تتبادل (انظر متباينة غولدن-تومسون أدناه). تشمل الحالات الخاصة لهذه المتطابقة ما يلي:

$e aX e bX = e (a + b) X$
$e X e - X = I$

باستخدام النتائج المذكورة أعلاه، يمكننا بسهولة التحقق من الادعاءات التالية:

إذا كان $X$ متناظرًا ، فإن $e X$ يكون متناظرًا أيضًا.

إذا كان $X$ متناظرًا عكسيًا، فإن $e X$ يكون متعامدًا .

إذا كان X $هيرميتيًا$ ، فإن $e X$ هي أيضًا هيرميتية.

إذا كان $X$ مصفوفة هيرميتية معكوسة، فإن $e X$ مصفوفة وحدوية .

وأخيرًا، فإن تحويل لابلاس للدوال الأسية للمصفوفة يعادل المُحلِّل ، $\int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}$ لجميع القيم الموجبة الكبيرة بما فيه الكفاية لـ $s$ .

أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية

من أسباب أهمية الدالة الأسية المصفوفية أنها تُستخدم لحل أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية العادية . حل ${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$ حيث $A$ مصفوفة ثابتة و y متجه عمودي، يُعطى بواسطة $y(t)=e^{At}y_{0}.$

يمكن أيضًا استخدام الدالة الأسية المصفوفية لحل المعادلة غير المتجانسة ${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$ انظر إلى قسم التطبيقات أدناه للاطلاع على أمثلة.

لا يوجد حل مغلق للمعادلات التفاضلية من الشكل ${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$ حيث أن $A$ ليست ثابتة، لكن متسلسلة ماغنوس تعطي الحل كمجموع لانهائي.

محدد المصفوفة الأسية

بحسب صيغة جاكوبي ، بالنسبة لأي مصفوفة مربعة معقدة، فإن متطابقة الأثر التالية صحيحة: ^{[ 3 ]}

$\det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.$

إضافةً إلى توفير أداة حسابية، تُبيّن هذه الصيغة أن الدالة الأسية للمصفوفة هي دائمًا مصفوفة قابلة للعكس . وينتج هذا من حقيقة أن الطرف الأيمن من المعادلة أعلاه لا يساوي الصفر أبدًا، وبالتالي فإن $det$ $(eA$ $)$ $\neq 0$ ، مما يعني أن $eA$ يجب أن تكون قابلة للعكس.

في حالة القيم الحقيقية، تُظهر الصيغة أيضًا الخريطة $\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ على عكس الحالة المعقدة المذكورة سابقًا، فإن المصفوفة ليست شاملة . ويعود ذلك إلى حقيقة أن الطرف الأيمن من الصيغة يكون دائمًا موجبًا بالنسبة للمصفوفات ذات القيم الحقيقية، بينما توجد مصفوفات قابلة للعكس ذات محدد سالب.

المصفوفات المتناظرة الحقيقية

الدالة الأسية للمصفوفة المتناظرة الحقيقية موجبة تمامًا. ليكن $S$ لتكن مصفوفة حقيقية متناظرة من الرتبة $n \times n و$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ متجه عمودي. باستخدام الخصائص الأساسية للدالة الأسية للمصفوفة والمصفوفات المتناظرة، لدينا:

$x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.$

منذ $e^{S/2}$ إذا كانت قابلة للعكس، فإن المساواة لا تتحقق إلا لـ $x=0$ ولدينا $x^{T}e^{S}x>0$ لجميع القيم غير الصفرية $x$ . لذلك $e^{S}$ موجبة محددة.

حاصل الضرب الموتري للدالة الأسية

الأسي لمجموع كرونكر ^{[ 4 ]} ${\overline {\oplus }}$ من مصفوفتين مربعتين $A,B$ والتي يجب عدم الخلط بينها وبين المجموع المباشر الذي يأخذ شكلاً بسيطاً. $A\,{\overline {\oplus }}\,B=A\otimes \mathrm {I} _{m}+\mathrm {I} _{n}\otimes B$ في هذه الحالة، يكون الأس ببساطة هو حاصل الضرب الموتري $\otimes$ من الدوال الأسية للمصفوفات ^{[ 5 ]} :

$\exp {\left(A\,{\overline {\oplus }}\,B\right)}=\exp {A}\,\otimes \,\exp {B}$

هنا افترضنا

A,B

ليكون النظام

n,m

على التوالي و

\mathrm {I} _{ك}

هي مصفوفة الوحدة من الرتبة

k

.

وينتج هذا عن تبديل حدود مجموع كرونكر والخصائص التي نوقشت أعلاه.

ترتبط هذه النتيجة بالضرب المباشر لمجموعات لي وجبر لي المرتبط بها والذي $[A\,{\overline {\oplus }}\,B,C\,{\overline {\oplus }}\,D]=[A,C]\,{\overline {\oplus }}\,[B,D]$ كتمثيل للمجموع المباشر لجبر لي .

من التطبيقات الأخرى لهذه الصيغة فيزياء الأنظمة غير المتفاعلة. صيغتها العكسية $\log {A}\,{\overline {\oplus }}\,\log {B}=\log {\left(A\otimes B\right)}$ يؤدي ذلك إلى خاصية الجمع في إنتروبيا فون نيومان للأنظمة المستقلة إذا كانت هذه التعبيرات اللوغاريتمية موجودة.

الأسي للمجاميع

لأي عددين (عددين قياسيين) $a$ و $b،$ نعلم أن الدالة الأسية تحقق المعادلة $e a + b = e a e b$ . وينطبق الأمر نفسه على المصفوفات التبادلية. إذا كانت المصفوفتان $X$ و $Y$ تبادليتين (أي أن $XY = YX$ )، فإن $e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.$

ومع ذلك، بالنسبة للمصفوفات التي لا تتبادل، فإن المساواة المذكورة أعلاه لا تنطبق بالضرورة.

تركيبة منتج الكذب

حتى لو لم يكن $X$ و $Y$ يتبادلان، يمكن حساب الأس $e X + Y$ بواسطة صيغة ضرب لي ^{[ 6 ].} $e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.$

$إن استخدام قيمة k$ كبيرة ومحدودة لتقريب ما سبق هو أساس توسيع سوزوكي-تروتر، والذي يستخدم غالبًا في التطور الزمني العددي .

صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف

في الاتجاه الآخر، إذا كانت $X$ و $Y$ مصفوفتين صغيرتين بما فيه الكفاية (ولكن ليس بالضرورة مصفوفتين تبادليتين)، فسنحصل على $e^{X}e^{Y}=e^{Z},$ حيث يمكن حساب $Z$ كسلسلة في مبدلات X $و$ $Y$ عن طريق صيغة Baker–Campbell–Hausdorff : ^{[ 7 ]} $Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$ حيث تمثل الحدود المتبقية جميع المبدلات المتكررة التي تتضمن $X$ و $Y.$ إذا كان $X$ و $Y$ يتبادلان، فإن جميع المبدلات تساوي صفرًا، ويكون لدينا ببساطة $Z = X + Y.$

متباينات الدوال الأسية للمصفوفات الهرميتية

بالنسبة للمصفوفات الهرميتية، توجد نظرية جديرة بالذكر تتعلق بأثر الدوال الأسية للمصفوفات.

إذا كانت $A$ و $B$ مصفوفات هيرميتية، فإن ^{[ 8 ]} $\operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].$

لا يوجد شرط للتبديل. توجد أمثلة مضادة تُظهر أن متباينة غولدن-تومسون لا يمكن تعميمها على ثلاث مصفوفات، وعلى أي حال، فإن $tr(exp(A)exp(B)exp(C))$ ليس مضمونًا أن يكون حقيقيًا للمصفوفات الهرميتية $A$ و $B$ و $C.$ مع ذلك، أثبت ليب ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} أنه يمكن تعميمها على ثلاث مصفوفات إذا عدّلنا التعبير كما يلي $\operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].$

الخريطة الأسية

الدالة الأسية للمصفوفة هي دائمًا مصفوفة قابلة للعكس . المصفوفة العكسية لـ $e^X$ تُعطى بالعلاقة $e^ X - X.$ وهذا يُشابه حقيقة أن الدالة الأسية للعدد المركب دائمًا غير صفري. ومن ثم، تُعطينا الدالة الأسية للمصفوفة تطبيقًا $\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ من فضاء جميع المصفوفات من الرتبة n × n إلى المجموعة الخطية العامة من الدرجة $n$ ، أي مجموعة جميع المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n . في الواقع، هذا التطبيق شامل ، مما يعني أنه يمكن كتابة كل مصفوفة قابلة للعكس على شكل دالة أسية لمصفوفة أخرى ^{[ 11 ]} (ولهذا، من الضروري النظر إلى حقل الأعداد المركبة C وليس R ).

لأي مصفوفتين $X$ و $Y$ ، $\left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$

حيث يرمز $‖ \cdot ‖ إلى$ معيار مصفوفة اختياري . ويترتب على ذلك أن الدالة الأسية متصلة ومتصلة وفقًا لشرط ليبشيتز على المجموعات الجزئية المدمجة من $M n (C)$ .

الخريطة $t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$ يُعرّف منحنى أملس في المجموعة الخطية العامة يمر عبر عنصر الوحدة عند $t = 0$ .

في الواقع، هذا يعطي مجموعة فرعية ذات معلمة واحدة من المجموعة الخطية العامة لأن $e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.$

مشتقة هذا المنحنى (أو متجه المماس ) عند النقطة t تُعطى بالعلاقة التالية:

{\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.

1

المشتق عند $t = 0$ هو ببساطة المصفوفة X ، وهذا يعني أن X تولد هذه المجموعة الفرعية ذات المعلمة الواحدة.

وبشكل أعم، ^{[ 12 ]} بالنسبة للأس العام المعتمد على $t$ ، $X (t)$ ،

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.$

بأخذ التعبير أعلاه $e X (t)$ خارج علامة التكامل وتوسيع الدالة التكاملية بمساعدة ليمّة هادامارد ، يمكن الحصول على التعبير المفيد التالي لمشتقة أس المصفوفة، ^{[ 13 ]} $e^{-X(t)}\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)={\frac {d}{dt}}X(t)-{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]-\cdots$

تختلف المعاملات في التعبير أعلاه عما يظهر في الدالة الأسية. للاطلاع على الصيغة المغلقة، انظر مشتقة الدالة الأسية .

المشتقات الاتجاهية عند تقييدها بالمصفوفات الهرميتية

يترك $X$ كن $n\times n$ مصفوفة هيرميتية ذات قيم ذاتية مميزة. $X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}$ ليكن تحليلها الذاتي حيث $E$ هي مصفوفة وحدوية أعمدتها هي المتجهات الذاتية لـ $X$ ، $E^{*}$ وهي منقولتها المرافقة، و $\Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)$ متجه القيم الذاتية المناظرة. ثم، لأي $n\times n$ مصفوفة هيرميتية $V$ ، المشتق الاتجاهي لـ $\exp :X\to e^{X}$ في $X$ في الاتجاه $V$ هو ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} $D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}$ أين ${\bar {V}}=E^{*}VE$ ، المشغل $\odot$ يرمز إلى حاصل ضرب هادامارد، و، بالنسبة لجميع $1\leq i,j\leq n$ ، المصفوفة $G$ يُعرَّف بأنه $G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.$ بالإضافة إلى ذلك، لأي $n\times n$ مصفوفة هيرميتية $U$ ، المشتقة الاتجاهية الثانية في الاتجاهات $U$ و $V$ هو ^{[ 15 ]} $D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}$ حيث الدالة ذات القيم المصفوفية $F$ يتم تعريفها، للجميع $1\leq i,j\leq n$ ، مثل $F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})$ مع $\phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.$

حساب الدالة الأسية للمصفوفة

يُعدّ إيجاد طرق موثوقة ودقيقة لحساب الدالة الأسية للمصفوفة أمرًا صعبًا، ولا يزال هذا الموضوع محلّ بحثٍ مكثف في الرياضيات والتحليل العددي. تستخدم برامج Matlab و GNU Octave و R و SciPy جميعها تقريب باديه . ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} في هذا القسم، نناقش الطرق التي يمكن تطبيقها من حيث المبدأ على أي مصفوفة، والتي يمكن تنفيذها صراحةً للمصفوفات الصغيرة. ^{[ 20 ]} تصف الأقسام اللاحقة طرقًا مناسبة للتقييم العددي على المصفوفات الكبيرة.

حالة قابلة للتشخيص

إذا كانت المصفوفة قطرية : $A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},$ ثم يمكن الحصول على دالتها الأسية عن طريق رفع كل عنصر على القطر الرئيسي إلى الأس: $e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$

تسمح هذه النتيجة أيضًا برفع المصفوفات القابلة للتقطير إلى أس . إذا

أ = UDU -1

ثم

e A = Ue D U -1

,

وهو أمر يسهل حسابه بشكل خاص عندما يكون $D$ قطريًا.

يؤدي تطبيق صيغة سيلفستر إلى النتيجة نفسها. (ولتوضيح ذلك، لاحظ أن جمع وضرب المصفوفات القطرية، وبالتالي رفعها إلى الأسس، يكافئ جمع وضرب عناصرها، وبالتالي رفعها إلى الأسس؛ وعلى وجه الخصوص، يُطبق رفع الأسس "أحادي البعد" على مستوى العناصر في حالة المصفوفات القطرية).

مثال : قابل للقطران

على سبيل المثال، المصفوفة $A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}$ يمكن تحويلها إلى شكل قطري كما يلي: ${\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.$

هكذا، $e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.$

حالة عديمة القوة

تكون المصفوفة $N$ معدومة القوة إذا كان $N q = 0$ لعدد صحيح q . في هذه الحالة، يمكن حساب الدالة الأسية للمصفوفة $e N$ مباشرة من متسلسلة تايلور، حيث تنتهي المتسلسلة بعد عدد محدود من الحدود.

$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.$

بما أن المتسلسلة تحتوي على عدد محدود من الخطوات، فهي متعددة حدود مصفوفية، والتي يمكن حسابها بكفاءة .

الحالة العامة

باستخدام تحليل جوردان-شيفالي

بحسب تحليل جوردان-شيفالي ، أي $n\times n$ يمكن التعبير عن المصفوفة X ذات المدخلات المركبة على النحو التالي: $X=A+N$ أين

A قابلة للتقطير
N عنصر عديم القوة
يتنقل A مع N

هذا يعني أنه يمكننا حساب الدالة الأسية لـ X عن طريق اختزالها إلى الحالتين السابقتين: $e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.$

لاحظ أننا نحتاج إلى خاصية التبديل بين A و N لكي تنجح الخطوة الأخيرة.

باستخدام الشكل القانوني الأردني

ثمة طريقة وثيقة الصلة، إذا كان الحقل مغلقًا جبريًا ، وهي العمل مع صيغة جوردان لـ $X.$ لنفترض أن $X = PJP -1$ حيث $J$ هي صيغة جوردان لـ $X.$ عندئذٍ $e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.$

أيضًا، بما أن ${\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}$

لذلك، يكفينا معرفة كيفية حساب الدالة الأسية للمصفوفة في كتلة جوردان . ولكن كل كتلة جوردان تكون على الشكل التالي: ${\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}$

حيث $N$ مصفوفة نيلبوتنت خاصة. ويُعطى الأس المصفوفي لـ $J بالعلاقة التالية:$ $e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}$

حقيبة عرض

إذا كانت $P$ مصفوفة إسقاط (أي مصفوفة متساوية القوة : $P 2 = P$ )، فإن أسية المصفوفة الخاصة بها هي:

e P = I + (e - 1) P

.

وباستنتاج ذلك من خلال توسيع الدالة الأسية، فإن كل قوة من قوى $P$ تختزل إلى $P$ التي تصبح عاملاً مشتركاً للمجموع: $e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.$

علبة دوارة

بالنسبة للدوران البسيط الذي تحدد فيه متجهات الوحدة المتعامدة $a$ و $b$ مستوىً ما، ^{[ 21 ]} يمكن التعبير عن مصفوفة الدوران R بدلالة دالة أسية مماثلة $تتضمن$ مولدًا $G$ وزاوية $θ$ . ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} ${\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}$

تُستنتج صيغة الدالة الأسية من اختزال قوى $G$ في متسلسلة تايلور، وتحديد معاملات متسلسلة G² و $G مع$ $-cos$ ( $θ) و$ sin $($ θ $)$ $على$ التوالي. والصيغة الثانية هنا لـ $eGθ$ $هي$ نفسها صيغة $R (θ$ $)$ في المقالة التي تتضمن اشتقاق المولد ، R $(θ) = eGθ .$

في بعدين، إذا $a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ و $b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$ ، ثم $G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$ ، $G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$ ، و $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )$ يختزل إلى المصفوفة القياسية لدوران المستوى.

تقوم المصفوفة $P = - G 2$ بإسقاط متجه على المستوى $ab$ ، ولا يؤثر الدوران إلا على هذا الجزء من المتجه. ومن الأمثلة التي توضح ذلك دوران بزاوية $30° = π/6$ في المستوى الذي يمتد عليه المتجهان $a$ و $b$ .

${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

لنفترض أن $N$ $= I - P ،$ إذن N² $= N وحاصل$ ضربه في $P$ و $G$ يساوي صفرًا. وهذا سيمكننا من حساب قوى $R.$

${\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}$

سلسلة التقييم من لوران

بفضل نظرية كايلي-هاميلتون، يمكن التعبير عن الدالة الأسية للمصفوفة على أنها متعددة حدود من الدرجة $n$ −1.

إذا كانت $P$ و $Q t$ كثيرتي حدود غير صفريتين في متغير واحد، بحيث $P (A) = 0$ ، وإذا كانت الدالة الميرومورفية $f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}$ إذا كان كاملاً ، $e^{tA}=Q_{t}(A).$ ولإثبات ذلك، اضرب المعادلة الأولى من المعادلتين أعلاه في $P (z)$ واستبدل $z$ بـ $A$ .

يمكن إيجاد متعددة الحدود $Q t (z) كما يلي - انظر$ صيغة سيلفستر . إذا كان $a$ جذرًا للمعادلة $P$ ، $فإن Q a,t (z)$ تُحل من حاصل ضرب $P$ في الجزء الرئيسي من متسلسلة لوران للدالة $f$ عند $a$ : وهي تتناسب مع المتغير المتغير لفروبينيوس ذي الصلة . عندئذٍ، يمكن اعتبار مجموع St _{لمتعددة} الحدود Q _a,t ، حيث $a$ يمتد على جميع جذور $P$ ، بمثابة $Q t$ خاص. تُحصل جميع متعددات الحدود Q _t $الأخرى بإضافة مضاعف من P$ إلى $St (z)$ . على وجه الخصوص، $St ($ $z$ $)$ $،$ متعددة حدود لاغرانج $-$ سيلفستر ، هي $Q t$ الوحيدة التي درجتها أقل من درجة $P.$

مثال : لنفترض حالة مصفوفة عشوائية من الرتبة $2 \times 2$ ، $A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$

يجب أن تكون المصفوفة الأسية $e tA$ ، بموجب نظرية كايلي-هاميلتون ، على الشكل التالي: $e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.$

(لأي عدد مركب $z$ وأي جبر C- $B$ ، نرمز مرة أخرى بـ $z$ إلى حاصل ضرب $z$ في وحدة $B.$ )

ليكن $α$ و $β$ جذري كثير الحدود المميز لـ $A$ ، $P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.$

ثم لدينا $S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,$ لذلك ${\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}$

إذا $α \neq β$ ; بينما، إذا $α = β$ ، $S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,$

لهذا السبب. ${\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}$

تعريف ${\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}$

لدينا ${\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}$

حيث $sin(qt)/ q$ يساوي 0 إذا كان $t = 0$ ، و $t$ إذا كان $q = 0$ .

هكذا،

$e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.$

وبالتالي، كما هو موضح أعلاه، فإن المصفوفة $A$ قد تحللت إلى مجموع جزأين متبادلين، الجزء الذي يحمل أثراً والجزء الذي لا يحمل أثراً، $A=sI+(A-sI)~,$

يختزل الأس المصفوفي إلى حاصل ضرب بسيط للأسين الخاصين بالجزأين المعنيين. هذه صيغة شائعة الاستخدام في الفيزياء، إذ أنها تُعادل صيغة أويلر لمصفوفات باولي الدورانية ، أي دورانات التمثيل الثنائي للمجموعة SU(2) .

يمكن أيضًا إعطاء متعددة الحدود $S t$ التوصيف " الاستيفاءي " التالي . لنُعرّف $e t (z) \equiv e tz$ ، و $n \equiv deg P$ . عندئذٍ $، S t (z)$ هي متعددة الحدود الوحيدة من الدرجة $< n التي تحقق$ $S t (k) (a) = e t (k) (a)$ عندما يكون $k$ أقل من تعدد $a$ كجذر لـ $P.$ نفترض، كما هو واضح، أن $P$ هي متعددة الحدود الدنيا لـ $A.$ نفترض كذلك أن A $مصفوفة$ قابلة للتقطير . على وجه الخصوص، جذور $P$ بسيطة، ويشير التوصيف " الاستيفاءي " إلى أن $S t$ تُعطى بواسطة صيغة استيفاء لاغرانج ، لذا فهي متعددة حدود لاغرانج-سيلفستر .

في المقابل، إذا كان $P = (z - a) n$ ، فإن $S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.$

أبسط حالة لم تشملها الملاحظات المذكورة أعلاه هي عندما $P=(z-a)^{2}\,(z-b)$ حيث $a \neq b$ ، مما ينتج عنه $S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.$

التقييم بتطبيق صيغة سيلفستر

يمكن تلخيص الحساب العملي السريع لما سبق في الخطوات السريعة التالية. تذكر مما سبق أن المصفوفة من الرتبة $n \times n،$ $exp(tA)$ ، تُعادل توليفة خطية من القوى $n$ − 1 الأولى للمصفوفة $A$ ، وذلك وفقًا لنظرية كايلي-هاميلتون . بالنسبة للمصفوفات القابلة للتقطير ، كما هو موضح أعلاه، على سبيل المثال في حالة $2 \times 2$ ، تُعطي صيغة سيلفستر المعادلة exp $(tA) = Bα exp(tα) + Bβ exp(tβ) ،$ حيث $B$ هي المتغيرات المرافقة لفروبينيوس للمصفوفة $A.$

ومع ذلك، فإن أسهل طريقة هي ببساطة حل هذه $B$ s مباشرة، عن طريق تقييم هذا التعبير ومشتقته الأولى عند $t = 0$ ، بدلالة $A$ و $I$ ، لإيجاد نفس الإجابة كما في الأعلى.

لكن هذا الإجراء البسيط يصلح أيضًا للمصفوفات المعيبة ، وذلك بتعميم منسوب إلى بوخهايم. ^{[ 24 ]} ويتضح ذلك هنا من خلال مثال لمصفوفة $4 \times 4$ غير قابلة للتقطير ، والمصفوفات $B$ ليست مصفوفات إسقاط.

يعتبر $A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,$ بقيم ذاتية $λ 1 = 3/4$ و $λ 2 = 1$ ، كل منها بتعدد اثنين.

لنفترض الدالة الأسية لكل قيمة ذاتية مضروبة في $t$ ، $أي$ $exp(λᵢᵢᵢ) . نضرب كل قيمة ذاتية مرفوعة للأس$ في مصفوفة المعاملات غير المحددة المناظرة لها $Biᵢ .$ إذا كانت القيم الذاتية ذات تعدد جبري أكبر من 1، نكرر العملية، ولكن مع إضافة عامل $t$ في كل تكرار، لضمان الاستقلال الخطي.

(إذا كانت إحدى القيم الذاتية لها تعدد ثلاثة، فسيكون هناك ثلاثة حدود: $B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}$ على النقيض من ذلك، عندما تكون جميع القيم الذاتية متميزة، فإن $B$ هي ببساطة متغيرات فروبينيوس ، وحلها كما هو موضح أدناه يقتصر على عكس مصفوفة فانديرموند لهذه القيم الذاتية الأربع. في الحالة العامة، حيث يُسمح بأي تعدد لكل قيمة ذاتية، نصل إلى طريقة استيفاء هيرميت باستخدام مصفوفة فانديرموند المتقاربة (انظر القسم 1.2.2، الصفحات 4-7 من هايام ^{[ 25 ]} ).

اجمع كل هذه الحدود، وهنا أربعة منها، ${\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}$

لإيجاد جميع المصفوفات المجهولة $B$ بدلالة القوى الثلاث الأولى للمصفوفة $A$ ومعادلة الوحدة، نحتاج إلى أربع معادلات، المعادلة المذكورة أعلاه توفر واحدة منها عند $t$ = 0. علاوة على ذلك، نشتقها بالنسبة إلى $t$ . $Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,$

ومرة أخرى، ${\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}$

ومرة أخرى، ${\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}$

(في الحالة العامة، يلزم أخذ مشتقات من الرتبة $n -1.)$

بوضع $t$ = 0 في هذه المعادلات الأربع، يمكن الآن إيجاد قيم مصفوفات المعاملات الأربع $B s.$ ${\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}$

للاستسلام ${\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}$

وباستبدال قيمة $A$ نحصل على مصفوفات المعاملات. ${\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

إذن، الإجابة النهائية هي $e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}$

الإجراء أقصر بكثير من خوارزمية بوتزر التي تُستخدم أحيانًا في مثل هذه الحالات.

الرسوم التوضيحية

لنفترض أننا نريد حساب الدالة الأسية لـ $B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.$

شكلها الأردني هو $J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},$ حيث تُعطى المصفوفة P بالصيغة التالية $P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.$

لنحسب أولاً exp( J ). لدينا $J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)$

الدالة الأسية لمصفوفة من الرتبة $1 \times 1$ هي ببساطة الدالة الأسية لعنصر واحد من عناصر المصفوفة، لذا $فإن$ $exp(J1 (4)) = [$ $e4$ $]$ $.$ $ويمكن$ حساب الدالة الأسية لـ _J2( 16) باستخدام الصيغة $e$ $(λI$ $+$ $N$ $)$ $=$ $eλeN$ $المذكورة$ أعلاه؛ وهذا $يُعطي$ ^[²⁶^] $.$

${\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

وبالتالي، فإن الدالة الأسية للمصفوفة الأصلية $B$ هي ${\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

التطبيقات

المعادلات التفاضلية الخطية

للدالة الأسية للمصفوفة تطبيقات في أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية . (انظر أيضًا: معادلة تفاضلية مصفوفية ). تذكر من وقت سابق في هذه المقالة أن المعادلة التفاضلية المتجانسة من الشكل $\mathbf {y} '=A\mathbf {y}$ له حل $e عند y (0 )$ .

إذا نظرنا إلى المتجه $\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,$ يمكننا التعبير عن نظام من المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة والمترابطة على النحو التالي: $\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$ بوضع فرضية لاستخدام عامل تكامل $e - At$ والضرب في جميع أنحاء المعادلة، ينتج ${\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}$

تُصبح الخطوة الثانية ممكنةً لأنّه إذا كان $AB$ $= BA ،$ $فإنّ eAtB = BeAt. لذا، فإنّ حساب eAt$ يُؤدّي $إلى حلّ النظام ،$ ببساطة $عن$ $طريق$ تكامل الخطوة الثالثة بالنسبة إلى $t$ .

يمكن الحصول على حل لهذه المسألة عن طريق التكامل والضرب في $e^{{\textbf {A}}t}$ للتخلص من الأس في الطرف الأيسر. لاحظ أنه بينما $e^{{\textbf {A}}t}$ بما أن المصفوفة أسية، يمكننا القول أن $e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I$ . بعبارة أخرى، $\exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}$ .

مثال (متجانس)

ضع في اعتبارك النظام ${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.$

المصفوفة المعيبة المرتبطة بها هي $A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$

الدالة الأسية للمصفوفة هي $e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$

وبالتالي فإن الحل العام للنظام المتجانس هو ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$

ما يعادل ${\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}$

مثال (غير متجانس)

لننظر الآن إلى النظام غير المتجانس ${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.$

لقد حصلنا مرة أخرى $A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$

و $\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$

لدينا بالفعل الحل العام للمعادلة المتجانسة. وبما أن مجموع الحلول المتجانسة والخاصة يعطي الحل العام للمسألة غير المتجانسة، فإننا نحتاج الآن فقط إلى إيجاد الحل الخاص.

لدينا، كما ذكرنا أعلاه، ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}$ ويمكن تبسيط ذلك أكثر للحصول على الحل المحدد المطلوب من خلال تغيير المعاملات. لاحظ أن c = y _p (0). لمزيد من الدقة، انظر التعميم التالي.

تعميم الحالة غير المتجانسة: تغير المعلمات

في حالة عدم التجانس، يمكننا استخدام عوامل التكامل (وهي طريقة مشابهة لتغيير المعاملات ). نبحث عن حل خاص على الصورة $y p (t) = exp(tA) z (t)$ ، ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$

لكي يكون $y p$ حلاً، ${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$

هكذا، ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}$ حيث يتم تحديد قيمة $c$ من خلال الشروط الأولية للمسألة.

وبشكل أدق، انظر إلى المعادلة $Y'-A\ Y=F(t)$

مع الشرط الابتدائي $Y$ $(t0) = Y0 ،$ حيث

$A$ هي مصفوفة مركبة من الرتبة $n \times$ $n$ ،
$F$ دالة متصلة من فترة مفتوحة $I$ إلى $C n$ ،
$t_{0}$ هي نقطة من نقاط $"أنا"$ ، و
$Y_{0}$ هو متجه من $C n$ .

بضرب المعادلة المعروضة أعلاه من اليسار في $e -tA$ نحصل على $Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.$

ندعي أن حل المعادلة $P(d/dt)\ y=f(t)$

مع الشروط الأولية $y^{(k)}(t_{0})=y_{k}$ لـ $0 \leq k < n$ هو $y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,$

حيث تكون الصيغة كما يلي:

$P\in \mathbb {C} [X]$ هي متعددة حدود أحادية من الدرجة $n > 0$ ،
$f$ دالة متصلة ذات قيم مركبة معرفة على فترة مفتوحة $I$ ،
$t_{0}$ هي نقطة من نقاط $أنا$ ،
$y_{k}$ هو عدد مركب، و

$s k (t)$ هو معامل $X^{k}$ في متعددة الحدود التي يرمز إليها بـ $S_{t}\in \mathbb {C} [X]$ في قسم التقييم الفرعي من سلسلة لوران أعلاه.

لتبرير هذا الادعاء، نحول معادلتنا العددية من الرتبة $n$ إلى معادلة متجهة من الرتبة الأولى عن طريق الاختزال المعتاد إلى نظام من الرتبة الأولى . تأخذ معادلتنا المتجهة الشكل التالي: ${\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},$ حيث $A$ هي المصفوفة المرافقة المنقولة لـ $P.$ نحل هذه المعادلة كما هو موضح أعلاه، ونحسب الدوال الأسية للمصفوفة من خلال الملاحظة الواردة في القسم الفرعي "التقييم" عن طريق تطبيق صيغة سيلفستر أعلاه.

في حالة $n$ = 2 نحصل على العبارة التالية. حل المعادلة $y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}$

يكون $y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,$

حيث تكون الدوال $s 0$ و $s 1$ كما في القسم الفرعي "التقييم بواسطة سلسلة لوران" أعلاه.

انظر أيضاً

مراجع

↑ هول 2015 المعادلة 2.1
↑ هول 2015 الاقتراح 2.3
↑ هول 2015 نظرية 2.12
↑ بروير، جيه دبليو (1969). "ملاحظة حول جداءات مصفوفات كرونكر وأنظمة معادلات المصفوفات". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية. 17 (3): 603-606. doi:10.1137/0117057.
^ وايسستين، اريك دبليو. “مجموع كرونيكر”. من MathWorld--مورد Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/KroneckerSum.html
↑ هول 2015 نظرية 2.11
↑ هول 2015 الفصل 5
↑ بهاتيا، ر. (1997). تحليل المصفوفات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 169. سبرينغر. ISBN 978-0-387-94846-1.
↑ ليب، إليوت هـ. (1973). "دوال الأثر المحدبة وتخمين ويغنر-ياناسي-دايسون" . التقدم في الرياضيات . 11 (3): 267-288 . doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .
↑ هـ. إبستين (1973). "ملاحظات على نظريتين لإي. ليب" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 31 (4): 317-325 . Bibcode : 1973CMaPh..31..317E . doi : 10.1007/BF01646492 . S2CID 120096681 .
↑ تمارين هول 2015 ، 2.9 و2.10
↑ آر إم ويلكوكس (1967). "المؤثرات الأسية وتفاضل المعاملات في الفيزياء الكمية". مجلة الفيزياء الرياضية . 8 (4): 962-982 . Bibcode : 1967JMP.....8..962W . doi : 10.1063/1.1705306 .
↑ هول 2015 نظرية 5.4
↑ لويس، أدريان س.؛ سيندوف، هريستو س. (2001). "الدوال الطيفية القابلة للتفاضل مرتين" (ملف PDF) . مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 23 (2): 368-386 . doi : 10.1137/S089547980036838X .انظر النظرية 3.3.
1 2 ديليدال، تشارلز ألبان؛ دينيس، لويك؛ توبين، فلورنسا (2022). "تقليل التشويش في مجال المصفوفة اللوغاريتمية لتصوير الرادار ذي الفتحة التركيبية" . مجلة التصوير الرياضي والرؤية . 64 (3): 298-320 . Bibcode : 2022JMIV...64..298D . doi : 10.1007/s10851-022-01067-1 .انظر إلى الاقتراحين 1 و 2.
↑ "الدالة الأسية للمصفوفة - MATLAB expm - MathWorks Deutschland" . Mathworks.de. 30 أبريل 2011. مؤرشف من الأصل في 30 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه في 5 يونيو 2013 .
↑ "GNU Octave – دوال المصفوفة" . Network-theory.co.uk. 11 يناير 2007. مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2015. تم الاطلاع عليه في 5 يونيو 2013 .
↑ "R - pkg {Matrix}: Matrix Exponential" . 2005-02-28 . تم الاسترجاع في 2023-07-17 .
↑ "توثيق دالة scipy.linalg.expm" . مجتمع SciPy. ١٨ يناير ٢٠١٥. تم الاطلاع عليه بتاريخ ٢٩ مايو ٢٠١٥ .
↑ انظر هول 2015 القسم 2.2
↑ في الفضاء الإقليدي
↑ ويل، هيرمان (1952). الزمكان والمادة . دوفر. ص 142. ISBN 978-0-486-60267-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ بيوركن، جيمس د.؛ دريل، سيدني د. (1964). ميكانيكا الكم النسبية . ماكجرو هيل. ص 22 .
↑ راينهارت، آر إف (1955). " تكافؤ تعريفات الدالة المصفوفية ". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 62 (6)، 395-414.
↑ هايام، ن. ج. (2008). دوال المصفوفات: النظرية والحساب . سيام. doi : 10.1137/1.9780898717778 . ISBN 978-0-898716-46-7.
↑ يمكن تعميم هذا؛ بشكل عام، فإن الدالة الأسية لـ $J n (a)$ هي مصفوفة مثلثية علوية مع $e a /0!$ على القطر الرئيسي، $و e a /1!$ على القطر العلوي، $و e a /2!$ على القطر التالي، وهكذا.

هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 222 ( الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-3-319-13466-6
هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (1991). موضوعات في تحليل المصفوفات . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-46713-1..
مولر، كليف ؛ فان لون، تشارلز ف. (2003). "تسع عشرة طريقة مشكوك فيها لحساب الدالة الأسية للمصفوفة، بعد خمسة وعشرين عامًا" (ملف PDF) . مجلة SIAM Review . 45 (1): 3-49 . Bibcode : 2003SIAMR..45....3M . CiteSeerX 10.1.1.129.9283 . doi : 10.1137/S00361445024180 . ISSN 1095-7200 . .
سوزوكي، ماسو (1985). "صيغ تحليل المؤثرات الأسية ودوال لي الأسية مع بعض التطبيقات في ميكانيكا الكم والفيزياء الإحصائية". مجلة الفيزياء الرياضية . 26 (4): 601-612 . Bibcode : 1985JMP....26..601S . doi : 10.1063/1.526596 .
كورترايت، تي إل ؛ فيرلي، دي بي ؛ زاكوس، سي كيه (2014). "صيغة مختصرة للدوران كمتعددات حدود مصفوفة الدوران". التناظر، التكاملية، والهندسة: الأساليب والتطبيقات . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode : 2014SIGMA..10..084C . doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 . S2CID 18776942 .
هاوسهولدر، ألستون س. (2006). نظرية المصفوفات في التحليل العددي . كتب دوفر في الرياضيات. ISBN 978-0-486-44972-2.
فان كورتريك، تي إس (2016). "الأسس المصفوفية، وعناصر مجموعة SU(N)، وجذور كثيرات الحدود الحقيقية". مجلة الفيزياء الرياضية . 57 (2) 021701. arXiv : 1508.05859 . Bibcode : 2016JMP....57b1701V . doi : 10.1063/1.4938418 . S2CID 119647937 .

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. “المصفوفة الأسية” . عالم الرياضيات .

[1] هول 2015 المعادلة 2.1

[2] هول 2015 الاقتراح 2.3

[3] هول 2015 نظرية 2.12

[4] بروير، جيه دبليو (1969). "ملاحظة حول جداءات مصفوفات كرونكر وأنظمة معادلات المصفوفات". مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية. 17 (3): 603-606. doi:10.1137/0117057.

[5] وايسستين، اريك دبليو. “مجموع كرونيكر”. من MathWorld--مورد Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/KroneckerSum.html

[6] هول 2015 نظرية 2.11

[7] هول 2015 الفصل 5

[8] بهاتيا، ر. (1997). تحليل المصفوفات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 169. سبرينغر. ISBN 978-0-387-94846-1.

[9] ليب، إليوت هـ. (1973). "دوال الأثر المحدبة وتخمين ويغنر-ياناسي-دايسون" . التقدم في الرياضيات . 11 (3): 267-288 . doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

[10] هـ. إبستين (1973). "ملاحظات على نظريتين لإي. ليب" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 31 (4): 317-325 . Bibcode : 1973CMaPh..31..317E . doi : 10.1007/BF01646492 . S2CID 120096681 .

[11] تمارين هول 2015 ، 2.9 و2.10

[12] آر إم ويلكوكس (1967). "المؤثرات الأسية وتفاضل المعاملات في الفيزياء الكمية". مجلة الفيزياء الرياضية . 8 (4): 962-982 . Bibcode : 1967JMP.....8..962W . doi : 10.1063/1.1705306 .

[13] هول 2015 نظرية 5.4

[lewis-14] لويس، أدريان س.؛ سيندوف، هريستو س. (2001). "الدوال الطيفية القابلة للتفاضل مرتين" (ملف PDF) . مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 23 (2): 368-386 . doi : 10.1137/S089547980036838X .انظر النظرية 3.3.

[deledalle-15] 1 2 ديليدال، تشارلز ألبان؛ دينيس، لويك؛ توبين، فلورنسا (2022). "تقليل التشويش في مجال المصفوفة اللوغاريتمية لتصوير الرادار ذي الفتحة التركيبية" . مجلة التصوير الرياضي والرؤية . 64 (3): 298-320 . Bibcode : 2022JMIV...64..298D . doi : 10.1007/s10851-022-01067-1 .انظر إلى الاقتراحين 1 و 2.

[16] "الدالة الأسية للمصفوفة - MATLAB expm - MathWorks Deutschland" . Mathworks.de. 30 أبريل 2011. مؤرشف من الأصل في 30 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه في 5 يونيو 2013 .

[17] "GNU Octave – دوال المصفوفة" . Network-theory.co.uk. 11 يناير 2007. مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2015. تم الاطلاع عليه في 5 يونيو 2013 .

[18] "R - pkg {Matrix}: Matrix Exponential" . 2005-02-28 . تم الاسترجاع في 2023-07-17 .

[19] "توثيق دالة scipy.linalg.expm" . مجتمع SciPy. ١٨ يناير ٢٠١٥. تم الاطلاع عليه بتاريخ ٢٩ مايو ٢٠١٥ .

[20] انظر هول 2015 القسم 2.2

[21] في الفضاء الإقليدي

[22] ويل، هيرمان (1952). الزمكان والمادة . دوفر. ص 142. ISBN 978-0-486-60267-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[23] بيوركن، جيمس د.؛ دريل، سيدني د. (1964). ميكانيكا الكم النسبية . ماكجرو هيل. ص 22 .

[24] راينهارت، آر إف (1955). " تكافؤ تعريفات الدالة المصفوفية ". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 62 (6)، 395-414.

[25] هايام، ن. ج. (2008). دوال المصفوفات: النظرية والحساب . سيام. doi : 10.1137/1.9780898717778 . ISBN 978-0-898716-46-7.

[26] يمكن تعميم هذا؛ بشكل عام، فإن الدالة الأسية لـ $J n (a)$ هي مصفوفة مثلثية علوية مع $e a /0!$ على القطر الرئيسي، $و e a /1!$ على القطر العلوي، $و e a /2!$ على القطر التالي، وهكذا.

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ].

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗