مجموعة ذات معلمة واحدة

في الرياضيات ، تعني المجموعة ذات المعامل الواحد أو المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد عادةً تماثلًا مستمرًا بين المجموعات.

${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \rightarrow G}

من الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$( كمجموعة جمعية ) إلى مجموعة طوبولوجية أخرى${\displaystyle G}$. لو${\displaystyle \varphi }$إذا كان حقنيًا${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$، الصورة، ستكون مجموعة فرعية من${\displaystyle G}$وهو متماثل مع${\displaystyle \mathbb {R} }$كمجموعة جمعية. على الرغم من اسمها، فإن "المجموعة ذات المعامل الواحد" ليست في الواقع مجموعة، بل هي تشاكل بين مجموعات.

قدّم سوفوس لي مفهوم الزمر ذات المعامل الواحد عام ١٨٩٣ لتعريف التحويلات المتناهية الصغر . ووفقًا للي، فإن التحويل المتناهي الصغر هو تحويل متناهي الصغر للزمرة ذات المعامل الواحد التي يُولّدها. ^{[ ١ ]} وتُستخدم هذه التحويلات المتناهية الصغر لتوليد جبر لي، الذي يُستخدم لوصف زمرة لي ذات أي بُعد.

يُعرف تأثير مجموعة ذات مُعامل واحد على مجموعة ما بالتدفق . يُحدث حقل متجه أملس على مشعب، عند نقطة ما، تدفقًا محليًا - وهو عبارة عن مجموعة ذات مُعامل واحد من التشاكلات المحلية، تُرسل النقاط على طول المنحنيات التكاملية لحقل المتجه. يُستخدم التدفق المحلي لحقل متجه لتعريف مشتقة لي لحقول الموترات على طول حقل المتجه.

منحنى${\displaystyle \phi$ يُطلق على المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد اسم المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد من ℝ → G. ${\displaystyle G}$إذا استوفى الشرط ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \phi (t)\phi (s)=\phi (s+t)}$.

في نظرية لي ، تتوافق المجموعات ذات المعامل الواحد مع الفضاءات الجزئية أحادية البعد لجبر لي المرتبط بها . ويُعدّ التوافق بين مجموعة لي وجبر لي أساسًا لعلم بدأه سوفوس لي في تسعينيات القرن التاسع عشر.

وتُلاحظ حالة أخرى مهمة في التحليل الوظيفي ، مع${\displaystyle G}$هي مجموعة المؤثرات الوحدوية على فضاء هيلبرت . انظر نظرية ستون حول المجموعات الوحدوية ذات المعامل الواحد .

في كتابه " مجموعات لي" ، قدم بي إم كوهن النظرية التالية:

أي زمرة لي متصلة أحادية البعد تكون متماثلة تحليليًا إما مع الزمرة الجمعية للأعداد الحقيقية${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$أو إلى${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$، المجموعة الجمعية للأعداد الحقيقية${\displaystyle \mod 1}$. على وجه الخصوص، كل زمرة لي أحادية البعد متماثلة محليًا مع${\displaystyle \mathbb {R} }$[ ^{3 ]​}

في الفيزياء ، تصف المجموعات ذات المعلمة الواحدة الأنظمة الديناميكية . ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، كلما كان نظام القوانين الفيزيائية يقبل مجموعة ذات معلمة واحدة من التناظرات القابلة للتفاضل ، فإنه توجد كمية محفوظة ، وفقًا لنظرية نوثر .

في دراسة الزمكان، شاع استخدام القطع الزائد الوحدوي لمعايرة القياسات المكانية والزمانية منذ أن ناقشه هيرمان مينكوفسكي عام ١٩٠٨. وقد اختُزل مبدأ النسبية إلى اختيار قطر القطع الزائد الوحدوي لتحديد خط العالم . وباستخدام معلمات القطع الزائد بزاوية زائدية ، قدمت نظرية النسبية الخاصة حسابًا للحركة النسبية بمجموعة ذات معلمة واحدة مُفهرسة بالسرعة . تحل السرعة محل السرعة في حركيات وديناميكا نظرية النسبية. ولأن السرعة غير محدودة، فإن المجموعة ذات المعلمة الواحدة التي تقوم عليها غير متراصة. وقد قدم إي. تي. ويتاكر مفهوم السرعة عام ١٩١٠، وأطلق عليه ألفريد روب هذا الاسم في العام التالي. وتُعادل معلمة السرعة طول متجه زائدي ، وهو مفهوم يعود إلى القرن التاسع عشر. استخدم كل من الفيزيائيين الرياضيين جيمس كوكل ، وويليام كينغدون كليفورد ، وألكسندر ماكفارلين في كتاباتهم تحويلاً مكافئاً للمستوى الديكارتي بواسطة مؤثر${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$، أين${\displaystyle a}$هي الزاوية الزائدية و${\displaystyle r^{2}=+1}$.

يبرز مثال مهم في نظرية زمر لي عندما${\displaystyle G}$يُعتبر${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$، مجموعة العناصر القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المدخلات المركبة. في هذه الحالة، تكون النتيجة الأساسية كما يلي: ^{[ 5 ]}

نظرية : لنفترض${\displaystyle \varphi$ إذا كانت المجموعة ذات مُعامل واحد هي :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}، فإنه يوجد عنصر وحيد${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle X}$بحيث

${\displaystyle \varphi (t)=e^{tX}}$

للجميع${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

ويترتب على هذه النتيجة أن${\displaystyle \varphi }$قابلة للتفاضل، على الرغم من أن هذا لم يكن أحد افتراضات النظرية. المصفوفة${\displaystyle X}$ويمكن بعد ذلك استردادها من${\displaystyle \varphi }$مثل

$\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X}$.

يمكن استخدام هذه النتيجة، على سبيل المثال، لإثبات أن أي تماثل مستمر بين زمر لي المصفوفية يكون أملسًا. ^{[ 6 ]}

ومن التعقيدات التقنية أن${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$كفضاء فرعي من${\displaystyle G}$قد تحمل بنية طوبولوجية أكثر خشونة من تلك الموجودة على${\displaystyle \mathbb {R} }$قد يحدث هذا في الحالات التي${\displaystyle \varphi }$هي دالة حقنية. فكر على سبيل المثال في الحالة التي${\displaystyle G}$هو شكل حلقي${\displaystyle T}$، و${\displaystyle \varphi }$يتم تصنيعه عن طريق لف خط مستقيم حول${\displaystyle T}$بميل غير منطقي .

في هذه الحالة، قد لا تكون الطوبولوجيا المستحثة هي الطوبولوجيا القياسية للخط الحقيقي.

• الخريطة الأسية (نظرية لي)
• منحنى التكامل
• شبه مجموعة ذات معلمة واحدة
• نظرية نوثر

• هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ISBN 978-3319134666.