مخطط الزمكان

في دراسة الحركة أحادية البعد ، تُعدّ رسوم بيانية للموقع مقابل الزمن (وتُسمى اختصارًا رسوم xt البيانية) وسيلةً مفيدةً لوصف الحركة. وتظهر الخصائص الحركية، إلى جانب موقع الجسم، من خلال ميل الخطوط وشكلها. ^{[ 1 ]} في الشكل  1-1، يتحرك الجسم المرسوم بعيدًا عن نقطة الأصل بسرعة ثابتة موجبة (1.66  م/ث) لمدة 6 ثوانٍ، ثم يتوقف لمدة 5 ثوانٍ، ثم يعود إلى نقطة الأصل خلال فترة 7 ثوانٍ بسرعة غير ثابتة (لكنها سالبة).

في أبسط صورها، تُعدّ مخططات الزمكان مجرد رسم بياني للزمن مقابل الموقع، مع تبديل اتجاهات المحاور في الرسم البياني المكاني المعتاد؛ أي أن المحور الرأسي يُشير إلى قيم الإحداثيات الزمنية، والمحور الأفقي إلى قيم الإحداثيات المكانية. وعند استخدامها، خاصةً في النسبية الخاصة ، غالبًا ما تُقاس المحاور الزمنية لمخططات الزمكان بسرعة الضوء ( c ) ، وبالتالي يُرمز لها عادةً بالرمز ct. يُغيّر هذا بُعد الكمية الفيزيائية المُتناولة من " الزمن " إلى " الطول "، بما يتوافق مع البُعد المرتبط بالمحور المكاني، والذي يُرمز له عادةً بالرمز x.

لتسهيل فهم كيفية مقارنة إحداثيات الزمكان، التي يقيسها مراقبون في أطر مرجعية مختلفة ، مع بعضها البعض، من المفيد توحيد الإعداد وتبسيطه. يُقال إن إطارين مرجعيين غاليليين (أي أطر الفضاء الثلاثية التقليدية)، S و S′ (تُنطق "S  برايم")، مع مراقبين O و O′ في حالة سكون في كل منهما، ولكنهما يقيسان الآخر على أنه يتحرك بسرعات ± v، يكونان في التكوين القياسي ، عندما:

• المحاور x و y و z للإطار S موجهة بالتوازي مع المحاور المميزة للإطار S′.
• تتطابق أصول الإطارين S و S′ عند الزمن t = 0 في الإطار S، وكذلك عند الزمن t ′ = 0 في الإطار S′. ^{[ 2 ] : 107}
• يتحرك الإطار S′ في اتجاه x للإطار S بسرعة v كما تم قياسها في الإطار S.

يتم عرض هذا الإعداد المكاني في الشكل  1-2، حيث يتم وضع علامات على الإحداثيات الزمنية بشكل منفصل ككميات t و t' .

في خطوة أخرى من التبسيط، غالباً ما يكون كافياً النظر فقط في اتجاه الحركة المرصودة وتجاهل المكونين المكانيين الآخرين، مما يسمح برسم x و ct في مخططات الزمكان ثنائية الأبعاد، كما هو موضح أعلاه.

يمثل المحوران الأسودان المسميان x و ct في الشكل  1-3 نظام إحداثيات مراقب، يُشار إليه بأنه ساكن ، وموقعه عند x = 0. يتطابق خط العالم لهذا المراقب مع محور الزمن ct . كل خط موازٍ لهذا المحور يمثل أيضًا جسمًا ساكنًا ولكن في موقع مختلف. يصف الخط الأزرق جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة v نحو اليمين، مثل مراقب متحرك.

يمكن تفسير هذا الخط الأزرق المسمى ct ′ على أنه محور الزمن للمراقب الثاني. وهو، إلى جانب المحور السيني المتطابق لكلا المراقبين، يمثل نظام إحداثياتهما. وبما أن أطر الإسناد في وضع قياسي، يتفق كلا المراقبين على موقع نقطة الأصل لنظام إحداثياتهما. لا يكون محورا المراقب المتحرك متعامدين ، كما أن مقياس محور الزمن لديه ممتد. لتحديد إحداثيات حدث معين، يجب رسم خطين، كل منهما موازٍ لأحد المحورين، يمران بالحدث، ثم قراءة نقاط تقاطعهما مع المحورين.

يؤدي تحديد موقع ووقت الحدث A، كما هو موضح في الرسم البياني، إلى نفس الوقت لكلا الراصدين، كما هو متوقع. تختلف القيم فقط بالنسبة للموقع، لأن الراصد المتحرك يكون قد اقترب من موقع الحدث A منذ t = 0. بشكل عام، تحدث جميع الأحداث على خط موازٍ للمحور x في وقت واحد لكلا الراصدين. يوجد وقت عالمي واحد فقط t = t ′ ، يمثل وجود محور موقع مشترك واحد. من ناحية أخرى، ونظرًا لوجود محورين زمنيين مختلفين، عادةً ما يقيس الراصدان إحداثيات مختلفة لنفس الحدث. يتم وصف هذا التحويل البياني من x و t إلى x ′ و t ′ والعكس رياضيًا بما يُعرف بتحويل غاليليو .

يشير مصطلح مخطط مينكوفسكي إلى شكل محدد من مخططات الزمكان، يُستخدم بكثرة في النسبية الخاصة. مخطط مينكوفسكي هو تمثيل بياني ثنائي الأبعاد لجزء من فضاء مينكوفسكي ، عادةً حيث يُختزل الفضاء إلى بُعد واحد. تُختار وحدات القياس في هذه المخططات بحيث يتكون مخروط الضوء عند حدث ما من خطوط ميلها زائد أو ناقص واحد تمر بذلك الحدث. ^{[ 3 ]} تتوافق الخطوط الأفقية مع المفهوم المعتاد للأحداث المتزامنة بالنسبة لمراقب ثابت عند نقطة الأصل.

يوضح مخطط مينكوفسكي نتيجة تحويل لورنتز . يربط تحويل لورنتز إطارين مرجعيين قصوريين ، حيث يقوم مراقب ثابت عند الحدث (0، 0) بتغيير سرعته على طول المحور x . كما هو موضح في الشكل  2-1، يشكل محور الزمن الجديد للمراقب زاوية α مع محور الزمن السابق، حيث α < π / 4 . في الإطار المرجعي الجديد ، تقع الأحداث المتزامنة موازية لخط مائل بزاوية α عن خطوط التزامن السابقة. هذا هو المحور x الجديد . تتميز كل من مجموعة المحاور الأصلية ومجموعة المحاور المُعَلَّمة بخاصية التعامد بالنسبة للجداء الداخلي لمينكوفسكي أو الجداء النقطي النسبي . الموضع الأصلي على خط الزمن (ct) عمودي على الموضع A، وهو الموضع الأصلي على خط الزمن المشترك (x) حيث (t) يساوي صفرًا. في هذا الخط الزمني، حيث تلتقي الخطوط الزمنية، يتم وضع النقاط على نفس الخط الزمني حتى في حال وجود موقعين مختلفين. يقع الموقعان على خط الحدث بزاوية 45 درجة عند الموقع الأصلي A. وبالتالي، بما أن الموقع A والموقع A' يقعان على خط الحدث، وعندما يكون الزمن (t) = 0، يتم إعادة A' إلى الموقع A.

مهما كانت قيمة α ، فإن الخط ct = x يشكل المنصف العالمي ، كما هو موضح في الشكل  2-2.

كثيراً ما نصادف مخططات مينكوفسكي حيث يتم تغيير مقياس وحدات قياس الزمن بمعامل c بحيث تساوي وحدة واحدة من x وحدة واحدة من t . قد يحتوي هذا المخطط على وحدات من

• يبلغ طولها حوالي 30 سنتيمتراً، وتستغرق العملية نانوثانية.
• الوحدات والفترات الفلكية حوالي 8 دقائق و19 ثانية (499 ثانية)
• سنوات ضوئية وسنوات
• الضوء الثاني والثاني

وبذلك، يتم تمثيل مسارات الضوء بخطوط موازية للمنصف بين المحاور.

ستكون الزاوية α بين المحورين x و x ′ مطابقةً للزاوية بين محوري الزمن ct و ct ′ . وينتج هذا عن الفرضية الثانية للنسبية الخاصة، التي تنص على أن سرعة الضوء متساوية لجميع المراقبين، بغض النظر عن حركتهم النسبية (انظر أدناه). تُعطى الزاوية α بالمعادلة ^{[ 4 ] .}

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}{c}}=\beta .}$$

يتم وصف الزيادة المقابلة من x و t إلى x ′ و t ′ والعكس رياضيًا بواسطة تحويل لورنتز ، والذي يمكن كتابته على النحو التالي

$${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma (ct-\beta x),\\x'&=\gamma (x-\beta ct)\\\end{aligned}}}$$

أين${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$هو عامل لورنتز . بتطبيق تحويل لورنتز، فإن محاور الزمكان التي تم الحصول عليها لإطار معزز ستتوافق دائمًا مع الأقطار المترافقة لزوج من القطوع الزائدة المترافقة .

كما هو موضح في الشكل  2-3، فإن محاور الزمكان المعزز وغير المعزز ستكون لها عمومًا أطوال وحدة غير متساوية. إذا كان U هو طول الوحدة على محوري ct و x على التوالي، فإن طول الوحدة على محوري ct ′ و x ′ هو: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle U'=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}\,.}$$

يمثل المحور ct خط العالم لساعة مستقرة في S ، حيث يمثل U المدة الزمنية بين حدثين يقعان على هذا الخط، وتُسمى أيضًا الزمن الخاص بين هذين الحدثين. يمثل الطول U على المحور x طول السكون أو الطول الخاص لقضيب مستقر في S. ويمكن تطبيق التفسير نفسه على المسافة U ′ على المحورين ct ′ و x ′ للساعات والقضبان المستقرة في S ′ .

أعلن ألبرت أينشتاين عن نظريته النسبية الخاصة في عام 1905، ^{[ 6 ]} وقدم هيرمان مينكوفسكي تمثيله البياني في عام 1908. ^{[ 7 ]}

تضمنت ورقة مينكوفسكي البحثية لعام 1908 ثلاثة مخططات، أولها لتوضيح تحويل لورنتز، ثم تقسيم المستوى بواسطة مخروط الضوء، وأخيرًا توضيح خطوط العالم. ^{[ 7 ]} استخدم المخطط الأول فرعًا من القطع الزائد الواحدي${\textstyle t^{2}-x^{2}=1}$لإظهار مسار وحدة الزمن الخاص اعتمادًا على السرعة، وبالتالي توضيح تمدد الزمن. يُظهر الرسم التخطيطي الثاني القطع الزائد المرافق لمعايرة الفضاء، حيث يُوحي تمدد مماثل بانكماش فيتزجيرالد . في عام 1914، أدرج لودويك سيلبرشتاين ^{[ 8 ]} رسمًا تخطيطيًا لـ "تمثيل مينكوفسكي لتحويل لورنتز". تضمن هذا الرسم القطع الزائد للوحدة، ومرافقه ، وزوجًا من الأقطار المرافقة . منذ ستينيات القرن العشرين، يُشار إلى نسخة من هذا التكوين الأكثر اكتمالًا باسم "مخطط مينكوفسكي"، ويُستخدم كرسم توضيحي قياسي لهندسة تحويل النسبية الخاصة. وقد أشار إي. تي. ويتاكر إلى أن مبدأ النسبية يُعادل عشوائية اختيار نصف قطر القطع الزائد للزمن في مخطط مينكوفسكي. في عام 1912، قام جيلبرت ن. لويس وإدوين ب. ويلسون بتطبيق أساليب الهندسة التركيبية لتطوير خصائص المستوى غير الإقليدي الذي يحتوي على مخططات مينكوفسكي. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

عندما قام تايلور وويلر بتأليف كتاب "فيزياء الزمكان " (1966)، لم يستخدموا مصطلح " مخطط مينكوفسكي" لوصف هندسة الزمكان الخاصة بهم. بدلاً من ذلك، أدرجوا اعترافًا بمساهمة مينكوفسكي في الفلسفة من خلال مجمل ابتكاره عام 1908. ^{[ 11 ]}

الشكل 3-1: المنظر من الإطار المتوسط

الشكل 3-2: رسم تخطيطي متناظر

أظهر العديد من المؤلفين وجود إطار مرجعي بين الإطارين الساكن والمتحرك، حيث يكون تناظرهما واضحًا ("الإطار الوسيط"). ^{[ 12 ]} في هذا الإطار، يتحرك الإطاران الآخران في اتجاهين متعاكسين وبسرعة متساوية. استخدام هذه الإحداثيات يجعل وحدات الطول والزمن متطابقة على كلا المحورين. إذا كانت β = v / c و${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$يتم إعطاء W${\displaystyle S}$و${\displaystyle S^{\prime }}$ثم ترتبط هذه التعبيرات بالقيم الموجودة في إطارها الوسيط S ₀ على النحو التالي: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(1)&\beta &={\frac {2\beta _{0}}{1+{\beta _{0}}^{2}}},\\[3pt]&(2)&\beta _{0}&={\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}.\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال، إذا كانت β = 0.5 بين${\textstyle S}$و${\textstyle S^{\prime }}$_{وبناءً على (2) ،} يتحركان في إطارهما المتوسط ​​S0 بسرعة تقارب ±0.268 c لكل منهما في اتجاهين متعاكسين. من ناحية أخرى، إذا كانت _β0 = 0.5 في S0 _، فبحسب (1) تكون السرعة النسبية بين${\displaystyle S}$و${\displaystyle S^{\prime }}$في إطار سكونها الخاص، تكون السرعة 0.8 c . بناء محاور${\textstyle S}$و${\textstyle S^{\prime }}$يتم ذلك وفقًا للطريقة العادية باستخدام tan α = β ₀ بالنسبة للمحاور المتعامدة للإطار المتوسط ​​(الشكل 3-1).

ومع ذلك، اتضح أنه عند رسم مثل هذا المخطط المتناظر، من الممكن استنتاج علاقات المخطط حتى بدون ذكر الإطار الوسيط و β 0 _على الإطلاق . بدلاً من ذلك، السرعة النسبية β = v / c بين${\textstyle S}$و${\textstyle S^{\prime }}$يمكن استخدامها مباشرة في البناء التالي، مما يوفر نفس النتيجة: ^{[ 14 ]}

إذا كانت φ هي الزاوية بين محوري ct ′ و ct (أو بين x و x ′ )، و θ بين محوري x ′ و ct ′ ، فإنها تُعطى على النحو التالي: ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta &=\beta ,\\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\\\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma .\end{محاذاة}}}$$

يتضح من الشكل 3-2 طريقتان للإنشاء: يتم رسم المحور x عموديًا على المحور ct ′ ، ويتم جمع المحورين x ′ و ct بزاوية φ ؛ ويتم رسم المحور x ′ بزاوية θ بالنسبة للمحور ct ′ ، ويتم جمع المحور x عموديًا على المحور ct ′ والمحور ct عموديًا على المحور x ′ .

في مخطط مينكوفسكي، لا يمكن مقارنة الأطوال على الصفحة مباشرةً ببعضها البعض، وذلك بسبب عامل التشويه بين أطوال الوحدات على المحاور في مخطط مينكوفسكي. على وجه الخصوص، إذا${\textstyle U}$و${\textstyle U^{\prime }}$إذا كانت أطوال الوحدات لمحاور الإطار الساكن ومحاور الإطار المتحرك، على التوالي، في مخطط مينكوفسكي، فإن طولي الوحدات يتم تشويههما بالنسبة لبعضهما البعض عبر الصيغة التالية:

$${\displaystyle U^{\prime}=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}}}$$

على النقيض من ذلك، في مخطط لوديل المتناظر، كل من${\textstyle S}$و${\textstyle S^{\prime }}$تُشوّه محاور الإطار بنفس العامل بالنسبة للإطار الوسيط، وبالتالي تكون لها أطوال وحدة متطابقة. هذا يعني أنه بالنسبة لمخطط لوديل للزمكان، يمكننا مقارنة أطوال الزمكان بين الإطارات المختلفة مباشرةً كما تظهر على الصفحة؛ فلا حاجة إلى تغيير مقياس/تحويل أطوال الوحدة بين الإطارات نظرًا لطبيعة مخطط لوديل المتناظرة.

• رسم ماكس بورن (1920) مخططات مينكوفسكي بوضع المحور ct ′ عموديًا تقريبًا على المحور x ، وكذلك المحور ct على المحور x ′ ، وذلك لتوضيح انكماش الطول وتمدد الزمن في الحالة المتناظرة لقضيبين وساعتين تتحركان في اتجاهين متعاكسين. ^{[ 18 ]}
• أظهر ديمتري ميريمانوف (1921) أنه يوجد دائمًا إطار وسيط بالنسبة لإطارين متحركين نسبيًا، واستنتج العلاقات بينهما من تحويل لورنتز. ومع ذلك، لم يقدم تمثيلًا بيانيًا في رسم تخطيطي. ^{[ 12 ]}
• طوّر بول غرونر، بالتعاون مع جوزيف ساوتر، المخططات المتناظرة بشكل منهجي في ورقتين بحثيتين عام 1921. وقد أوضحا فيهما التأثيرات النسبية، مثل انكماش الطول وتمدد الزمن، وبعض العلاقات بالمتجهات المتغيرة والمتضادة. ^{[ 15 ] [ 16 ]} ثم وسّع غرونر هذه الطريقة في أوراق بحثية لاحقة (1922-1924)، وأشاد أيضاً بمعالجة ميريمانوف. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}
• أُعيد اكتشاف بناء مخططات مينكوفسكي المتناظرة لاحقًا بشكل مستقل من قبل العديد من المؤلفين. على سبيل المثال، بدءًا من عام 1948، نشر إنريكي لوديل بالومبو سلسلة من الأبحاث باللغة الإسبانية، عرض فيها تفاصيل هذا النهج. ^{[ 25 ] [ 26 ]} وفي عام 1955، نشر هنري عمار أيضًا بحثًا يعرض هذه العلاقات، ونسب الفضل إلى لوديل في بحث لاحق عام 1957. ^{[ 27 ] [ 28 ]} يستخدم بعض مؤلفي الكتب الدراسية مخططات مينكوفسكي المتناظرة، ويشيرون إليها باسم مخططات لوديل . ^{[ 14 ] [ 17 ]}

يشير تمدد الزمن النسبي إلى أن الساعة (التي تُشير إلى زمنها الخاص في إطارها المرجعي الساكن) التي تتحرك بالنسبة إلى مراقب ما، تُلاحظ وكأنها تعمل ببطء. يوضح الشكل  4-1 مخططات لوديل المتناظرة. تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا مقارنة أطوال الزمكان على الصفحة مباشرةً، نظرًا لطبيعة مخطط لوديل المتناظرة.

في الشكل  4-2، يُفترض أن الراصد، الذي يُمثله المحوران الأسودان، يتحرك من نقطة الأصل O باتجاه A. أما الساعة المتحركة، التي يُمثلها المحوران الأزرقان، فتتحرك من O إلى B. بالنسبة للراصد الأسود، تقع جميع الأحداث المتزامنة مع الحدث عند A على خط مستقيم موازٍ لمحوره المكاني. يمر هذا الخط بالنقطتين A وB، لذا فإن A وB متزامنتان من منظور الراصد ذي المحورين الأسودين. مع ذلك، تُسجل الساعة المتحركة بالنسبة للراصد الأسود الوقت على طول محور الزمن الأزرق، والذي يُمثله المسافة من O إلى B. بالتالي، يلاحظ الراصد عند A، الذي يُمثله المحوران الأسودان، أن ساعته تُشير إلى المسافة من O إلى A، بينما يُراقب الساعة المتحركة بالنسبة له لتُشير إلى المسافة من O إلى B. ولأن المسافة من O إلى B أصغر من المسافة من O إلى A، يستنتج أن الوقت المنقضي على الساعة المتحركة بالنسبة له أصغر من الوقت المنقضي على ساعته.

سيجادل مراقب ثانٍ، تحرك مع الساعة من النقطة O إلى النقطة B، بأن ساعة المحور الأسود لم تصل إلا إلى النقطة C، وبالتالي فهي تعمل بشكل أبطأ. ويعود سبب هذه التصريحات التي تبدو متناقضة إلى اختلاف تحديد الأحداث المتزامنة في مواقع مختلفة. وبسبب مبدأ النسبية، فإن مسألة تحديد من هو على صواب لا إجابة لها ولا معنى لها.

يشير انكماش الطول النسبي إلى حقيقة أن المسطرة (التي تُشير إلى طولها الحقيقي في إطار سكونها) التي تتحرك بالنسبة إلى مراقب تُلاحظ وهي تنكمش/تقصر. يُوضح الشكل  4-3 هذه الحالة في مخططات لوديل المتناظرة. تجدر الإشارة إلى أنه يُمكننا مقارنة أطوال الزمكان على الصفحة مباشرةً، نظرًا لطبيعة مخطط لوديل المتناظرة.

في الشكل 4-4، يُفترض أن يتحرك الراصد على طول المحور ct . وتُفترض خطوط العالم لنهايتي جسم يتحرك بالنسبة إليه على طول المحور ct ′ والخط الموازي المار بالنقطتين A وB. بالنسبة لهذا الراصد، فإن نهايتي الجسم عند t = 0 هما O وA. أما بالنسبة لراصد ثانٍ يتحرك مع الجسم، بحيث يكون الجسم ساكنًا بالنسبة له، فإن طوله الفعلي هو OB عند t ′ = 0. ولأن OA < OB ، فإن الجسم يبدو منكمشًا بالنسبة للراصد الأول.

سيجادل المراقب الثاني بأن المراقب الأول قد قيّم نقطتي نهاية الجسم عند النقطتين O و A على التوالي، وبالتالي في أوقات مختلفة، مما أدى إلى نتيجة خاطئة بسبب حركته في هذه الأثناء. إذا قام المراقب الثاني بدراسة طول جسم آخر تتحرك نقطتا نهايته على طول المحور ct ، ويمر خط موازٍ له عبر النقطتين C و D، فإنه سيستنتج بنفس الطريقة أن هذا الجسم قد انكمش من OD إلى OC. يُقدّر كل مراقب أن الأجسام المتحركة مع المراقب الآخر قد انكمشت. هذا الوضع الذي يبدو متناقضًا هو نتيجة أخرى لنسبية التزامن، كما يتضح من التحليل باستخدام مخطط مينكوفسكي.

وبناءً على كل هذه الاعتبارات، فقد تم افتراض أن كلا المراقبين يأخذان في الاعتبار سرعة الضوء ومسافتهما عن جميع الأحداث التي يرونها من أجل تحديد الأوقات الفعلية التي تحدث فيها هذه الأحداث من وجهة نظرهم.

من مسلمات النسبية الخاصة الأخرى ثبات سرعة الضوء. تنص هذه المسلمة على أن أي مراقب في إطار مرجعي قصوري يقيس سرعة الضوء في الفراغ بالنسبة لنفسه، يحصل على القيمة نفسها بغض النظر عن حركته وحركة مصدر الضوء. قد يبدو هذا القول متناقضًا، ولكنه يترتب مباشرةً على المعادلة التفاضلية التي تُنتجه، ويتوافق مخطط مينكوفسكي مع ذلك. كما يُفسر هذا نتيجة تجربة ميكلسون-مورلي التي كانت تُعتبر لغزًا قبل اكتشاف نظرية النسبية، حين كان يُعتقد أن الفوتونات عبارة عن موجات تنتقل عبر وسط غير قابل للكشف.

بالنسبة لخطوط الفوتونات التي تمر بنقطة الأصل في اتجاهين مختلفين، يكون x = ct و x = −ct . هذا يعني أن أي موضع على أحد هذه الخطوط يتوافق مع خطوات على المحورين x و ct متساوية القيمة المطلقة. وبناءً على قاعدة قراءة الإحداثيات في نظام إحداثيات ذي محاور مائلة، فإن خطي الفوتونات هما منصفا الزاوية للمحورين x و ct . وكما هو موضح في الشكل  4-5، يوضح مخطط مينكوفسكي أنهما منصفا الزاوية للمحورين x′ و ct ′ أيضًا. هذا يعني أن كلا الراصدين يقيسان السرعة نفسها c لكلا الفوتونين.

يمكن إضافة أنظمة إحداثيات أخرى، تُقابل مراقبين بسرعات عشوائية، إلى مخطط مينكوفسكي هذا. في جميع هذه الأنظمة، يُمثل خطا الفوتون العالميان منصفَي الزاوية للمحاور. كلما اقتربت السرعة النسبية من سرعة الضوء، اقتربت المحاور من منصف الزاوية المقابل.${\textstyle x}$يكون المحور دائمًا أكثر استواءً ومحور الزمن أكثر انحدارًا من خطوط عالم الفوتون. وتكون المقاييس على كلا المحورين متطابقة دائمًا، ولكنها عادةً ما تختلف عن مقاييس أنظمة الإحداثيات الأخرى.

الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة الأصل، والتي تكون أكثر انحدارًا من خطوط مسار الفوتونين، تُشير إلى أجسام تتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء. إذا انطبق هذا على جسم ما، فإنه ينطبق أيضًا من وجهة نظر جميع المراقبين، لأن خطوط مسار هذين الفوتونين تُمثل منصفات الزاوية لأي إطار مرجعي قصوري. بالتالي، يُمكن الوصول إلى أي نقطة فوق نقطة الأصل، وبين خطوط مسار الفوتونين، بسرعة أقل من سرعة الضوء، وقد تكون لها علاقة سببية مع نقطة الأصل. تُمثل هذه المنطقة المستقبل المطلق، لأن أي حدث فيها يقع لاحقًا مقارنةً بالحدث الذي تُمثله نقطة الأصل، بغض النظر عن المراقب، وهو ما يتضح جليًا من خلال مخطط مينكوفسكي في الشكل  4-6.

وبناءً على نفس الحجة، فإن النطاق الواقع أسفل نقطة الأصل وبين خطوط عالم الفوتون يمثل الماضي المطلق بالنسبة إلى نقطة الأصل. أي حدث هناك ينتمي قطعاً إلى الماضي ويمكن أن يكون سبباً لتأثير ما عند نقطة الأصل.

تُسمى العلاقة بين أي زوج من هذه الأحداث علاقة زمنية ، لأن المسافة الزمنية بينهما أكبر من الصفر بالنسبة لجميع المراقبين. ويمثل الخط المستقيم الواصل بين هذين الحدثين دائمًا المحور الزمني لمراقب محتمل يقع الحدثان بالنسبة له في نفس المكان. أما الحدثان اللذان يمكن ربطهما بسرعة الضوء فقط فيُطلق عليهما علاقة ضوئية .

من حيث المبدأ، يمكن إضافة بُعد مكاني آخر إلى مخطط مينكوفسكي، مما يؤدي إلى تمثيل ثلاثي الأبعاد. في هذه الحالة، تصبح نطاقات المستقبل والماضي مخاريط تتلامس رؤوسها عند نقطة الأصل. وتُسمى هذه المخاريط بالمخاريط الضوئية .

وبناءً على الحجة نفسها، فإن جميع الخطوط المستقيمة التي تمر بنقطة الأصل، والتي تكون أقرب إلى الأفقية من خطوط عالم الفوتون، تُشير إلى أجسام أو إشارات تتحرك بسرعة تفوق سرعة الضوء ، بغض النظر عن سرعة الراصد. لذا، لا يمكن الوصول إلى أي حدث خارج نطاق مخروط الضوء من نقطة الأصل، حتى بواسطة إشارة ضوئية، ولا بواسطة أي جسم أو إشارة تتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء. تُسمى هذه الأزواج من الأحداث "فضائية" لأنها تفصل بينها مسافة مكانية محددة تختلف عن الصفر بالنسبة لجميع الراصدين. من جهة أخرى، يُمثل الخط المستقيم الذي يربط بين هذه الأحداث دائمًا محور الإحداثيات المكانية لراصد مُحتمل تقع هذه الأحداث بالنسبة له في الوقت نفسه. ومن خلال تغيير طفيف في سرعة نظام الإحداثيات هذا في كلا الاتجاهين، يُمكن دائمًا إيجاد إطارين مرجعيين قصوريين يُقدّر راصدوهما الترتيب الزمني لهذه الأحداث بشكل مختلف.

إذا افترضنا وجود جسم يتحرك بسرعة تفوق سرعة الضوء، ولنقل من النقطة O إلى النقطة A في الشكل  4-7، فإنه بالنسبة لأي مراقب يشاهد الجسم يتحرك من O إلى A، يمكن إيجاد مراقب آخر (يتحرك بسرعة أقل من سرعة الضوء بالنسبة للأول) يرى الجسم يتحرك من A إلى O. إن مسألة تحديد أي المراقبين على صواب ليس لها إجابة واحدة، وبالتالي فهي غير منطقية فيزيائيًا. إن أي جسم أو إشارة متحركة من هذا القبيل ستخالف مبدأ السببية.

كذلك، فإن أي وسيلة تقنية عامة لإرسال الإشارات بسرعة تفوق سرعة الضوء ستسمح بإرسال المعلومات إلى ماضي المرسل نفسه. في الرسم التوضيحي، يرسل مراقب عند النقطة O في نظام x - ct رسالةً تتحرك بسرعة تفوق سرعة الضوء إلى النقطة A. عند النقطة A، يستقبلها مراقب آخر يتحرك ليصبح في نظام x′ - ct ′ ، فيعيد إرسالها، مرة أخرى بسرعة تفوق سرعة الضوء، لتصل إلى النقطة B. لكن النقطة B تقع في الماضي بالنسبة للنقطة O. تتضح سخافة هذه العملية عندما يؤكد كلا المراقبين لاحقًا أنهما لم يستلما أي رسالة على الإطلاق، بل كانت جميع الرسائل موجهة نحو المراقب الآخر، كما هو موضح بيانيًا في مخطط مينكوفسكي. علاوة على ذلك، إذا أمكن تسريع مراقب إلى سرعة الضوء، فإن محوري المكان والزمان لديه سيتطابقان مع منصف الزاوية. سينهار نظام الإحداثيات، بما يتوافق مع حقيقة أنه بسبب تمدد الزمن ، سيتوقف الزمن فعليًا عن المرور بالنسبة لهما.

تُظهر هذه الاعتبارات أن سرعة الضوء كحد أقصى هي نتيجة لخصائص الزمكان، وليست نتيجة لخصائص أجسام مثل المركبات الفضائية غير المتطورة تقنيًا. وبالتالي، فإن حظر الحركة بسرعة تفوق سرعة الضوء لا يرتبط تحديدًا بالموجات الكهرومغناطيسية أو الضوء، بل هو نتيجة لبنية الزمكان.