القطع الزائد الوحدوي

في الهندسة ، القطع الزائد الواحدي هو مجموعة النقاط${\displaystyle (x,y)}$في المستوى الديكارتي الذي يحقق المعادلة الضمنية${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$في دراسة المجموعات المتعامدة غير المحددة ، يشكل القطع الزائد الواحدي أساسًا لطول شعاعي بديل${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}}$.

بينما تحيط دائرة الوحدة بمركزها، فإن القطع الزائد ذو الوحدة يتطلب القطع الزائد المرافق.${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$لتكملة القطع الزائد في المستوى. يشترك هذا الزوج من القطع الزائد في خطي التقارب y = x و y = − x . عند استخدام مرافق القطع الزائد ذي الوحدة، يكون الطول القطري البديل هو${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.}$

القطع الزائد ذو الوحدة هو حالة خاصة من القطع الزائد المستطيل ، وله اتجاه وموقع ومقياس محدد . وعلى هذا النحو، فإن انحرافه يساوي${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}.}$^{[ 1 ]}

تُستخدم القطع الزائد الوحدوية في تطبيقاتٍ عديدة، منها استبدال الدائرة بالقطع الزائد في الهندسة التحليلية. ومن أبرز الأمثلة على ذلك تصوير الزمكان كفضاء شبه إقليدي، حيث تُشكّل خطوط التقارب للقطع الزائد الوحدوية مخروطًا ضوئيًا . علاوة على ذلك، أدى اهتمام غريغوار دي سان فنسان بمساحات القطاعات الزائدية إلى ظهور دالة اللوغاريتم والنمذجة الحديثة للقطع الزائد باستخدام مساحات القطاعات. وعند فهم مفهومي القطع الزائدية المترافقة والزوايا الزائدية، يُمكن استبدال الأعداد المركبة الكلاسيكية ، المبنية حول دائرة الوحدة، بأعداد مبنية حول القطع الزائد الوحدوية.

بشكل عام، يُقال إن الخطوط التقاربية لمنحنى ما تتقارب نحوه. في الهندسة الجبرية ونظرية المنحنيات الجبرية، يوجد منهج مختلف للخطوط التقاربية. يُفسَّر المنحنى أولًا في المستوى الإسقاطي باستخدام الإحداثيات المتجانسة . ثم تُعرَّف الخطوط التقاربية بأنها خطوط مماسية للمنحنى الإسقاطي عند نقطة في اللانهاية ، مما يُغني عن الحاجة إلى مفهوم المسافة والتقارب. في إطار شائع، تُعتبر ( x, y, z ) إحداثيات متجانسة، ويُحدد الخط عند اللانهاية بالمعادلة z = 0. على سبيل المثال، كتب سي جي جيبسون: ^{[ 2 ]}

بالنسبة للقطع الزائد المستطيل القياسي${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، المنحنى الإسقاطي المقابل هو${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$والتي تتقاطع مع z = 0 عند النقطتين P = (1  : 1  : 0) و Q = (1  : − 1  : 0). كلتا النقطتين P و Q بسيطتان على F ، مع مماسين x + y = 0 و x − y = 0؛ وبالتالي نستعيد "الخطوط المقاربة" المألوفة في الهندسة الابتدائية.

يُرسم مخطط مينكوفسكي ، أو مخطط الزمكان، في مستوى الزمكان حيث يقتصر البعد المكاني على بُعد واحد. تُظهر مخططات الزمكان الهندسة الكامنة وراء ظواهر مثل تمدد الزمن. وحدات المسافة والزمن في هذا المستوى هي:

• وحدات بطول 30 سنتيمتراً ووحدات نانوثانية ، أو
• الوحدات الفلكية وفترات زمنية مدتها 8 دقائق و20 ثانية، أو
• سنوات ضوئية وسنوات .

ينتج عن كل مقياس من هذه المقاييس الإحداثية روابط فوتونية للأحداث على طول خطوط قطرية ميلها زائد أو ناقص واحد. يتكون المخطط الذي استخدمه هيرمان مينكوفسكي لوصف تحويلات النسبية من خمسة عناصر: القطع الزائد الوحدوي، والقطع الزائد المرافق له ، ومحاور القطع الزائد، وقطر القطع الزائد الوحدوي، والقطر المرافق له . يشير المستوى الذي يحتوي على المحاور إلى إطار مرجعي ساكن . يمثل قطر القطع الزائد الوحدوي إطارًا مرجعيًا متحركًا بسرعة a حيث tanh a = y / x و ( x , y ) هي نقطة نهاية القطر على القطع الزائد الوحدوي. يمثل القطر المرافق له المستوى الفائق المكاني للتزامن المقابل للسرعة a . في هذا السياق، يُعد القطع الزائد الوحدوي قطعًا زائدًا للمعايرة ^{[ 3 ] [ 4 ].} عادةً ما يُعتمد القطع الزائد ذو المحور الرأسي كقطع زائد أساسي في دراسة النسبية.

يتجه سهم الزمن من أسفل الشكل إلى أعلاه، وهو اصطلاح اعتمده ريتشارد فاينمان في رسوماته البيانية الشهيرة. يُمثَّل الفضاء بمستويات عمودية على محور الزمن. أما اللحظة الراهنة فهي نقطة تفرد في المنتصف. ^{[ 5 ]}

إن اصطلاح المحور الزمني الرأسي ينبع من مينكوفسكي في عام 1908، وهو موضح أيضًا في الصفحة 48 من كتاب إدينجتون " طبيعة العالم المادي" (1928).

تبدأ الطريقة المباشرة لتمثيل القطع الزائد الواحدي بالقطع الزائد xy = 1 المُعَلم بالدالة الأسية :${\displaystyle (e^{t},e^{-t}).}$

يتم تحويل هذا القطع الزائد إلى قطع زائد وحدوي بواسطة تحويل خطي له المصفوفة${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\$ :}

${\displaystyle (e^{t},e^{-t})\ A=\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)=(\cosh t,\sinh t).}$

هذا المعامل t هو الزاوية الزائدية ، وهي وسيط الدوال الزائدية .

نجد تعبيراً مبكراً عن القطع الزائد ذي الوحدة المُعَلمة في كتاب "عناصر الديناميكا " (1878) للمؤلف دبليو كي كليفورد . ويصف الحركة شبه التوافقية في القطع الزائد على النحو التالي:

الحركة${\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$توجد بعض أوجه التشابه الغريبة مع الحركة التوافقية الإهليلجية. ... التسارع${\displaystyle {\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \$ ;} وبالتالي فهي تتناسب دائمًا مع المسافة من المركز، كما هو الحال في الحركة التوافقية الإهليلجية، ولكنها موجهة بعيدًا عن المركز. ^{[ 6 ]}

باعتبارها نوعًا خاصًا من القطوع المخروطية ، يمكن تمثيل القطع الزائد من خلال عملية جمع النقاط على القطع المخروطي. وقد قدم المحللون الروس الوصف التالي:

لنثبت نقطة E على القطع المخروطي. ولنعتبر النقاط التي يتقاطع عندها الخط المستقيم المرسوم عبر E والموازي لـ AB مع القطع المخروطي مرة ثانية هي مجموع النقطتين A و B.

بالنسبة للقطع الزائد${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$مع النقطة الثابتة E = (1,0) مجموع النقاط${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$و${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$هذه هي النقطة${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$في ظل المعايرة${\displaystyle x=\cosh \ t}$و${\displaystyle y=\sinh \ t}$هذه الإضافة تتوافق مع إضافة المعامل t . ^{[ 7 ]}

بينما ترتبط دائرة الوحدة بالأعداد المركبة ، فإن القطع الزائد للوحدة هو مفتاح المستوى المركب المنفصل الذي يتكون من z = x + yj ، حيث j² = 1. عندئذٍ jz = y + xj ، وبالتالي فإن تأثير j على المستوى هو تبديل الإحداثيات. على وجه الخصوص، يبدل هذا التأثير القطع الزائد للوحدة مع مرافقه، ويبدل أزواج ^{الأقطار} المترافقة للقطع الزائد.

من حيث معامل الزاوية الزائدية a ، يتكون القطع الزائد الواحد من نقاط

${\displaystyle \pm (\cosh a+j\sinh a)}$، حيث j = (0,1).

يمثل الفرع الأيمن للقطع الزائد الواحدي المعامل الموجب. في الواقع، هذا الفرع هو صورة الدالة الأسية المؤثرة على المحور j . وبالتالي، فإن هذا الفرع هو المنحنى.${\displaystyle f(a)=\exp(aj).}$ميل المنحنى عند النقطة a يُعطى بالمشتقة

${\displaystyle f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).}$لأي أ ،${\displaystyle f^{\prime }(a}$) متعامد زائدي لـ${\displaystyle f(a)}$. هذه العلاقة مماثلة لتعامد exp( a i) و i exp( a i) عندما i ² = − 1.

منذ${\displaystyle \exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)}$، الفرع هو مجموعة تحت عملية الضرب.

على عكس مجموعة الدائرة ، فإن مجموعة القطع الزائد الوحدوية هذه ليست متراصة . ومثل المستوى المركب العادي، فإن أي نقطة لا تقع على الأقطار لها تحليل قطبي باستخدام معلمات القطع الزائد الوحدوي والطول القطري البديل.

• إف. ريس هارفي (1990) سبينورات ومعايرات ، الشكل 4.33، الصفحة 70، دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 0-12-329650-1.